¡Descarga Examen Algebra 2012 A y más Exámenes en PDF de Tecnología Industrial solo en Docsity!
Prova Final. Àlgebra. Grau en Enginyeria Informàtica. 161
Nom i Cognoms: OPCIÓ A
Grup: Matí Tarda
Qüestionari:
- Donat el sistema d'equacions
x + 2y = 0 2 x + y + 2az = 0 x + y +^23 a z = 0
llavors:
Per a certs valors de a el sistema no té solució. Per a certs valors de a el sistema tindrà una única solució. Valguin el que valguin a el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Cap de les altres és certa.
- Donada la matriu M =
(^) la matriu ampliada d'un sistema d'equacions. Quina de les a rmacions és certa el sistema és compatible determinat perquè la matriu te rang 3 i el siste- ma té 3 equacions. el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat perquè la ma- triu té rang 3 i 4 incògnites.
el sistema és incompatible perquè la matriu té rang 3 i 4 incògnites.
el sistema és incompatible perquè la úl- tima la de la matriu només té un ele- ment diferent de zero.
- Donada la matriu A =
, la matriu en forma reduïda que resulta després d'aplicar el mètode de Gauss-Jordan és:
- Sabem que la matriu A 3 × 3 té 3 vectors propis (1, 0 , 0), (0, 1 , 0) i (1, 1 , 1) associats al valor propi a. Llavors podem a rmar que la matriu A: no diagonalitza perquè els vectors propis són tots del mateix valor propi. no diagonalitza perquè només té un valor propi. diagonalitza perquè té tres vectors propis associats al valor propi a que són indepen- dents. no es pot donar aquest cas, un valor propi no pot tenir tres vectors propis.
- Sabem que A és una matriu 3 × 3 tal que 2 és un valor propi de vector propi (2,3,-1) i 1 és un valor propi de multiplicitat 2 de vectors propis (1,-1,1) i (-1,1,1). Llavors la matriu A és:
−^15 −^15
−^15 −^2565
−^25 −^1565
- Sigui A =
. Si apliquem el mètode de la potència per obtenir el valor i el vector propi dominant partint del vector v = (1, 1) després de 3 passos tenim: λ 3 = 154 i v 3 = (71, 41) λ 3 = 900241 i v 3 = (71, 41)
λ 3 = 90041 i v 3 = (^7141 , 1) λ 3 = 154 i v 3 = (1, 4171 )
- Siguin −→u i −→v dos vectors tals que ‖−→u ‖ = 3 i −→v = − 2 −→u , llavors podem a rmar que el valor de ‖−→u + 2−→v ‖ no es pot calcular perquè no coneixem les direccions dels vectors. no coincidirà amb √(−→u + 2−→v )(−→u + 2−→v ) perquè la base no és ortonormal.
és un nombre negatiu perquè −→v és més llarg que −→u.
és calculable i múltiple de 3.
- Sigui −→ SR = {O; −→e 1 , −→e 2 } un sistema de referència ortonormal i els vectors −→v 1 = 2−→e 1 − −→e 2 i v 2 = −→e 1 + 2−→e 2. Quina de les següents a rmacions és FALSA? {−→v 1 , −→v 2 } és una base del pla orientada positivament. El punt que en el sistema SR té coordenades (1, 1), té coordenades (1/ 5 , 3 /5) en el sistema SR′^ = {O; v 1 , v 2 } Les coordenades del vector −→u = − 3 −→e 1 + 2−→e 2 en el sistema SR′^ són (− 4 , 7). El sistema SR′^ = {O; v 1 , v 2 } és ortogonal.
- Donats el punt A(1, 2) i els vectors −→u = (2, 2) i −→v = (− 2 , 2) les coordenades del punt (3,2) en el sistema de referència SR = {A, −→u , −→v } són: (1/ 2 , − 1 /2) (5/ 4 , − 1 /4) (3, 12) (2, 10)
- Quin dels següents vectors és la projecció de −→v = (2, −3) sobre a la recta x − y + 1 = 0
(− 1 / 2 , − 1 /2) (− 1 , 0) (1, 2) (− 2 , 1)
- Apliquem una homotècia de raó 3 i centre (2, 1) al P (3, 2). Quin és el punt que obtenim?
(5, 4) (13, 8) (9, 6) (6, 9)
Prova Final. Àlgebra. Grau en Enginyeria Informàtica. 161
Problemes:
- Un taxista de Girona es dedica a fer recorreguts entre Girona i Salt i també dins cadascuna de les dues ciutats. Ha comprovat que, quan es troba a Salt, la probabilitat que el servei següent sigui dins la mateixa ciutat és 0.2, mentre que la probabilitat que sigui a Girona és 0.8. Així mateix, ha comprovat que quan es troba a Girona, la probabilitat que el servei següent sigui dins Girona és 0.6, mentre que la probabilitat que el dugui a Salt és 0.4. (a) (0.5 punts) Escriu la matriu de transició. (b) (0.75 punts) Si ara està a Girona quina és la probabilitat de que estigui a Girona després del primer viatge?. I després del segon? I després del tercer? (c) (0.75 punts) Quin serà el percentatge de temps que està a cada ciutat a llarg termini?.
- Donat el pla π : x − z = 0 (a) (0.75 punts) Troba la matriu de simetria respecte del pla π. (b) (0.75 punts) Calcula el simètric del tetraedre de vèrtex A(1, 0 , 0) , B(0, 6 , 2), C(1, − 2 , 0) i D(x, 0 , 1) (c) (0.5 punts) Troba els valors de x perquè per tal que paral·lelepípede generat pels vectors − A−′B→′, − A−′→C′^ i − A−′D→′^ tingui volum 6 , essent A′, B′, C′^ i D′^ els simètrics de A, B, C i D respecte del pla π.
En tots els problemes CAL JUSTIFICAR I RAONAR els resultats que obtingueu. Escriure el resultat sense justi cació NO es considerarà una resposta correcta
Feu cada problema en un full separat.
Puntuació Qüestionari: 6 punts (0.5 cada pregunta); els errors descompten 1/3 del valor de la pregunta. Problemes: 4 punts (el repartiment està indicat a cada apartat)
Publicació de notes dia 20012012 a la web de l'assignatura Revisió examen dia 23012012 al laboratori de MA, Edi ci PIV D-202, a les 16h.
