UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón Prontuario, 1 de 25
ANEJO: Prontuario básico de estructuras simples.
Vigas simples.
Vigas continuas de 2 vanos.
Vigas continuas de 3 vanos.
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Estructuras metalicas, Apuntes de Física
Asignatura: Fisica 1, Profesor: , Carrera: Arquitectura, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
2016/2017
1 / 30
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ANEJO: Prontuario básico de estructuras simples.
Vigas simples.
Vigas continuas de 2 vanos.
Vigas continuas de 3 vanos.
VIGA SIMPLE APOYADA: cargas puntuales F simétricas.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: R A= R B= F
Cortantes: V AC = F V CD = 0 V DB=− F
Flectores: M (^) AC = Fx M (^) DB = F ( L − x ) M (^) CD= M máx= Fa
Deformaciones
M máx
V B
A B
L
V A
a
F
C
x
a
D
F
Giros:
( )
EI
FaL a
A B
− ϕ =ϕ =
( )
EI
FaL a
C D
−ϕ =ϕ =
Elástica:
( )
2 2 AC 3 3 6
aL a x EI
Fx y = − − ( )
2 2
CD 3 3
Lx x a
EI
Fa
y = − −
Flecha máxima:
( )
2 2 máx 3 4 24
L a EI
Fa
y = − para
L
x =
VIGA SIMPLE APOYADA: carga uniforme q en un extremo.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: ⎟
A
a b L
qa R L
qa R 2
2
B =
Cortantes:
A
a b L
qa V px
a b L
qa V (^) ⎟−
⎠
AC L
qa V 2
2
CB =−
Flectores:
2
AC
p x x
a b L
qa M (^) ⎟ − ⎠
= + ( L x ) L
qa M = − 2
2
CB
2 2
máx 2
L
qa a
M para ⎟
L
a x a 2
m^1
Deformaciones
A
V A
M máx
V B
B
q
L
a b
x m
C
Giros: ( )
2
2
A 24
L b EIL
qa ϕ =− + L
L
a
EI
qa
⎟
ϕ = − 2
2 2
B 2
Elástica: ( ) (^) ⎥
⎦
3 2 2 2 AC 2
x a L b
a Lx a b EIL
qx y
( ) ( )
⎥
2
2 (^22)
2
CB 2
12 L
a L x L EIL
qL xa y
Flecha máxima: (^ )^ (^ )
2 2 2 2
2
máx 2 62 216
L a L a EIL
qa y = − −
para a <0,4531 L en
2 2 L a x = L − −
VIGA SIMPLE APOYADA: carga uniforme q en todo el vano.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
A B
q L R = R =
Cortantes: ⎟
= − x
L
V q 2
AB 2
A B
q L V =− V =
Flectores: ( L x )
qx M = − 2
AB
2
máx
q L
M = para
L
x =
Deformaciones
M
V B
A B
L
V A
q
Giros:
EI
qL
3
ϕ (^) A =− EI
qL
3
ϕB =
Elástica: ( )
3 2 3 AB 2 24
x Lx L EI
qx y = − +
Flecha máxima:
EI
qL y 384
4
máx =^ para^
L
x =
VIGA SIMPLE APOYADA: carga uniforme q en tramo intermedio.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
L
qbc R (^) A = L
qac R (^) B=
Cortantes:
L
qbc V (^) AC = ⎟ ⎠
= − − a + x
c q L
qbc V 2
CD L
qac V (^) DB=−
Flectores: x
L
qbc M (^) AC=
2
CD 2 2
c x a
q x L
qbc M
( L x ) L
qac M (^) DB = − ⎟ ⎠
L
bc a c L
qbc M 2 2
máx para^
L
c bc x = a − + 2
m
Deformaciones
m
M máx
x
V B
A B
V
a
L
A
b
C
q
x
D
Giros:
ϕ =− + − a
c L b EIL
qabc
2
A ⎟
ϕ = + − b
c L a EIL
qabc
2
B
Elástica:
a
c x a L b EIL
qbcx y 6 4
2 2 AC
= − + x a
c bcx abc L b
c L x a EIL
q y 4
2 3
4
CD
( ) ( )
⎥
b
c L x b L a EIL
qacL x y 6 4
2 2 DB
VIGA SIMPLE APOYADA: momentos puntuales M contrarios en extremos.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
