CÁLCULO 1
Curso 2020-2021
Examen Enero 2021 (Curso 2020-2021)
Apellidos, nombre:
Grupo:
Ejer 1
(2 ptos)
Ejer 2
(2 ptos)
Ejer 3
(1.5 ptos)
Ejer 4
(2.5 ptos)
Ejer 5
(1 ptos)
Ejer 6
(1 ptos)
NOTA
FINAL
1) a) Sea
E={(x, y)∈R2/ y ≤(x−1)2,0≤x≤2, y ≥0}
a1) Representar grácamente el conjunto
E
.
a2) Razonar si es abierto, cerrado o compacto.
a3) Sea
f:E−→ R
continua. ¾Alcanza
f
extremos absolutos en E? Justica la respuesta
b) Estudiar el carácter de la serie:
∞
X
n=1
n2−1
n!
b1) Calcular o justicar que no existe el siguiente límite:
l´ım
n→∞
n2−1
n!
2) Sea
f(x) = √x+ 1 −2cos(x)
a) Probar que existe un único cero de
f
en el intervalo
[0, π]
.
b) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 entorno al punto
x0= 0
de la función
f
.
3) Calcular o justicar que no existe el siguiente límite:
l´ım
(x,y)→(0,0)
2xy2−x3
x2+y4
4) Resuelve los siguientes apartados:
a) Sea
f:R2→R
denida por:
f(x, y) = y4−8y2−x2e3y
a1) Calcular el gradiente de
f
en
(x, y)
.
a2) Calcular la matriz Hessiana en
(x, y)
.
a3) Justicar que
f∈C2(R2)
.
a4) Calcular, si existen, los extremos relativos de
f
.
b) Sea
g:R→R2
denida por:
g(x) = (2x, ex)
. Calcular
D(f◦g)(x)
en
x= 0
.
5) Calcular:
Z1
cos(x)dx
6) Sea
S
la región del plano limitada por
x=y2
,
x= 2
y
x= 4
, se pide:
a) Dibujar
S
.
b) El área de la supercie
S
.
c) El volumen del sólido generado al girar
S
alrededor del eje
OX
.