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SOLUCIONARIO EXAMEN 3ER PARCIAL MAT-
1. Sea
T : M
2 x 2
→ M
2 x 2
dada por: T ( A )=
[ A + A
t
] , Demostrar que si T , es una
transformación lineal y si lo fuera, hallar:
a) El núcleo, base del núcleo y nulidad.
b) La imagen, base de la imagen y rango.
c) Verificar el teorema de la dimensión.
d) La representación matricial respecto a la base canónica.
Solución:
Demostración:
T ( A + B )=
[ ( A + B ) +( A + B )
t
]=
[ A + B + A
t
+ B
t
]=
[ ( A + A
t
) +( B + B
t
) ] =
( A + A
t
) +
( B + B
t
)
T ( A + B )= T ( A ) + T ( B ) cumple.
T ( kA ) =
[ ( kA ) +( kA )
t
]=
( kA + 5 kA
t
) =
k
( A + 5 A
t
)= k
[
( A + 5 A
t
)
]
= kT ( A )
T ( kA ) = kT ( A ) cumple.
Por lo tanto:
T ( A )=
[ A + A
t
] es una transformación lineal.
Ahora debemos determinar la verdadera formula:
Sea:
A =
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
⇒ T
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
5 (
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
a
11
a
21
a
12
a
22
] )
[
a
11
a
12
21
a
21
12
a
22
]
⇒ T
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
a
11
a
12
a
21
12
Nucleo
( T )
{
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
∈ M
2 x 2
/ T
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
]
∈ M
2 x 2
}
[
a
11
a
12
21
a
21
12
a
22
]
[
]
{
a
12
21
a
21
12
a
11
= a
22
⇒ a
21
= a
12
⇒∴ Nucleo
( T )
{
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
∈ M
2 x 2
/ a
21
=− a
12
}
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
0 a
12
− a
12
]
= a
12
[
]
∴ B
Nucleo ( T
)
{[
]}
;Nulidad
( T
)
Img
( T )
{
[
x y
z u
]
∈ M
2 x 2
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
∈ M
2 x 2
∧T
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
x y
z u
]
}
[
a
11
a
12
21
a
21
12
a
22
]
[
x y
z u
]
x =
a
11
; u =
a
22
y =
a
21
12
= z
⇒ Img
( T )
{[
x y
z u
]
∈ M
2 x 2
/ x =
a
11
; u =
a
22
; y = z
}
[
x y
z u
]
[
a
11
y
y
a
22
]
[
a
11
]
[
0 y
y 0
]
[
a
22 ]
a
11
[
]
[
]
a
22
[
]
⇒ B
Imagen ( T
)
{[
]
[
]
[
]}
; Rango
( T )
n = Nulidad
( T
)
( T
)
4 = 1 + 3 = 4 l. q. q. d.
T
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
a
11
a
12
21
a
21
12
a
22
]
⇒T
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
a
11
a
12
21
a
12
21
a
22
]
[
]
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
⇒ A =
[
[
][
x
y
z
]
[
]
|
⏟
t 1
→ t ’ 3
t
2
7
|
⏟
− 7 t 2
→ t ’ 1
|
⏟
t 1
6
|
|
⏟
t 1
→t ’ 2
y =− z
z =− 2 z
[
x
y
z
]
[
− 2 z
− z
]
∼ z
[
]
⟹ ⃗ x
1
[
]
Con λ = 2
[
|
]
⏟
t
2
3
→ t ’
3
|
⏟
− t 2
→ t 2
|
⏟
t 1
6
|
⏟
− 7 t 1
→ t ’ 2
|
x =− z
y = 0
[
x
y
z
]
[
− z
z
]
∼ z
[
]
⟹ ⃗ x
2
[
]
Con λ = 1
[
|
]
⏟
t 3
→ t ’ 1
|
⏟
− 7 t 2
→t 1
7 t
2
3
→t ’
3
|
x = z
y =− z
[
x
y
z
]
[
− z
− z
z
]
∼z
[
]
⟹ ⃗ x
3
[
]
b ¿ B =
{[
]
[
]
[
]}
Entonces.
P =
[
]
⟹ P
− 1
[
]
D =
[
]
= P
− 1
∗ A ∗ P
A
n
= P ∗ D
n
∗ P
− 1
[
]
[
n
n
n ]
[
]
A
n
[
n
n
n
n
n
n
n
n ]
[
]
[
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n ]
e
At
= P ∗ e
D
t
∗ P
− 1
[
]
[
e
8 t
0 e
2 t
0 0 e
t ]
[
]
e
At
[
2 ∗ e
8 t
− e
t
− e
2 t
t
2 e
8 t
− e
2 t
− e
t
e
8 t
− e
t
e
t
e
8 t
− e
t
− e
8 t
t
e
2 t
− e
t
− e
8 t
2 t
t ]
c ¿
Para la inversa.
