¡Descarga Examen Algebra resolt y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
EXAMEN DE JUNY 3r parcial
Assignatura: Àlgebra
Data: 1/06/
**1. Poseu Nom, Cognoms i nº d'expedient a tots els fulls i numereu-los.
- Contesteu cada pregunta en fulls separats.
- No es pot utilitzar calculadora, ni llibres, ni apunts de cap mena.
- Manteniu sobre la taula un carnet identificatiu durant tot l’examen.** 5. **La durada de l’examen és de 1h 15’.
- Totes les respostes que doneu han d'estar degudament raonades.**
Problema 1 (4 punts)
Donada la següent aplicació
11 1 1 2 2 1 2 2 2
2 2
( u , v ) → < u , v >= uv + Kuv + uv + Kuv
ℜ × ℜ → ℜ
r r r r
on u = ( u 1 , u 2 ) i v =( v 1 , v 2 )
r r
a) Sabent que l’aplicació és bilineal, per a quins valors de K 1 i K 2 defineix un producte
escalar? (1,5 p)
A partir d’ara farem servir el producte escalar definit abans amb els valors següents de
K 1 i K 2 : K 1 = 1, K 2 = 2.
b) Troba l’angle entre els següents vectors: { u =( 1 , 1 )
r , v =( 2 ,− 1 )
r }. (0,75 p)
c) Calcula la projecció del vector v
r sobre el vector u
r
. (0,75 p)
d) Troba una base del subespai vectorial
⊥ u
r
. (1 p)
Problema 2 (4 punts)
a) Sigui P 3 [ x ]l’espai vectorial euclidià dels polinomis de grau menor o igual a 3,
amb producte escalar:
1
0
f , g f ( t ) g ( t ) dt
i sigui Q el subespai engendrat pels vectors { }
2 1 , 2t.
Troba la millor aproximació del vector p t P 3 [ x ]
3 = ∈
r dins del subespai Q. (2,5 p)
b) Determineu la recta y = ax + b que millor aproxima el conjunt de punts
{(-1,1), (0,2), (1,1) } minimitzant l’expressió ∑( )
=
3
1
2 ˆ i
ε yi yi on^ y^ i = axi + b ˆ (^). (1,5 p)
Problema 3 (2 punts)
Una empresa de ceràmica fabrica 4 models diferents de rajoles. La textura de cada
model diferent de rajola queda identificada calculant 3 paràmetres diferents. L’empresa
té el valor dels 3 paràmetres calculats per cada model de rajola:
Paràmetre 1 Paràmetre 2 Paràmetre 3
Model 1 A 1 A 2 A 3
Model 2 B 1 B 2 B 3
Model 3 C 1 C 2 C 3
Model 4 D 1 D 2 D 3
Suposem que una rajola fabricada per aquesta empresa ha de ser classificada
automàticament. Si el valor dels 3 paràmetres calculats en aquesta rajola han estat X 1 ,
X 2 i X 3 ,
Explica què faries per classificar aquesta rajola en un dels 4 models. Justifica la teva
resposta.
Ha de quedar molt clar quines eines algebraiques faries servir, perquè i com les
faries servir.
SOLUCIÓ.
Problema 1
Apartat a)
Sabent que compleix la propietat bilinial, només queda comprovar les propietats de
simètrica i definida positiva.
Simètrica:
S’ha de complir que: < u v >=< vu >
r r r r , ,
Llavors:
11 11 2 2 1 22 2
11 112 21 2 2 2
,
vu vu Kvu vu Kv u
u v uv Kuv uv Ku v
rr
rr
comparant els dos termes obtenim:
K 1 (^) = 1 ; K 2 = K 2
Definida positiva:
S’ha de complir que:
2 2 2
2 1 2
2 2 2
2 2 1 2
2 1
2 2 1 2 2
2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1
u u K u
u u uu uu uu K uu u uu K u u uu u K u
r r
Si oberservem, per a que així sigui:
K 2 ≥ 1
1
0
2 2 < t >=∫ t = = ≠ per tant, no són ortogonals i NO podem aplicar el
desenvolupament anterior.
Llavors aquí tenim 2 opcions:
Primera opció:
Com que la base que tenim de Q, no és ortogonal, podem aplicar Gram-Schmidt per
obtenir- ne una que si que sigui ortogonal:
Nova base ortogonal de Q: W { w 1 , w 2 }
r r
2
2 2 1
2 2 2
1
w t proyec t w t t w
w
r r r
r
i ara, amb aquesta base que SI és ortogonal podem dir:
2 2
2 2 2
2
3
1 1 1
1
3
1 2
t t
w w w
t w w w w
t w p projec pQ projecpw projec pw
r r r
r r r r
r r r r r r r
Segona opció:
Per trobar el valor de k 1 i k 2 de:
2 ( , ) 11 22
p = projec pQ = k + k t
r r
Plantejarem la matriu del sistema de equacions que surt de plantejar:
2 < >=
e t
e p p e e Q r
r r r r r
3 2
3
2
1 2 2 2
2
1 , 1 2 ,^1
t t
t
k
k
t t t
t
on la matriu de 2x2 és la coneguda com grammià.
Fent els productes escalars obtenim:
2
1
2
1
k
k
k
k
Per tant:
2 2 2 1 2 16
p projec pQ k k t t + t
r r
Apartat b)
Trobar la recta y = ax + b
El nostre problema es soluciona calculant la millor aproximació del vector y
r sobre
l’espai engendrat pels vectors i 1.
r r x
r
r
r
x
y
ˆ (^1) r r r y = ax + b (1)
Veiem que els vectors i 1
r r x ja són ortogonals perquè el producte escalar entre ells dóna
- Per tant, ja podem aplicar el teorema de la millor aproximació directament amb ells:
r rr
rr r r r
rr r y x x x
y x y
L’equació de la recta és:
3
y =
Problema 3
Cada model de rajola queda identificat per 3 paràmetres. Podem dir llavors, que cada
rajola la podem representar amb un vector de 3 elements:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
R D D D
R C C C
R B B B
R A A A
Llavors, per identificar a quin model pertany una rajola podríem estudiar/considerar
diferents opcions. Per exemple:
3 apunten a direccions bastant diferenciades, es podria
considerar la mesura de l’angle que forma el vector de la rajola que volem
identificar amb els vectors dels models, i quedar- nos amb el model amb el que té
l’angle més petit.
- Mesurar la norma del vector error que forma el vector de la rajola a identificar
amb els vectors dels models.
