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ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA
GRADOS ADE Y DOBLES GRADOS ADE-ECO, ADE-CCT Y ADE-DCHO. CURSO 2º
Examen final. 24 de enero de 201 4
DATOS DE IDENTIFICACIÓN (Por favor, rellene en mayúsculas, con letra clara.) APELLIDOS: FIRMA:
NOMBRE: DNI o Pasaporte:
Grupo: (marque con una x ) ADE G1 (G. Cortés) ADE G 2 (Cortés & Ricci) ADE G3 (L. Nogales) ADE-ECO (M.A. Márquez) ADE-CCT (M.A. Márquez) ADE-DCHO (G. Cortés)
Normas para la realización de exámenes
- Deben escribirse los datos de identificación de forma clara y con letras mayúsculas.
- Los alumnos deben estar identificados con D.N.I., carnet de estudiante o documento que acredite su identidad.
- El examen se compone habitualmente de ejercicios que pueden tener varios apartados. Cada ejercicio o apartado tiene asignada una puntuación que se indica al principio del mismo. Se tendrá en cuenta la ortografía y la presentación.
- Para que las respuestas se consideren correctas deberán realizarse y presentarse en las hojas de respuesta de manera explícita los cálculos y operaciones necesarias a la hora de argumentar y/o sostener las respuestas.
- Deberá figurar de modo explícito cada una de las hipótesis que se contraste y así como el contraste utilizado.
- Salvo que se indique de otro modo, se utilizará un nivel de significación del 5 por ciento.
- Se valorará la claridad y concisión de razonamientos y operaciones.
- En cualquier momento del examen el profesor podrá examinar las calculadoras utilizadas. La incorporación de información relativa a la asignatura en la memoria de la calculadora hará que el alumno abandone el examen.
- El tiempo para la realización del examen es de dos horas y media.
- En los exámenes no se permitirá más material que el propio de escritura, las tablas y calculadora. No se podrá disponer de teléfonos móviles.
- Es requisito imprescindible cumplimentar una ficha en el Campus Virtual (fotografía, teléfono y e-mail)
- La calificación obtenida en una convocatoria no será válida, en ningún caso, en las convocatorias posteriores. Por tanto, se recomienda a los alumnos que comprueben si disponen de la convocatoria a la que se presentan, en caso contrario no serán evaluados.
Cuestión 1. (1 punto) La variable aleatoria X sigue una distribución normal N ( μ , σ^2 ), siendo μ y σ^2 desconocidas.. La media y la varianza muestrales obtenidas en muestras de tamaño n , siendo n < 25, se denotan
por X y S^2. Dedúzcase el intervalo al (1- α ) % de confianza para la media poblacional.
Aplíquese e interprétese, al caso en que se ha obtenido X 5. 2 y S^2 2. 5 , siendo = 0. y n = 16.
Cuestión 2. ( 1 punto)
Enuncie y explique brevemente las hipótesis del modelo de regresión lineal general Y X e
Problema 1 (3 puntos).
En un estudio del turismo en Extremadura se considera que el número de visitas que recibe el Teatro Romano de Mérida sigue una distribución normal, N ( μ , σ^2 ). En una muestra aleatoria
simple de 16 días se han obtenido una media muestral X 808 , 5 visitantes, siendo la desviación
típica observada Sx 68 , 8.
1.1) (1 punto) Obténgase e interprétese el intervalo al 90% de confianza para la varianza poblacional.
1.2) (1 punto) ¿Puede aceptarse que el número medio esperado de visitantes es superior a 850 visitantes diarios?
1.3) (1 punto) En el mismo estudio se llevó a cabo una muestra de 18 días del número de
visitantes del Museo de Arte Romano, obteniéndose en este caso Y 802 , 6 ; Sy 64 , 5. ¿Puede aceptarse, suponiendo que tienen igual varianza, que el Teatro y el Museo tienen el mismo número medio de visitantes diarios?
Problema 2 (5 puntos). Producción en la industria manufacturera
En este ejercicio se van a analizar datos referentes a la producción (valor añadido bruto, Y ), mano de obra (horas trabajadas, L ) y stock de capital (valor bruto de los bienes de capital propio, K ), de 27 empresas del sector de la siderurgia y primera transformación del hierro y del acero.
