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Algebra Lineal` Examen final
8 de Gener de 2016, (de 12:30 a 14:30h)
Cognoms i nom:
- (2 punts) Sigui f : R^3 −→ R^3 l’aplicaci´o lineal que en la base can`onica t´e per matriu: A =
a 0 0 − 5 2 − 3 1 0 a
i) Doneu els valors propis de l’aplicaci´o lineal. Indicaci´o: si els ve¨ıeu a ull podeu escriure’ls sense fer cap c`alcul Soluci´o: Observant la matriu es t´e λ 1 = a, λ 2 = 2, λ 3 = a, ii) Estudieu per a quins valors de a ∈ R ´es f diagonalitzable. Soluci´o: Si a = 2 el valor propi ´es triple i per tant f no diagonalitza (ja que f 6 = aI), Si a 6 = 2 el valor propi a ´es doble i 2 simple i en aquest cas dim Ker (f − aI) = 3 − rang
− 5 2 − a − 3 1 0 0
(^) = 3 − 2 = 1, per tant tampoc diagonalitza.
iii) Per els casos en qu`e no diagonalitzi doneu la forma redu¨ıda de Jordan. Soluci´o: Si a 6 = 2 per ii) tenim J =
a 1 a 2
Si a = 2, dim Ker (f − aI) = 3 − rang
(^) = 3 − 2 = 1, i
J =
Algebra Lineal` Examen final
8 de Gener de 2016, (de 12:30 a 14:30h)
Cognoms i nom:
- (4 punts) Sigui f : R^4 −→ R^4 un endomorfisme que t´e per matriu en la base can`onica
A =
i) Comproveu que els vectors (0, 1 , 0 , 1) i (0, 1 , 0 , −1) s´on propis. De quin valor propi? Soluci´o:
els valors propis s´on 2 i 1/2 respectivament. ii) Proveu que F = [(1, 0 , − 1 , 0), (0, 1 , 0 , 1)] ´es invariant per f i escriviu la matriu de f|F en la base ((1, 0 , − 1 , 0), (0, 1 , 0 , 1)). Soluci´o:
f (1, 0 , − 1 , 0) = 2(1, 0 , − 1 , 0) + (0, 1 , 0 , 1) ∈ F f (0, 1 , 0 , 1) = 2(0, 1 , 0 , 1) ∈ F
A|F =
iii) Trobeu la matriu de Jordan d’A i la base en la qual la matriu adopta aquesta forma. Soluci´o: Per l’apartat i) 2 i 1/2 s´on valors propis, per l’apartat ii) 2 ´es valor propi de multiplicitat al menys 2, Calculant la tra¸ca de la matriu, tenim que 1/2 ´es l’altre valor propi i per tant doble. Tenint en compte que dim Ker (A − 1 / 2 I) = 1 i l’apartat anterior:
Dedu¨ıu la soluci´o del sistema x(k + 1) = Ax(k) Soluci´o:
x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k) x 4 (k)
2 k (1/2)k k 2 k−^1 2 k k(1/2)k−^1 (1/2)k
x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0) x 4 (0)
D’on tenim que x(k) = SBkS−^1 x(0)
amb S =
i^ S−^1 =
Algebra Lineal` Examen final
8 de Gener de 2016, (de 12:30 a 14:30h)
Cognoms i nom:
- (4 punts) En una poblaci´o de 10,000 habitants, 5000 no fumen, 2500 fumen un o menys d’un paquet diari i 2500 fumen m´es d’un paquet diari. En un mes hi ha un 10% de probabilitat que un no fumador comenci a fumar un paquet diari, o menys, i un 10% que un no fumador passi a fumar m´es d’un paquet diari. Dels que fumen un paquet, o menys, hi ha un 20% de probabilitat que deixin el tabac, i un 10% que passin a fumar m´es d’un paquet diari. Entre els que fumen m´es d’un paquet, hi ha un 20% de probabilitat que deixin el tabac i un 20% que passin a fumar un paquet, o menys. i) Descriviu matricialment l’evoluci´o de la poblaci´o Soluci´o: x(k)= No fumen en el mes k y(k)= fumen un o menys d’un paquet diari en el mes k z(k)= fumen m´es d’un paquet diari en el mes k. Tenim (^)
x(k + 1) y(k + 1) z(k + 1)
x(k) y(k) z(k)
ii) Quants individus hi haur`a de cada classe el proper mes? Soluci´o:
iii) Quina es preveu que ser`a la distribuci´o de la poblaci´o a llarg termini? Soluci´o: Tenim que la soluci´o ´es
x(k) y(k) z(k)
k
Els valors propis d’A s´on 1, 0,6, 0,5 i els vectors propis respectius s´on v 1 = (0. 50 , 0. 30 , 0 .20), v 2 = (1, − 1 , 0), v 3 = (0, 1 , −1). Per tant, i tenint en compta que u(0) = 1v 1 + 0v 2 − 0. 05 v 3
