estimació puntual, Apuntes de Estadística

¡Descarga estimació puntual y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

3. Estimaci´o Puntual

(Seccions 7.2., 7.3., 7.4. i 8.1. Newbold)

UPF

3.1. Estimaci´o puntual (8.1.)

3.1. Estimaci´o puntual (8.1.)

3.1. Estimaci´o puntual (8.1.)

Exemples

Catalans amb Grau Universitari. X ´es una v.a. Bernoulli de par`ametre p. Com podem trobar una bona estimaci´o de p?

Ingressos anuals de les Fam´ılies Europees. X ´es una v.a. positiva (no suposem res m´es sobre F ) de mitjana μ (desconeguda). Com podem trobar una bona estimaci´o de μ?

Temps passat en el paro (en mesos). X ´es una v.a. Exponencial de par`ametre λ. Com podem trobar una bona estimaci´o de λ?

3.1. Estimaci´o puntual (8.1.)

Exemple b`asic

Catalans amb Grau Universitari. X ´es una v.a. Bernoulli de par`ametre p.

Suposem que tenim una mostra X 10 de 10 catalans i que en cada variable (persona) observem si la persona t´e un Grau Universitari (Xi = 1) o no (Xi = 0).

La manera natural de trobar una bona estimaci´o de p ´es calcular la freq¨u`encia relativa de catalans amb Grau Universitari en la mostra

p ˆ = 101

∑^10 i=

Xi

Veiem f`acilment que E( ˆp) ´es igual a p. Aix´ı doncs, direm que pˆ ´es un bon estimador puntual de p.

3.1. Estimaci´o puntual (8.1.)

Observacions

En altres paraules, un estimador ˆθn ´es una funci´o de la mostra que utilitzem par aconseguir informaci´o del par`ametre desconegut θ∗.

Un estimador θˆn ´es una v.a. ja que ´es una funci´o de la mostra.

Les propietats d’un estimador depenen de la funci´o g (.) i de la poblaci´o F.

Els termes que s’utilitzen s´on els seg¨uents: Un estimador ´es una variable aleat`oria. Una realitzaci´o de l’estimador a partir de l’observaci´o d’una mostra s’anomena una estimaci´o.

3.1. Estimaci´o puntual (8.1.)

Propietats del Estimadors Puntuals

La definci´o d’estimador ´es amplia. Per cada parametre d’interes hi poden haver diversos estimadors. Per tant, necessitem criteris que ens permetin decidir quins estimadors s´on ’bons’ i quins no ho s´on. L’Error de Mitjana Quadr`atica ens dona un bon criteri per comparar estimadors.

Definici´o: Error de Mitjana Quadratica (EMQ) L’error de mitjana quadratica d’un estimador es defineix com la suma dels quadrats del biaix i l’error est`andard

EMQ(θˆn) = E(θˆn − θ∗)^2 = biaix(ˆθn)^2 + ee(θˆn)^2

Clarament, si el EMQ ´es m´es petit ⇒ l’estimador est`a m´es concentrat al voltant de θ∗^ ⇒ l’estimador ´es millor.

3.1. Estimaci´o puntual (8.1.)

Error Est`andard

L’error est`andard d’un estimador ee(ˆθn) ´es una quantitat interessant i a la vegada generalment desconeguda.

En la practica, els errors estandards tamb´e s’estimen amb les dades.

Tal com veurem, hi ha diverses maneres d’estudiar aquests parametres que no s´on l’objectiu principal d’estudi pero tot i aix´ı s´on desconeguts.

3.2. Mitjana Mostral (7.2.), Proporci´o Mostral (7.3.) i Vari`ancia Mostral (7.4.)

3.2. Mitjana Mostral (7.2.),

Proporci´o Mostral (7.3.) i

Vari`ancia Mostral (7.4.)

