¡Descarga Análisis de un Sistema de Segundo Orden: Transferencia y Estabilidad - Prof. Durán y más Exámenes en PDF de Automatización Industrial solo en Docsity!
Cuestiones: 40% del Peso del Examen
Primer parcial 40%
1. (35%) Dada la función de transferencia en bucle abierto ( )
ss
k GsH s
analizar cualitativamente como afecta la ganancia a la velocidad de respuesta, la estabilidad y los errores de posición y de velocidad.
El sistema es siempre estable para k>0. A medida que aumenta k el sistema se hace más rápido. El error de posición es cero. El error de velocidad es k
ess
por lo que también disminuye el error con la k.
x x
k
s
2. (40%) Indicar que relación cualitativa existe para un sistema de segundo orden puro o normalizado entre el factor de amortiguamiento y
a) la frecuencia natural. Æ Ninguna.
b) la frecuencia natural amortiguada. Æ ω d = ω n 1 − δ^2 disminuye cuando crece
el factor de amortiguamiento.
c) sobreoscilación. 1 2 100 δ
πδ −
− SO = ⋅ e la sobreoscilación crece a medida que se acerca a cero el factor de amortiguamiento. d) Tiempo de establecimiento. disminuye cuando crece el factor de amortig.
e) Tiempo de subida. crece cuando crece el factor de amortiguamiento.
3. (25%) Defina tipo y orden de un sistema. Tipo: Nº de integradores de la función de transferencia en bucle abierto. Orden: grado del denominador de la función de transferencia.
Segundo parcial 60%.
4. (25%) Defina frecuencia de corte de ganancia, frecuencia de cruce de ganancia, margen de fase, margen de ganancia. Wcorte: frecuencia en la que el módulo baja -3.01 db sobre su valor a frecuencia bajas Wcg= la frecuencia en la que el módulo de la Función de transferencia vale 1 (O db). Wcf=la frecuencia en la que la fase de la función de transferencia vale -180 deg. Margen de fase: Complemento a 180 de la fase de la función de transferencia a la frecuencia de transición de ganancia. Margen de ganancia: recíproca del módulo a la frecuencia de transición de fase.
(^00) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
factor de amortiguamiento
frecuencia natual amortiguada
(^00) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
actor de amortiguamiento
SO %
(^00) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2
4
6
8
10
12
14
16
factor de amortiguamiento
Tiempo de subida
El cero desplaza (pliega) en general el lugar de las raices hacia la izquierda, aumentando su estabilidad y en general haciéndolo más rápido. El polo, tiene el efecto contrario.
PRIMER PARCIAL (40%)
EJERCICIO 1. (45 %) Analizar el rango de k para que el error de posición del sistema cuya función de transferencia en bucle abierto es
s
G s k de un error en régimen permanente ante entrada escalón
menor del 10%.
Aplicando el Teorema del valor final se tiene ( ) 1 ()
( ) lim 0 Rs Gs
e s ss (^) s +
→
R ( s ) E ( s ) G ( s ) Y ( s )
Dado que s
R s
( )= sustituyendo en la ec. de arriba se obtiene:
( ) lim (^0) Gs e ss (^) s +
→ que particularizando para 100
s
G s k da:
k
ess −
Si el error ha de ser menor del 10% puede considerarse los siguientes rangos para el error: a) 0 ≤ ess (∞)≤ 0. 1 que se corresponde a valores de k ≤− 9
b) − 0. 1 ≤ ess (∞)≤ 0 correspondientes a valores de k ≥ 11
la solución dada en a) no es válida ya que el sistema para ese rango de k es
inestable (El teorema del valor final solo es válido si 1 ()
Gs
Gs F s
= es estable,
lo cual solo ocurre si k > 1 ). Luego solo es válida la solución dada en b)
k ≥ 11
Pueden comprobarse mediante RLTOOL los resultados anteriormente indicados:
Para k =− 2 la cuarta fila se hace cero:
0
1
2
3
4
s
s
s k
s
s k k
Æ
0
1
2
3
4
s
s
s k
s
s k k
Lo que corresponde a tres cambios de signo, y por tanto a tres raices con parte real negativa. (Dos simétricas, en realidad sobre el eje imaginario, ya que se puede considerar que la fila cuarta es completa de ceros).
