Facultat d’Economia i Empresa / Matemàtiques Aplicades a l’Empresa 2009-2010
Examen final juny grups 10 i 20
Per a superar l’examen serà necessari demostrar un mínim de coneixements de cada pregunta.
1. 23 puntsSigui la funció fxx2
x−221. Estudieu el seu comportament seguint els passos següents:
a. Doneu el domini de definició de fxjustificant la resposta. Analitzeu el seu comportament al voltant del o
dels punts que no són del seu domini. És igual a dreta i esquerra del o dels mateix/os? Per què?
b. Demostreu que fpresenta tres intervals diferents on es conserva la seva monotonia, tot i que només hi ha un
punt on s’anul·la la seva derivada. Per què? Existeix un extrem local? Per què? De quin tipus?
c. Comproveu que f′′x8x1
x−24i estudieu la curvatura de la funció, demostrant que presenta un únic punt
d’inflexió.
d. Estudieu el comportament de fxa llarg termini. Tendirà al mateix punt quan x→−? Per què?
e. Resumiu la informació obtinguda als apartats b. i c. en un quadre que doni el comportament de la funció en els
diferents intervals de la recta real on manté el mateix tipus de monotonia i curvatura així com el traç de la
funció en aquests intervals.
f. Representeu gràficament la funció amb les dades obtingudes als apartats anteriors.
2. 14 punts
a. Calculeu el valor de 0
12x−1e1−xexplicant el métode d’integració que heu fet servir.
b. Trobeu una primitiva de gxx−1
x2lnx
xi comproveu que, efectivament, ho és.
3. 13 punts
a. Un supermercat sap que l’ingrés, y, que obté de la venda de x unitats d’una determinada marca de llet és una
funció lineal. Sabent que al mes de gener va vendre 100 u. (unitats) amb un ingrés de 200 u.m. (unitats
monetàries) i que al febrer va vendre 120 u. amb un ingrés de 260 u.m., determineu l’funció lineal que dóna
l’ingrés en funció de les unitats venudes. Si al mes de març preveu unes vendes de 130 u., quin serà el seu
ingrés?
b. Sigui la funció.hx2x−1x3
lnx2
i. Calculeu el límit de hxals punts xa1ixb−1.
ii. En quin dels dos punts la funció hxpresenta una discontinuïtat evitable? Per què? La funció hxseria
contínua en aquest punt? Per què?
4. 23 puntsDonades les matrius següents:
A
165
1101
12
B−12
31 D
0
0
−12
b
2
1
es demana que:
a. Digueu, justificant la resposta
i. Si alguna de les operacions següents són possibles: BDT−2I// ATD−1
ii. Per quins valors de ∈Rla matriu DIDTés simètrica. Per què? I diagonal? Per què?
b. Considereu el sistema d’equacions lineals AX b(Aibles matrius de l’enunciat)
i. Indiqueu quantes variables i quantes equacions en té i doneu la seva expressió matricial i explícita. Sense
realitzar cap càlcul, pot ser compatible determinat per algun valor del paràmetre real ? Per què?
ii. Determineu, segons els valors de ∈R, el rang de les matrius associada i ampliada a més, utilitzant el
teorema de Rouché-Frobenius, discutiu la compatibilitat del sistema ∀∈R.
iii. Per 0, quantes equacions independents té? I, quants graus de llibertat tindrà el conjunt de les seves
solucions? Utilitzeu la regla de Cramer per a calcular-les.
c. Donats els vectors v11,,6,5,v21,1,0,1,v31,2,,(filesdelamatriuAdonada)
i. Per a quins valors de ∈Rels tres vectors són linealment independents Per què? Formaran base de R4?
Per què? I, de R3? Per què?
ii. Per a quins valors de ∈Rel vector 0,2,−1,0forma part de la varietat lineal generada per v1,v2iv3?
—————————– Continua al darrera