3.2. Mitjana Mostral (7.2.), Proporci´o Mostral (7.3.) i Vari`ancia Mostral (7.4.)

Codi R

Exemple simple de mean, var i sd en R > x <- c(2,1,-3,4,5) > mean(x) [1] 1. > var(x) [1] 9. > sd(x) [1] 3.

3.2. Mitjana Mostral (7.2.), Proporci´o Mostral (7.3.) i Vari`ancia Mostral (7.4.)

Mitjana Mostral (Secci´o 7.2.)

Definici´o: Mitjana Mostral Sigui Xn una mostra de la poblaci´o F. La mitjana mostral ´es un estimador de la mitjana de la poblaci´o μ = E(X ). Es defineix com X (^) n =^1 n

∑^ n i=

Xi

3.2. Mitjana Mostral (7.2.), Proporci´o Mostral (7.3.) i Vari`ancia Mostral (7.4.)

Exemple: Estimadors Alternatius

Considerem una mostra amb n = 5 d’una poblaci´o F. Considerem els seg¨uents estimadors alternatius de la mitjana de la poblaci´o X An = X^1 + 3^ ·^ X^2 + 5^13 ·^ X^3 + 3^ ·^ X^4 +^ X^5 i X Bn = X^1 + 2^ ·^ X^2 + 3^ · 8 X^3 + 2^ ·^ X^4 +^ X^5

Preguntes: Troba el biaix i l’error estandard dels dos estimadors. Compara els resultats amb les simulacions de Monte Carlo de la seg¨uent transparencia. Quin dels dos estimadors ´es millor? S´on millors que la mitjana mostral? Perqu`e?

3.2. Mitjana Mostral (7.2.), Proporci´o Mostral (7.3.) i Vari`ancia Mostral (7.4.)

Exemple: Estimadors Alternatius

Simulacio de Monte Carlo dels Estimadors Alternatius

nombre de simulacionsS <- 10000;

vectors que contenen les realitzacions de 3 estimadors: la mitjana mostral, l’estimador A i el Bm_est <- rep(0,S)

m_estA <- rep(0,S)m_estB <- rep(0,S)

grandaria de la mostran <- 5

suposem que F es una distribucio exponencial de parametre 1/4lambda <- 1/

for( s in 1:S ){ x <- rexp(n,lambda);m_est[s] <- (x[1] + x[2] + x[3] + x[4] + x[5])/ m_estA[s] <- (1x[1] + 3x[2] + 5x[3] + 3x[4] + 1x[5])/13m_estB[s] <- (1x[1] + 2x[2] + 3x[3] + 2x[4] + 1x[5])/ } b1 <- mean(m_est)-1/lambdab2 <- mean(m_estA)-1/lambda b3 <- mean(m_estB)-1/lambda s1 <- sd(m_est)s2 <- sd(m_estA) s3 <- sd(m_estB)

3.2. Mitjana Mostral (7.2.), Proporci´o Mostral (7.3.) i Vari`ancia Mostral (7.4.)

Propietats de la proporci´o Mostral

La proporci´o mostral pˆn ´es un estimador sense biaix de la probabilitat de succ´es.

el seu error est`andard ´es ee( ˆpn) =

√ p(1−p) n

la seva distribuci´o ´es asimpt`oticament Normal N (p, ee( ˆpn)^2 ) (TCL)

3.2. Mitjana Mostral (7.2.), Proporci´o Mostral (7.3.) i Vari`ancia Mostral (7.4.)

Vari`ancia Mostral (Secci´o 7.4.)

Definci´o: Variancia Mostral Sigui X 1 , X 2 , ..., Xn una mostra de la poblaci´o F. La variancia mostral ´es un estimador de la vari`ancia de la poblaci´o σ^2 = Var(X ). Es defineix com s n^2 = (^) n −^1

∑^ n i=

(Xi − X (^) i )^2

L’arrel quadrada de la vari`ancia mostral, sn =

√ s^2 n s’anomena desviaci´o t´ıpica mostral.