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5 de julio de 2016
Las 10 preguntas punt´uan igual y, de tener apartados, ´estos punt´uan por igual. Los resultados han de simplificarse en lo posible.
- Demostrar que la siguiente ecuaci´on carece de soluciones enteras:
x^2 − 3 y^3 = 2
- Calcular el signo de la permutaci´on
σ = (123)(145)(2647)
y descomponer σ−^1 en producto de trasposiciones.
(a) Enunciar el lema fundamental de la Teor´ıa de la Dimensi´on. (b) Usarlo para probar que todas las bases de un espacio vectorial tienen igual n´umero de vectores.
Sea e 1 , e 2 , e 3 , e 4 una base de un espacio vectorial complejo E. Probar que los vectores
v 1 = e 2 + ie 3 , v 2 = e 3 + ie 4 ,
son linealmente independientes, y determinar otros dos vectores v 3 , v 4 ∈ E tales que v 1 , v 2 , v 3 , v 4 formen una base de E.
Definir el n´ucleo y la imagen de una aplicaci´on lineal, y demostrar que son subespacios vectoriales.
Sea f : E → F una aplicaci´on lineal inyectiva. Si unos vectores e 1 ,... , en ∈ E son linealmente independientes, probar que los vectores f (e 1 ),... , f (en) ∈ F tambi´en son linealmente independientes.
Demostrar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales eucl´ıdeos.
Probar que si un tri´angulo tiene dos medianas iguales, entonces tiene dos lados iguales. (Las medianas unen un v´ertice con el punto medio del lado opuesto).
Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizaci´on de endomorfismos.
Dar un ejemplo de un endomorfismo T : E → E de un espacio vectorial complejo E que no sea diagonalizable.
20 de mayo de 2016
Las 10 preguntas punt´uan igual y, de tener apartados, ´estos punt´uan por igual. Los resultados han de simplificarse en lo posible.
Determinar si el n´umero n = 2015^2016 + 2016^2015 es m´ultiplo de 7 o de 11.
Hallar la parte real e imaginaria de las ra´ıces complejas del polinomio ix^2 + x − 1.
(a) Definir los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. (b) Dar un subconjunto V de R^3 que sea subespacio vectorial de dimensi´on 2, y un subconjunto X de R^3 que contenga a V y no sea un subespacio vectorial.
Hallar un suplementario en C^3 del subespacio vectorial generado por e = (1, i, 1).
Enunciar y demostrar el Teorema de Isomorf´ıa para aplicaciones lineales.
Consid´erese la aplicaci´on lineal f : R^3 → R^2 , f (x, y, z) = (x + y, y − z). Hallar una base del n´ucleo de f y una base de la imagen de f.
Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial eucl´ıdeo E. Definir el subespacio ortogonal V ⊥^ y probar que su dimensi´on es dim E − dim V.
Hallar ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del ortogonal en R^3 del subespacio vecto- rial generado por el vector e = (1, − 2 , 1).
Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizaci´on de endomorfismos.
Determinar si es diagonalizable el endomorfismo de R^3 definido por la matriz
25 de junio de 2015
Las 10 preguntas punt´uan igual y, de tener apartados, ´estos punt´uan por igual. Los resultados han de simplificarse en lo posible.
Determinar los n´umeros naturales n tales que 4 n^ + 2 es m´ultiplo de 11.
Hallar la parte real e imaginaria, y el m´odulo y el argumento del n´umero complejo
z =
3 i 1 + i
(a) Definir los conceptos de sistema de generadores, independencia lineal, base y coordenadas en una base. (b) Demostrar que todo sistema de generadores de un espacio vectorial E 6 = 0 contiene una base de E.
Hallar un suplementario en C^4 del subespacio vectorial generado por los vectores e 1 = (i, 0 , 1 , 0) y e 2 = (0, 1 , 0 , i).
(a) Definir los conceptos de aplicaci´on inyectiva, aplicaci´on lineal, y de imagen y n´ucleo de una aplicaci´on lineal. (b) Demostrar que una aplicaci´on lineal f es inyectiva si y s´olo si Ker f = 0.
Sea f : E → E una aplicaci´on lineal y pongamos f 2 = f ◦ f. