Exaen matematicas uc3m, Apuntes de Matemáticas

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5. Dada f(2) =4r —x? y g(x) la recta tangente a la gráfica de f en el punto 7 = 3, se pide: a) Dibujar el recinto cerrado A limitado por las funciones f, g y el eje horizontal. Asimismo, hallar los maximales y minimales, máximo y mínimo de A, si existen. b) Calcular el área del recinto anterior. 1 punto a) f(x) = 4x — 2? describe una parábola cóncava cuyo vértice es el punto (2,4), pues f '(2) = 0, FO)=1 Por lo tanto, la tangente a dicha gráfica en el punto x = 3 es una recta decreciente que queda siempre encima de la parábola. Concretamente, como f '(1) =4-2x => f '(3) = —2, luego como f(3) = 3, la ecuación de la recta tangente será: y -=3=(-2(1-3) = y = 21 +9, que corta al eje horizontal en el punto (45, 0). Como, además, la parábola corta al eje horizontal en el punto x = 4, el recinto tiene una forma así: Obviamente, max(4), min(4) no existen, pues maximales(A)=([(x,y): y =-21+9,3