L
M M
R
a b A
L
M M
R
a b B
Cortantes:
L
M M
V
a b AB
Flectores:
( ) x
M
L x
M
M
L L
a b AB =^ − − − M^ A^ =^ − M a M^ B^ =− M b
Deformaciones
L
M A
V A
A
x
B
V B
M a M b
M B
Giros:
A (^2 a b) 6
M M
EI
L
ϕ = + B ( (^) a (^2) b) 6
M M
EI
L
ϕ =− +
Elástica:
( ) (^) ⎥
⎦
L
x
M
M
L
L x L x EI
M x y 1 1 (^6) a
a b AB
VIGA SIMPLE APOYADA: momentos puntuales M en extremos.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
L
M M
R
a b A
L
M M
R
a b B
Cortantes:
L
M M
V
a b AB
Flectores:
( ) x
M
L x
M
M
L L
a b AB =^ − − + M^ A =^ − M a M^ B = M b
M A Deformaciones
M B
M a
M b
L
V A
A
V B
B
Giros:
A (^2 a b) 6
M M
EI
L
ϕ =− − B ( (^2) b a) 6
M M
EI
L
ϕ =− −
Elástica:
( ) [( M M ) x ( M M ) L ] EIL
xL x y (^) AB a b (^2) a b 6
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga puntual F genérica.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: ( L a )
L
Fb R 2 3
2
A =^ + ( L^ b ) L
Fa R 2 3
2
B = +
Cortantes: ( L a )
L
Fb V 2 3
2
AC =^ + (^ L b ) L
Fa V 2 3
2
CB =− +
Flectores:
2
2
A L
Fab M = − 2
2
B L
Fa b M = − 3
2 2
C
L
Fa b M =
( Lx ax aL )
L
Fb M = + 2 − 3
2
AC ( Lb^ L Lx bx ) L
Fa M 2
2
3
2
CB = + − −
Deformaciones
V
M C
A
V B
a
L
A
x
C
b
B
F
M A
M (^) B
Elástica:
2
2 2
AC
6 L
x
L
ax a x EI
Fb y ⎟ ⎠
( )
( )
2
2 2
CB 3 2 (^6) L
L x
L
L x b L x b EI
Fa y
Flechas:
3
3 3
C 3 EIL
Fba y =
( )
2
2 3
máx 3 2
EIL a
Fb a y
= para
L a
aL x 2
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga puntual F centrada.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
A B
F
R = R =
Cortantes:
AC
F
V =
CB
F
V =−
Flectores: ⎟
AC L
FL x M ⎟ ⎠
L
FL x M 3 4 8
CB
A B
FL
M = M =−
máx C
F L
M = M = para
L
x =
Deformaciones V B
L/
L
L/
A
C
F
B
M A
M C
M B
V A
x
Elástica:
L
x
EI
FLx y 3 4 48
2
AC
( ) ( x L ) EI
FL x y −
2
CB
Flecha máxima:
EI
FL
y y 192
3
máx =^ C= para^
L
x =
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga uniforme q en todo el vano.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
A B
q L R = R =
Cortantes: ⎟
= − x
L
V q 2
AB 2
A B
q L V =− V =
Flectores: ( )
2 2 AB 6 6 12
L Lx x
q M = − − + 12
2
A B
q L M = M =−
2
máx
q L
M = para
L
x = M x = 0 para x =0,2113 L
Deformaciones
M máx
V B
L
V A
A
q
B
M A M B
Elástica:
2
2
4 2
AB 24 ⎟
L
x
L
x
EI
qL y
Flecha máxima:
EI
qL y 384
4
máx =^ para^
L
x =
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: carga uniforme q en tramo intermedio.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
L
M M
L
qbc R
A B A
L
M M
L
qac R
A B B
Cortantes:
V AC = R A ⎟
CD A
c V R q x a V DB (^) =− R B
Flectores: M AC = R A x + M A
2
CD A A 2 2
c x a
q M R x M
M DB = R B ( L − x ) + M B
2
2
2
3
A
12 c
ab L b
L
qc M
2
2
2
3
B
12 c
a b L a
L
qc M
Deformaciones
V A
V B
C
L
a
A
x
D
b
B
q
M A
M B
Elástica: [ M R x ]
EI
x y (^) A A
2
AC 3 6
2 A
3 A
4
CD 4 12
R x M x
c q x a EI
y
[ ( ) ( ) ( ) ]
2 A B B B
2 B B
3 DB B^3323 6
R x M LR x M LR Lx M LR L EI
y = − + + + − +
VIGA SIMPLE EMPOTRADA: momento puntual M intermedio.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: ab
L
M
R
A 3
= ab
L
M
R
B 3
Cortantes: ab
L
M
V
AB 3
Flectores:
L
x
L
a
L
Ma M (^) AC 1 3 1 2 ⎥
⎦
L
L x
L
b
L
Mb M (^) CB 1 3 1 2
L
a
L
Ma M (^) A 1 3 ⎟ ⎠
L
b
L
Mb M (^) B 1 3
a b L
M
M M
2 A 3
izq C
= + ( L ab )
L
M
M M
3 2 A 3
der C = − −^6
Deformaciones
V A V B
M
izq C
M C
der
C
a b
L
A
x
B
M A
M (^) B
Elástica:
L
b
L
L x a EIL
Mbx y 2
2
AC 2
L
a
L
bx
EIL
MaL x y 2
2
CB 2
Flecha en C: ( a b )
EIL
Ma b y = − − 3
2 2
C 2
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: carga puntual F genérica.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: ( L b )
L
Fb R = 3 − 2
3
2
A (^ )
2 2 B (^3)
L a L
Fa R = −
Cortantes: ( L b )
L
Fb V = 3 − 2
3
2
AC (^ )
2 2 CB (^3)
L a L
Fa V =− −
Flectores: ( )
2 2 B (^2) 2
L a L
Fa
M = − − b ( a b )
L
Fa M 3 2 2
2 C (^3)
( a b )
L
Fxb M 3 2 2
3
2
AC =^ + (^ L Lx a x )
L
Fa M
3 2 2 CB (^3)
Deformaciones
V B
M C
M B
x F
L
a
V A
A
b
C
B
Giros: ( )
2 A 4
L a EIL
Fa ϕ =− −
2 2 3
2
C 2
L aL a EIL
Fa L a − −
ϕ =−
Elástica: [ aL x ( L a )]
EIL
Fb x y = 3 − 2 +
12
2 2
3
2
AC
L
L x
L
a
L
a
EI
FaL x y 2
2
2
2 2
CB 3 1 3
Flechas:
L a
a
EI
Fb a y
2
máx para^
L a
a x L
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: carga uniforme q intermedia.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
L
M
L
qbc R
B A =^ + L
M
L
qac R
B B = −
Cortantes: V AC = R A ⎟
CD A
c V R q x a V DB (^) =− R B
Flectores: M AC = R A x
2
CD A 2 2
c x a
q M R x
M (^) DB = R B ( L − x ) + M B ⎟
b
c L a
L
qabc M
2 4
2
B 2
Deformaciones
B
B
M
V
q
x
a
L
C
V A
A
b
B
D
Giros:
ϕ =− − + 2
3 2
A
(^48) c
ab L b EIL
qc
Elástica:
2
2 2 3 AC A
(^48) c
ab R Lx qc L b EIL
x y
= − + − + x
c
ab qc L b
c R Lx qL x a EIL
y 2
2 3
4 3 CD A
( ) [ (^) B( ) B]
2
DB 3
R L x M EI
L x y − +
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: carga uniforme q en todo el vano.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: R qL
A =^ R^ qL 8
B =
Cortantes: ⎟
L
x V qL 8
AB V^ qL 8
A =^ V^ qL 8
B =−
Flectores: ( L x )
qx M 3 4 8
AB =^ −
2
B
q L M =−
2 máx( ) 128
M + = qL para x L
= M x = 0 para x L
Deformaciones
L
A
A
V
V B
M
M máx(+)
B
B
q
Giros:
EI
qL
3
ϕA =−
Elástica: ( )( )
2 AB 2 48
L x L x EI
qx y = + −
Flecha máxima:
EI
qL y 185
4
máx =^ para^ x^ L
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: momento puntual M intermedio.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: ( )
2 2 A B 3 2
L a L
M
R =− R = −
Cortantes: V AB = R A
Flectores:
2 2 AC (^23)
L a
L
Mx M = −
⎥
2
2
CB L
a
L
M x M
2 2 B (^2)
L a L
M
M = − M R A a
izq C =^ M^ =^ R A a − M
der C
Deformaciones
b
L
der
M
izq
M
C
x
a
A
V A
C
M B
V B
B
Giros: ( L a )( a L )
EIL
M
ϕ =− − 3 − 4
A
ϕ = − +
2
C 4 3 1
4 L
a
L
b
EI
Mb
Elástica: [ L ( x L )( a L )]
EIL
Mbx y = − − − +
3 2 2 AC (^3)
[ ( )]
2 2 2 3
2
CB 2
a L xL a
EIL
M L x y − −
VIGA SIMPLE APOYADA-EMPOTRADA: momento puntual M extremo.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
L
M
R R
A =− B=
Cortantes:
V AB = R A
Flectores:
AB
L
M x
M
B
M
M =
Deformaciones
L
M A
A
V A
M
M B
V B
B
Giros:
EI
ML
ϕA =
Elástica:
2 AB
L x
EIL
Mx
y =− −
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: carga uniforme q intermedia.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: R B= qc
Cortantes: V AC = 0 ⎟
CD
c V q x a V B =− qc
Flectores: M AC = 0
2
CD 2 2
c x a
q M
M (^) DB =− qc ( x − a ) M (^) B=− qcb
Deformaciones
L
B
M B
V
C
a
x
A
b
D B
q
Giros:
ϕ =ϕ = + 2 12
2 2 A C
c b EI
qc
⎟
ϕ = − 2 4
2 2 D
c b EI
qc
Elástica: ( ) ⎥
3
2 2 AC 2 4
b
c a x b EI
qc y
( ) ⎥
= − + bc
c ca x b
c x a EI
q y
3
2 2
4
CD 8
( L x ) ( b a x ) EI
qc y = − 2 − + 6
2 DB
Elástica:
3
2 2 A 2 4
b
c a b EI
qc y
( ) ⎥
3
2
C 4
b c c
c b EI
qc y ⎟ ⎠
2
D
c b c b EI
qc y
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: carga uniforme q en todo el vano.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: R B= qL
Cortantes: V AB =− qx V B=− qL
Flectores:
2
AB
q x M = − 2
2
B
q L M =−
Deformaciones
V A
M
V B
B
L
A
q
B
Giros:
EI
qL
3
ϕA =
Elástica: ( ) ( )
(^222) AB 3 2 24
L x L Lx x EI
q y = − + +
Flecha máxima:
EI
qL y 8
4
A =
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: momento puntual M extremo.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones:
R B = 0
Cortantes:
V AB = 0
Flectores:
M AB=− M
Deformaciones L
x
B
A
M
M B
V AB = 0
Giros:
EI
ML
ϕA= −
Elástica:
( )
2 2 AB 2 2
x Lx L EI
M
y = − +
Flecha:
EI
ML
y 2
2
A =
VIGA SIMPLE EN VOLADIZO: momento puntual M intermedio.
Reacciones y solicitaciones
Reacciones: R B = 0
Cortantes: V AB = 0
Flectores:
M AC = 0 M CB =− M M B=− M
Deformaciones
L
V AB
M B
b
A
a
x
C B
= 0
Giros:
EI
Mb ϕ (^) A=ϕC =
Elástica:
b^ (^ L x b ) EI
M
y = 2 − 2 − 2
AC (^ )
2 CB 2
L x EI
M
y = −
Flecha:
b ( L b ) EI
M
y = 2 − 2
A EI
Mb y 2
2
C =
VIGA 2 VANOS IGUALES: carga repartida en los 2 vanos.
Reacciones
A C
qL
R = R =
B
qL R =
Cortantes
( L x )
q V 3 8 8
AB = ⋅ −
der^5 B
izq B
qL V =− V =−
( L x )
q V 13 8 8
BC = ⋅ −
Flectores
q
L L
M máx
M B
V A
V C
A B C
V
izq B
3 L
V
der B
L
3 L
L
4 M máx
( L x )
qx M 3 4 8
AB = ⋅ −
( L x ) ( x L )
q M 2 4 5 8
BC = ⋅ − ⋅ −
2
B
q L M =−
2
máx
q L
M = para^
3 L
x = y^
13 L
x =
VIGA 2 VANOS DESIGUALES: carga repartida en los 2 vanos.
q
k· L L
A
x
B C
d e
M B
M D
M E
V A
V
der B
V
izq B
V C
D E
Reacciones :
R A = V A
der B
izq R (^) B =− V B + V
R C =− V C
Cortantes Flectores
k V
A
(× q · L )
V B
izq
(× q · L )
V B
der
(× q · L )
V C
(× q · L )
M B
(-)
(× q · L ²)
M D
(+)
(× q · L ²)
d
(× L )
M E
(+)
(× q · L ²)
e
(× L )