Finalmente, para k = 0
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
Lo que se corresponde a una raíz en el origen, y dos raíces con parte real positiva.
Comprobación en Matlab:
k=-3; p=[4,2,k,1,k]; roots(p) ans = -1.
-0.0088 + 0.7524i -0.0088 - 0.7524i
k=-2; p=[4,2,k,1,k]; roots(p) ans = -1.
0.0000 + 0.7071i 0.0000 - 0.7071i
k=-1; p=[4,2,k,1,k]; roots(p) ans = -1. 0.0242 + 0.6325i 0.0242 - 0.6325i
k=0; p=[4,2,k,1,k]; roots(p) ans = 0 -0. 0.1739 + 0.5144i 0.1739 - 0.5144i
k=1; p=[4,2,k,1,k]; roots(p) ans = 0.3257 + 0.6276i 0.3257 - 0.6276i -0.5757 + 0.4106i -0.5757 - 0.4106i
k=2; p=[4,2,k,1,k]; roots(p) ans = -0.6201 + 0.6142i -0.6201 - 0.6142i 0.3701 + 0.7206i 0.3701 - 0.7206i
k=3; p=[4,2,k,1,k]; roots(p)
ans = -0.6383 + 0.7440i -0.6383 - 0.7440i 0.3883 + 0.7935i 0.3883 - 0.7935i
SEGUNDO PARCIAL (60%)
EJERCICIO 3. 5%) Analice en el lugar de las raices las distintas configuraciones del trazado de un sistema con dos ceros finitos, uno con parte real positiva y otro negativa, un polo en el origen, y dos polos complejos con parte real negativa, en función de su posición relativa, justificando mediante las reglas de construcción del lugar de raíces los distintos trazados.
s
x
x
Los tres primeros Lugares de las Raices corresponden a la solución para k negativa, (aunque al usar LRTOOL parezca que la solución es para k>0, en realidad no lo es, ya que introduce el cero de la forma (a-s)).
x
o o
-15 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0
5
10
15
Root Locus Editor (C)
Real Axis
Imag Axis
Para k > 0 se tiene un trazado con una única asíntota (n-m=1) con un ángulo de -180 grados. El número de bifurcaciones es único correspondiente a una raiz real múltiple.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10
0
2
4
6
8
Root Locus Editor (C)
Real Axis
Imag Axis
EJERCICIO 4. (65%) Sea el siguiente sistema en bucle abierto:
s s
GsHs
a) Diseñar un sistema de control para obtener las siguientes especificaciones:
- Tiempo de establecimiento (2%) menor o igual que 0.5 seg.
- Sobreoscilación menor o igual del 10%.
- Error estacionario (rampa) menor o igual a 0.
b) Comprobar las propiedades del regulador en el dominio frecuencial: margenes de ganancia y fase.
c) Obtener el ancho de banda para el sistema en bucle cerrado (con el compensador).
El sistema descrito en este caso necesitaría un regulador de tipo PD paras cumplir las dos primeras especificaciones. Pero el error ante una entrada rampa implica la necesidad de un regulador PID para que la función de transferencia en bucle abierto C(s)G(s) pase a ser de tipo uno (error finito ante entrada rampa).
En esta figura se observa un PID cuya función de tranferencia viene dada por:
Por tanto un posible diseño es
s
s s C s
siendo las especificaciones:
ss
s e
t seg
SO
b)
De la figura puede observarse que el margen de ganancia es infinito (No está definida la frecuencia de cruce de fase, por ser siempre esta superior a - deg. El margen de ganancia es de 86.3 db para una frecuencia de cruce de ganancia de 37.2 rad/seg. Por tanto, puede considerarse como un diseño muy robusto y estable, al ser el margen de ganancia >10 db y el margen de fase > 60 deg, , ambos valores considerados muy aceptables.
MF db rad seg
MG Inf NaN
cg
cf
. 86. 3 37. 2 /
d) Ancho de Banda (Bucle Cerrado).
En la figura se observa que el Ancho de Banda es de 39.5 rad/seg
BW = 39. 5 rad / seg
Este es el resultado del sistema con compensador, frente a los escasos 1. rad/seg del sistema sin compensar (en bucle cerrado) o los 0.5 rad/seg del sistema sin compensar en bucle abierto.