Para estudiar la relación entre el output y los factores productivos (inputs), se considera inicialmente una función de producción del tipo Cobb-Douglas, que viene por la expresión
Y AL ^ K , donde A es una medida de eficiencia tecnológica
Para llegar a una relación estimable, se toman logaritmos y se añade un término de error, obteniéndose el siguiente modelo econométrico:
(Modelo 1)log Yi 1 2 log Li 3 log Ki ei
Una generalización de la función de Cobb-Douglas es la función de producción translogarítmica (translog), que viene dada por el Modelo 2 que sigue:
log Yi 1 2 log Li 3 log Ki 4 log Li 2 5 log Ki 2 6 log Li log Ki ei
Mediante el programa EViews se han obtenido las siguientes salidas.
SOLUCIONES
Cuestión 1. (1 punto). 0 .5 puntos) La variable aleatoria X sigue una distribución normal N ( μ , σ^2 ), siendo μ y σ^2 desconocidas.. La media y la varianza muestrales obtenidas en muestras de
tamaño n , siendo n < 25, se denotan por X y S^2. Dedúzcase el intervalo al (1- α ) % de confianza para la media poblacional.
Dada una población N , siendo y parámetros desconocidos, la distribución muestral
del estadístico a utilizar es 1 /
tn S n
x t .
En consecuencia
( (^) n 1 , / 2 tn 1 , / 2 S n
x P t , y operando se obtiene la expresión
n
S
x t n
S
P x tn n.
De donde obtenemos el intervalo de confianza para la media poblacional, , al nivel de
confianza del 100( 1-α ) %, dado por :
(. )%(^ ) ( , / , , / ) n
S x t n
S I (^) 1 x tn 1 2 n 1 2
(0.5 puntos) Aplíquese e interprétese, al caso en que se ha obtenido X 5. 2 y S^2 2. 5 , siendo = 0.10 y n = 16.
Aplicando el intervalo obtenido a nuestro caso tenemos
90 %(^ ) (^5.^215 ; 0. 05 15 ; 0. 05
I t t
Tenemos un 90% de confianza de que este intervalo contenga el verdadero valor (desconocido) de la media poblacional, ya que si se repitiera 100 veces el procedimiento es de esperar que 90 de los intervalos obtenidos contendrían dicho valor.
Cuestión 2. (1 punto). Enuncie y explique brevemente las hipótesis del modelo de regresión lineal general Y X e
- H1 : El modelo está bien especificado , es decir, la especificación estocástica de la función de
regresión poblacional, matricialmente, Y = X + e ( yi = 1 + 2 x2i +...+ k xki + ei )
- H1.1: Se incluyen en el modelo todas las variables relevantes.
- H1.2: El término de error, ei , actúa aditivamente.
- H1.3: La relación es lineal en los parámetros.
- H1.4: Los parámetros estructurales (coeficientes de regresión poblacionales) son constantes, no variando ni en el horizonte de observación ni en el de predicción.
- H2: La matriz X es una matriz no estocástica y toma valores fijos en muestras repetidas. También ha de cumplirse que rango(X) = k < n (hipótesis de rango pleno ): más observaciones que parámetros a estimar, no multicolinealidad.
- H3: i E[ ei /X] = 0, o E[ e /X] = 0
- H4: i Var[ei / X] = 2 > 0, hipótesis de homoscedasticidad (igual dispersión) o igualdad de las varianzas condicionadas de los errores.
- H5 : i j Cov[ei, ej / X] = 0, hipótesis de ausencia de correlación en los errores.( No autocorrelación )
- H6 : Cada perturbación ei sigue una distribución normal y, por tanto, el vector e=(e 1 ,…,en)' sigue una distribución normal multivariante. (Hipótesis de normalidad de los errores ).
Problema 1 (3 puntos).
En un estudio del turismo en Extremadura se considera que el número de visitas que recibe el Teatro Romano de Mérida sigue una distribución normal, N ( μ , σ^2 ). En una muestra aleatoria
simple de 16 días se han obtenido una media muestral X 808 , 5 visitantes, siendo la desviación
típica observada Sx 68 , 8.
1.1) (1 punto) Obténgase e interprétese el intervalo al 90% de confianza para la varianza poblacional.
El intervalo de confianza para, ^2 , al nivel de confianza del 100( 1-α ) % está dado por
(^2) (^12)
2 2 (^112)
2 2 1
, ,
( )%
n n
n S n S I , en nuestro caso
;. ,.
