Estructuras Algebraicas: Apuntes de Clase, Diapositivas de Matemáticas

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29/05/

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Gustavo Salinas E.

29/05/ Gustavo Salinas E.

ESTRUCTURAS

ALGEBRAICAS

Interviene alguna ley de composición externa

Interviene solo leyes de composición interna

Interviene una sola Ley

Interviene dos Leyes

Grupoide o Monoide

Semigrupo

Grupo

Semianillo

Anillo

Semicuerpo

Cuerpo o Campo

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

29/05/ Gustavo Salinas E.

DEFINICIÓN: Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.

Dotar a un conjunto de una o varias leyes de composición es conferirle una estructura. Una estructura queda conferida por los axiomas establecidos entre los elementos de un conjunto.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

LEY DE COMPOSICIÓN:

Dados tres conjuntos A, B y C, llamamos ley de composición u operación a toda aplicación de A x B en C.

Esta aplicación hace corresponder a todo par (a , b)  A x B un elemento c  C.

Las leyes de composición se representan por los signos : ∗ , T , , ,  , + (si es ley aditiva), ● (si es ley multiplicativa).

El concepto de operación o ley de composición es una abstración y generalización de las operaciones clásicas, suma y producto, entre números, consideradas como leyes mediante las cuales de dos elementos obtenemos otro, y así decimos que la suma de 3 y 4 es 7 o el producto 12.

29/05/

Gustavo Salinas E.

Dados dos conjuntos A y B, se dice que una aplicación de la forma:

Es una ley de composición externa por la izquierda.

A x B : A

( a , b ) c a b

 

  ^ Es^ una^ ley de^ composición^ externa^ por^ la^ derecha,^ y a^ los elementos del conjunto B se les llama multiplicadores o escalares de la operación.

B x A : A

( b , a ) c b a

 

  

Ejemplo 1:

29/05/2017 Gustavo Salinas E.

PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

1. Ley de Composición interna (LCI) o Cerrada:

Sea A un conjunto, * se llama “ley de composición interna en A”.

, A,se cumple:

A x A : A

( , ) A.

a b

a b c a b c

 

 

    

Ejemplo 1:

La adición o la multiplicación es ley de composición interna en N, Z, Q, R.

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PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

2. Propiedad Asociativa: (^) Si * es una operación binaria sobre A. Entonces * es asociativa,

si y sólo si:

, , c A,se cumple:

( ) ( )

a b

a b c a b c

 

    

Ejemplo 1: Verificar en las dos tablas si se cumple la propiedad asociatividad.

 a b c

a a b c

b b c a

c c a b

 a b c

a a b b

b c a c

c b c a

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Ejemplo 2: Verificar si se cumple la propiedad asociativa de * definida en R, por: a ∗ b = a + b + 2ab

a ∗ ( b ∗ c ) = a ∗ ( b + c + 2 bc )

= a + ( b + c + 2 bc ) + 2 a ( b + c + 2 bc )

= a + b + c + 2 bc + 2 ab + 2 ac + 4 abc:

( a ∗ b ) ∗ c = ( a + b + 2 ab ) ∗ c

= ( a + b + 2 ab ) + c + 2( a + b + 2 ab ) c

= a + b + 2 ab + c + 2 ac + 2 bc + 4 abc:

PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Si cumple con la propiedad asociativa

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PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

4. Existencia del elemento simétrico u opuesto (inverso):

Sea ∗ ley de composición interna en A , a´ ∈ A se llama elemento simétrico, opuesto o inverso.

A, ´ A, se cumple:

´ ´

a a

a a a a e

   

   

Ejemplo 1:

1. 0 ∈ R es neutro para la adición en los números reales.
2. 1 ∈ R es neutro para la multiplicación en los números reales.

Ejemplo 2:

Dada la siguiente tabla definen leyes de composición interna en el conjunto: A = {a , b , c }. Determinar el elemento neutro y demostrar si se cumple dicha propiedad.

*** a b c**

a a b c

b b c a

29/05/2017 Gustavo Salinas E.^ c^ c^ a^ b

PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

5. Propiedad Conmutativa: Si * es una operación binaria sobre A. Entonces * es conmutativa.

a b , A, se cumple:

a b b a

 

  

Sea el conjunto A = {a, b, c} y la operación ***** definida como conmutativa, verificar si cumple con ésta propiedad.

**Ejemplo 1:

• a b c**

a a b c

b b a b

c c b a

Ejemplo 2:

Si x * y = x² + y², y tomamos el par ordenado (-3 , 2), verificar la propiedad conmutativa.

29/05/2017 Gustavo Salinas E.

Sea el sistema (B,*) donde B es le conjunto formado por B= {a, b, c, u} y la operación * definida de acuerdo a la siguiente tabla:

Ejemplo 3:

PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

1) Determinar si la siguiente operación cumple con cerradura o l.c.i. 2) Elemento idéntico 3) Los inversos 4) Asociatividad 5) Conmutatividad

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Consideremos dos leyes de composición interna a • b = 3 a +2 b y a  b = 4 ab, ambas definidas sobre Z. Ver si son asociativas, conmutativas y si alguna de ellas es distributiva respecto la otra.

1

1

xy x y x y

x y x y x y

   

    

Ejemplo 4:

PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Las leyes • y  están definidas en el conjunto R +

estudiar si son asociativas y conmutativas.

Ejemplo 5:

29/05/ Gustavo Salinas E.

SEMIGRUPO: El par *(S , ) donde S es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición interna *. Se denomina Semigrupo si es monoide y tiene la propiedad asociativa.

Es decir tiene:  Ley de Composición interna (l.c.i).  Propiedad Asociativa.

Ejemplo 1 :

 Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.  Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad.

( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro. ( N 0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.

( N , * ) es semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad igual a 1.

Ejemplo 2: ● a b a a b b b a

*** a b c** a a b c b b c a c c a b

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Dadas las siguientes tablas, verificar si cumple con las propiedades de estructura de semigrupo.

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GRUPO: Sea el par *(A , ), donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *:

Se dice que es un grupo si cumple con las siguientes propiedades:

 Ley de Composición interna (l.c.i).  Propiedad Asociativa.  Existencia del Elemento Neutro.  Existencia del elemento simétrico o identidad.

Ejemplo 1:

El conjunto ( Z , + ), de los números enteros respecto de la operación suma, tiene estructura de grupo. El conjunto ( Q , x ), de los números racionales respecto de la operación multiplicación, tiene estructura de grupo.

Ejemplo 2:

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Considérese el conjunto formado por los cuatro

elementos { a , b , c , e } y una ley de composición

interna dada por la siguiente tabla: Ver si tiene estructura de un grupo. 29/05/2017 Gustavo Salinas E.