Algebra Lineal´ Examen final
8 de Enero de 2016, (de 12:30 a 14:30h)
Apellidos y nombre:
- (2 puntos) Sa f : R^3 −→ R^3 la aplicaci´on lineal que en la base can´onica tiene por matriz: A =
a 0 0 − 5 2 − 3 1 0 a
i) Dad los valores propios de la aplicaci´on lineal. Indicaci´on: si los veis a ojo podeis escribirlos sin hacer ning´un c´alculo Soluci´on: Observando la matriz se tiene λ 1 = a, λ 2 = 2, λ 3 = a, ii) Estudiar para que valores de a ∈ R es f diagonalizable. Soluci´on: Si a = 2 el valor propio es triple y por lo tanto f no diagonaliza (ya que f 6 = aI), Si a 6 = 2 el valor propio a es doble y 2 simple, y en aquest caso dim Ker (f − aI) = 3 − rang
− 5 2 − a − 3 1 0 0
(^) = 3 − 2 = 1, por lo tanto tampoco diago- naliza. iii) Para los casos en que no diagonalice dar la forma reducida de Jordan. Soluci´on: Si a 6 = 2 por ii) tenemos J =
a 1 a 2
Si a = 2, dim Ker (f − aI) = 3 − rang
(^) = 3 − 2 = 1, y
J =
Algebra Lineal´ Examen final
8 de Enero de 2016, (de 12:30 a 14:30h)
Apellidos y nombre:
- (4 punts) Sea f : R^4 −→ R^4 un endomorfismo que tiene por matriz en la base can´onica
A =
i) Comprobad que los vectores (0, 1 , 0 , 1) y (0, 1 , 0 , −1) son propios. ¿De qu´e valor propio? Soluci´on:
los valores propios son 2 y 1/2 respectivamente. ii) Probad que F = [(1, 0 , − 1 , 0), (0, 1 , 0 , 1)] es invariante por f y escribid la matriz de f|F en la base ((1, 0 , − 1 , 0), (0, 1 , 0 , 1)). Soluci´on:
f (1, 0 , − 1 , 0) = 2(1, 0 , − 1 , 0) + (0, 1 , 0 , 1) ∈ F f (0, 1 , 0 , 1) = 2(0, 1 , 0 , 1) ∈ F
A|F =
iii) Encontrad la matriz de Jordan de A y la base en la cual la matriz adopta esta forma. Soluci´on: Por el apartado i) 2 y 1/2 son valores propios, por el apartado ii) 2 es valor propio de multiplicidad por lo menos 2, Calculando la traza de la matriz, tenemos que 1/2 es el otro valor propio y por tanto doble. Teniendo en cuenta que dim Ker (A − 1 / 2 I) = 1 y el apartado anterior:
Deducid la soluci´on del sistema x(k + 1) = Ax(k) Soluci´on:
x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k) x 4 (k)
2 k (1/2)k k 2 k−^1 2 k k(1/2)k−^1 (1/2)k
x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0) x 4 (0)
De donde tenemos que x(k) = SBkS−^1 x(0)
con S =
i^ S−^1 =
Algebra Lineal´ Examen final
8 de Enero de 2016, (de 12:30 a 14:30h)
Apellidos y nombre:
- (4 puntos) En una poblaci´on de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman m´as de un paquete diario. En un mes hay un 10% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 10% de que un no fumador pase a fumar m´as de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 20% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar m´as de un paquete diario. Entre los que fuman m´as de un paquete, hay un 20% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 20% de que pasen a fumar un paquete, o menos. i) Descrivid matricialmente la evoluci´on de la poblaci´on Soluci´on: Llamemos x= No fuman y= fuman uno o menos de un paquete diarios z= fuman m´as de un paquete diario. Tenemos (^)
x(k + 1) y(k + 1) z(k + 1)
x(k) y(k) z(k)
ii) ¿Cuantos individuos habr´a de cada clase el siguiente mes? Soluci´on:
iii) ¿Cu´al se prev´e que ser´a la distribuci´on de la poblaci´on a largo plazo? Soluci´on: Tenemos que la soluci´on es
x(k) y(k) z(k)
k
Los valores propios de A son 1, 0,6, 0,5 y los vectores propios respectivos son v 1 = (0. 50 , 0. 30 , 0 .20), v 2 = (1, − 1 , 0), v 3 = (0, 1 , −1). Por tanto, y teniendo en cuenta que u(0) = 1v 1 + 0v 2 − 0. 05 v 3