2 15005
2 2 15095
2 2 (^90)
S n S I
Tenemos un 90% de confianza de que este intervalo contenga el verdadero valor (desconocido) de la varianza poblacional, ya que si se repitiera 100 veces el procedimiento es de esperar que 90 de los intervalos obtenidos contendrían dicho valor.
1.2) (1 punto) ¿Puede aceptarse que el número medio de visitantes es superior a 850 visitantes diarios? Se pide llevar a cabo el contraste H 0 : 850 v. s. H 0 : 850
El estadístico de contrates es 0 1
0
(^) n H
t s n
x t /
exp
La Región Crítica está dada por la expresión t exp tn 1 ;
Si tomamos 0. 05 , tenemos^2.^411.^753
8 / 16
5 850 exp 15 ; 0. 05
t ^ t , luego
debemos rechazar la hipótesis nula.
2.2) (1.25 puntos) Puede aceptarse, en el Modelo 1, la hipótesis de rendimientos de escala constante o de elasticidad de substitución unitaria: β 2 + β 3 = 1 Se trata de contrastar H 0 : 2 3 1 vs. H 1 : 2 3 1 ,
para lo cual debe utilizarse el estadístico de contraste nk
H t se
t
o
2 3
2 3
estando la región crítica dada por t t / 2 , n k.
Como se ( ˆ 2 ˆ 3 ) Var (ˆ 2 ˆ 3 ), y
Var Var Var Cov
se obtiene que se ( ˆ 2 ˆ 3 ) Var (ˆ 2 ˆ 3 ) 0 , 003916 0 , 062578 ,
Por tanto, -0, 0 , 062578
2 3
se
t.
A continuación, se busca en las tablas el valor crítico de t (^) / 2 , n k , para un nivel de
significación del 5 por ciento, siendo dicho valor t 27 3 ; 0 , 025 2 , 063899.
Como 0 , 340232 2 , 063899 , no se rechaza la hipótesis nula.
2.3) (1.25 puntos) Obténgase el cuadro de análisis de la varianza correspondiente al Modelo 1 y contrástese la significación global del mismo. (0.625 puntos) En primer lugar, se calculan las sumas de cuadrados tal como sigue: STC = ( S.D. dependent var )^2 (n–1) = (0,761153)^2 (27–1) = 0,579354 · 26 = 15,063201. SRC se corresponde con Sum squared resid del Cuadro 1, es decir, SRC = 0,851634. De STC = SEC + SRC , se sigue que SEC = STC – SRC = 15,063201 – 0,851634 = 14,211567. En consecuencia, el cuadro de análisis de la varianza correspondiente al Modelo 1 es: Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios F
Regresión
SEC =
= 14,211567^2
k SEC /(^ k ^1 )^ = = 7, /( )
SRC n k
SEC k
Residual = 200,
SRC =
n k SRC^ /(^ n k )^ = = 0,
Total
STC =
= 15,063201^26
n
(0.625 puntos) El contraste de validez general del modelo de regresión es
H 0 : 2 0 , 3 0 vs. H 1 : 2 0 , ó 3 0 .
El estadístico es Fk nk R n k
R k SRC n k
SEC k F
2 1
2
1
La Región Crítica: F F ; k 1 , n k
Se tiene que 200 , 248940 3, 0 , 035485 /( 27 3 )
F F F.
Se rechaza H 0 , por tanto, el modelo es significativo globalmente.
2.4) (1.25 puntos) En base al contraste de hipótesis adecuado, llévese a cabo la selección entre el Modelo 1 de función de Cobb-Douglas y el modelo 2 de función de la producción translogarítmica. Se trata de contrastar H 0 (^) : 4 5 6 0 vs. H 1 : i 0 , i 4 , 5 , 6 .
Para ello se van a emplear los resultados de los cuadros 1 y 2.
Como bajo la hipótesis nula se cumple que qnk NR
R NR F
SRC n k
SRC SRC q F
El estadístico de contraste es 1, 0,
F .
A continuación, se busca el valor tabular al 5% de significación F (^) ; q , n k F 0 , 05 ; 3 , 27 6 F 0 , 05 ; 3 , 21 3,
de modo que, como 1,768<3,072, no puede rechazarse al 95% de confianza la hipótesis nula de no significación de las variables “cuadrado del trabajo”, “cuadrado del capital” y “producto del trabajo por el capital”.
Así pues, el modelo preferido es el Mod. 1 de función de producción de Cobb-Douglas.