[ A − λI ]= 0 ∼ ( 8 − λ ) ( λ − 2 ) ( 1 − λ )= 0 ⟹ ( 8 λ − 16 λ
2
8 λ − 16 − λ
2
2
3
− 2 λ
2
= p ( x )
P
λ
= λ
3
− 11 λ
2
P ( A )= A
3
− 11 A
2
+ 26 A − 16 I = 0 ⟹ I =
( A
3
− 11 A
2
− 1
A
− 1
( A
2
− 11 A + 26 I
)
(
[
]
2
[
]
[
] )
A
− 1
(
[
]
[
]
[
] )
A
− 1
(
[
] )
⟹ A
− 1
[
]
3. Para la transformación lineal T : P
2
→ R
2
de la cual se conoce las siguientes imágenes:
T
( 2 t + t
2
)
y T
( 1 + t + 2 t
2
)
T
( a + bt + ct
2
)
(
a + 3 b −
b − 3 c +
c , − 5 a − 4 b −
b + 4 c +
c
)
a ¿ T
( a + bt + ct
2
)
(
a +
c , − ba −
b +
c
)
b ¿ Para el T.O.
N
T
{
a + bt + c t
2
/ T
⃗
( x )
}
(
a +
b −
c , − ba −
b +
c
)
a +
b −
c = 0 ⟹
− b
|
|
|
|
|
⏟
− 5 t 2
→ t 1
|
a =
c =
c
b =
c
( a + bt + c t
2
) ∼
(
c +
(
c
)
t + c t
2
)
c
( 11 − 5 t + t
2
)
B
N ( t )
={( 11 − 5 t + t
2
)} ∼ Dim = Nulidad = 1
Para la imagen.
I
T
|
3 x
3 y
|
3 x
y
⏟
3 t
1
2
→ t
2
’
|
3 x
y + 9 x
|
3 x
(
y + 9 x
)
⏟
− 5 t
2
1
→ t
1
’
|
3 x −
(
y + 9 x
)
(
y + 9 x
)
⏟
NO SE PUEDE HALLAR CONDICION
∴ B
¿
{
}
∼ Dim = Rango = 2
Para el teorema:
Dim
(
P
2
)
= Nulidad + Rango = 1 + 2 ⟹ 3 = 3
Hallar :
C
Mat .T
B
T
( 1 )
=( 1 , − b )= α
1
( 1,1)+ α
2
T
( 1 + t )
(
)
= β
1
( 1,1) + β
2
T
( 1 + t + t
2
)
(
)
= θ
1
( 1,1) + θ
2
[
|
]
⏟
− t
2
1
→ t
1
’
(
)
⏟
t
1
3
(
|
)
⏟
2 t
1
2
→t
2
’
(
|
)
t
1
⟷ t
2
c ¿
C
Mat. T
B
[
]
4. Dada la matriz A
a) Encuentre la matriz P que diagonalice a A.
b) Encuentre A
1000
c) Diagonalice ortogonalmente A con el producto euclidiano interior.
A =
[
]
b ¿ A
1000
[
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000 ]
Para la diagonalización ortogonal, Ortonormalizamos los Autovectores
⃗ y
1
x
1
‖
⃗ x
1
‖
√
⟨ (1,0 , − 2 )(1,0 , − 2 )⟩
√
⟹ ⃗ y
1
√
[
]
⃗ y
2
x
2
⟨
x
2
, ⃗ y
1
⟩
y
1
‖
⃗ x
2
⟨
x
2
, ⃗ y
1
⟩
y
1
‖
a
a
‖
⟨
√ 5
⟩
√ 5
‖
a =( 0,1,0) −
‖ a ‖=
√
⟨ ( 0,1,0 ) , (0,1,0)⟩=√ 1 = 1 ⟹ ⃗ y
2
a
a
⟹ ⃗ y
2
[
]
⃗ y
3
x
3
‖⃗ x
3
‖
√
⟨
⟩
√ 4 + 1
⟹ ⃗ y
3
√ 5
[
]
P
¿
[
√ 5
√ 5
√
√
]
⟹ D = P
¿
T
∗ A ∗ P
¿
para la diagonalizacion ortogonal
P
¿
[
√ 5
√ 5
√
√
]
[
]
[
√ 5
√ 5
√
√
]
D =
[
]
