MATEM´
ATICAS — 26 de enero de 2016
Entrega 1
Ejercicio 1 Dada la funci´on f(x) = x2−1, se pide
1. Suma superior de Riemann en el intervalo [0,2], dividiendo el intervalo en 4 subintervalos iguales, es
decir, tomando la partici´on P={0,0.5,1,1.5,2}. (0.4 p.)
2. Suma inferior de Riemann en el intervalo [0,2], dividiendo el intervalo en 4 subintervalos iguales, es
decir, tomando la partici´on P={0,0.5,1,1.5,2}. (0.4 p.)
3. ´
Area de la regi´on limitada por la curva f(x), el eje OX y las rectas x= 0 y x= 2. Haga un esbozo
de dicha regi´on. (0.6 p.)
Ejercicio 2 Aproxime el valor de ln 0.7 mediante un polinomio de Taylor (o MacLaurin) de orden 3
adecuado. (ln xdenota el logaritmo neperiano de x). (0.5 p.)
Ejercicio 3 Dadas las funciones
f(x, y) = arc sen x+y2
50 , g(x, y, z ) = arcsen x+y2
50z−π
6,
se pide
1. Gradiente ∇f(x, y) en un punto cualquiera (x, y) de su dominio. (0.4 p.)
2. Ecuaci´on del plano tangente a la superficie z=f(x, y) en el punto (9,4). (0.2 p.)
3. Gradiente ∇g(x, y, z) en un punto cualquiera (x, y, z ) de su dominio. (0.6 p.)
4. Ecuaci´on del plano tangente a la superficie g(x, y, z ) = 0 en el punto (9,4,1). (0.2 p.)
Ejercicio 4 1. Calcule Zx+ 2
x3+x2−x−1dx. (1 p.)
2. Calcule Z√1−x2
x2dx. Sugerencia: Haga el cambia de variable x= sen t. (0.5 p.)
Entrega 2
Ejercicio 5 Dada la ecuaci´on diferencial
(x+ 1)y0−2y= (x+ 1)4sen x,
se pide
1. Soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada. (0.3 p.)
2. Una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial completa. (1 p.)
3. La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (completa) que pasa por el punto (0, π). (0.2 p.)
Ejercicio 6 Dada la aplicaci´on lineal T:R4→R3definida como
T(x, y, z, t)=(−x+y+z+t, −3x+y−z−t, −3x+ 2y+z+t),
se pide
1. Matriz can´onica asociada a la aplicaci´on lineal T. (0.2 p.)
2. Defina n´ucleo de una aplicaci´on lineal y calcule base y dimensi´on del n´ucleo de T. (0.5 p.)
3. Defina imagen de una aplicaci´on lineal y calcule base y dimensi´on de la imagen de T.. (0.5 p.)
4. Razone si los vectores u= (0,4,2) y v= (1,−1,2) pertenecen a la imagen de Ty en caso afirmativo
expr´eselos como combinaci´on lineal de la base obtenida en el apartado anterior. (0.5 p.)
Ejercicio 7 1. Defina valor y vector propio de una matriz Ade tama˜no n×n. (0.5 p.)
2. Dadas las matrices A=
2 1 −1
0 2 0
0 1 1
yB=
1 0 3
−1 2 0
0 0 2
, razone si son diagonalizables y diago-
nal´ıcelas en caso afirmativo. (1.5 p.)
ETSI Agron´omica y del Medio Natural — Grado Biotecnolog´ıa — Matem´aticas (c´odigo 11114)