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Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Civil 17-06-
Unidad de Posgrado
MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Quinto Trabajo 2023-I
- Al resolver una ecuación diferencial de la forma y ' f ( x , y ), un método de Runge-Kutta de cuarto orden
(global) requiere cuatro evaluaciones de la función (^) f en cada paso, mientras que el método de Euler
requiere sólo una. Por tanto, si el método de Runge-Kutta de cuarto orden es mejor, debe producir con
intervalo h resultados más precisos que el método de Euler con intervalo h / 4. Similarmente, debe
producir resultados mejores que el método de Heun (un Runge-Kutta de segundo orden) con intervalo h / 2
Compare con la solución exacta las soluciones obtenidas para la ecuación diferencial que le corresponda
según la tabla de variantes, empleando los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta de cuarto orden, con
intervalos h / 4 , h / 2 y h , respectivamente.
En la tabla siguiente, n es el último dígito de su código UNI (o a falta de este el de su DNI).
n^ Ecuación
diferencial
Condición
inicial
Intervalo h Solución
exacta
0, 5 y^ '^ y x y / x y (^1 )^21 x 3 0.1 ( 1 )
1
x y x e
2 (^) y ' 0. 2 y y (^0 )^10 x 2 0. x
y 1 0. 2
3
xy ' y x y (^1 )^01 x 3 0.1 1
2 x
x y
2 1
x
xy y
y (^0 )^10 x 2 0. 2 1
x
x y
2
2
x
x xy y
y 1 x 3 0.1 y^ x atan( x )
- Determine la solución (^) y de las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de Ralston (un
Runge-Kutta de segundo orden global) primero con el intervalo h indicado, luego con intervalo h / 2 y
finalmente por extrapolación (pasiva) obtenga valores mejorados.
En la tabla siguiente, n es el último dígito de su código UNI (o a falta de este el de su DNI).
n^ Ecuación
diferencial
Condición
inicial
Intervalo h Solución
exacta
0 , 1 x x
xy y
2 1
' y (^0 )^00 x 1. 5 0.1
2 2 y 1 x 1 1 x
2 , 3 y^ y ' x y (^0 )^10 x 3 0.2 y 1 x^2
4 , 5 x^ y ' x y y (^1 )^21 x 4 0.2 y 2 x x log e ( x )
6 , 7 y^ '^ y (^1 y )/ x y (^1 )^21 x 2. 5 0.1 y^ ^2 x /(^1 ^2 x )
2 y ' 1 ( x y ) y (^2 )^12 x 3. 5 0.1 y^ x ^1 /(^1 x )
- Refiriéndose a la ecuación diferencial, obtenga la solución numérica en el intervalo indicado, utilizando un
método Predictor-Corrector con la regla trapezoidal (Crank-Nicholson) y compárela con la solución
exacta.
n Ecuación diferencial (^) Condiciones
iniciales
Intervalo h Solución exacta
1 , 2 x x
xy y
2 1
y
y (^0) x 1 0.1
2 2 y 1 x 1 1 x
2 y ' 1 ( x y ) ( 2. 1 ) 1. 190909
y
y 2 x 3 0.1 y^ x ^1 /(^1 x )
5 , 6 y^ '^ y (^1 y )/ x ( 1. 1 ) 1. 833333
y
y 1 x 2 0.1 y^ ^2 x /(^1 ^2 x )
x y ' x y
y
y
1 x 3 0.2 y^ ^2 x x log e ( x )
9 , 0 y^ y ' x ( 0. 2 ) 1. 019804
y
y 0 x 2 0.2 y 1 x^2
- Para esta pregunta suponga que n es el último número en su DNI. Dada la ecuación diferencial:
y y x n con condiciones iniciales y ( 0 ) n e y ( 0 ) 1 , determine aproximaciones para y ( 0. 4 )e
y ( 0. 4 ) usando un método de Runge-Kutta con x 0. 1.
- Un perro, en el campo, observa que su amo corre a lo largo de un camino recto con velocidad constante v.
El hombre está inicialmente en coordenadas ( 0 , 0 ) y se desplaza hacia ( 0 , 200 ). La posición inicial del
perro es ( 200 , 0 ). El perro corre hacia su amo siempre en la dirección en la que lo observa, con velocidad
u , de donde resulta su trayectoria dada por la ecuación:
2
y c / x 1 y donde c v / u 0. 3 es la
razón de velocidades. Proponga un procedimiento numérico para determinar la trayectoria y prepare
entonces una hoja de cálculo que le permita determinar las coordenadas del punto de encuentro. Compare
resultados al trabajar con dos distintos intervalos x.
El trabajo deberá ser presentado como un solo archivo en formato *.pdf y no deberá exceder de 20 páginas.
Se espera un documento parcialmente manuscrito, con algunos resultados directamente listados a partir de
programas de cómputo cuando eso resulte más fácil.
El trabajo deberá ser enviado al aula virtual del curso el sábado 01 de julio de 2023 (o antes). Como
excepción, se aceptarán también trabajos entregados hasta el 08 de julio, sin que ello afecte la calificación.
En caso se entregue el trabajo después de esa fecha, se reducirán tres puntos en la calificación. No se
aceptará este trabajo después del 15 de julio de 2023.
