ÁLGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS
Convocatoria Septiembre 2011 (16/09/2011)
Alumno: Grupo: DNI:
Ejercicio 1. Sea f:Z50 →Z50 la aplicación definida por f(x) = 13x +7.
¿Es funa aplicación inyectiva?. ¿Es sobreyectiva?. ¿Es biyectiva?. Razona las respuestas.
Ejercicio 2.
Resuelve, si es posible, el siguiente sistema de congruencias:
7x ≡15 mód 20
9x ≡23 mód 46
Ejercicio 3. Resuelve, si es posible, la siguiente ecuación diofántica:
6x +10y +15z =7
Ejercicio 4. Calcula, si es posible, u(x), v(x)∈Z7[x]tales que
(x2+3x +3)·u(x) + (x3+2x +4)·v(x) = x+2
Ejercicio 5. Sea A=
1 2 1 1
5 0 a 2
3 0 5 a +1
2 1 1 1
∈M4(Z7). Estudia para que valores del parámetro ala matriz A
tiene inversa para el producto.
Ejercicio 6. Sea Uel subespacio de (Z5)3generado por los vectores (2, 3, 1)y(1, 4, 3), y Wel subespacio de
(Z5)3de ecuaciones x+2y +z=0
2x +y+3z =0°.
Calcula unas ecuaciones cartesianas o implícitas del subespacio U+W.
Ejercicio 7. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Q
x−ay + (a+1)z=4
ax +2y +z= −1
Discútelo según los valores del parámetro a, y resuélvelo para a= −1.
Ejercicio 8. Dada la base B={(1, 0, 1, 1); (0, 1, 1, 0); (1, 1, 1, 1); (0, 1, 0, 1)}de (Z2)4, calcula las coordenadas
del vector (0, 0, 0, 1)en la base B.
Ejercicio 9. Da una aplicación lineal f:Q2→Q4tal que (1, −1)∈N(f)yf(3, 2)=(2, −1, 3, −2). Describe
explícitamente cuanto vale f(x, y)para cualquier vector (x, y)∈Q2.
Ejercicio 10. Sea A=
4 3 2
0 3 1
1 2 1
∈M3(Z5). Estudia si es posible encontrar una matriz regular Pde forma
que P−1·A·Psea una matriz diagonal, y en caso afirmativo, da una.
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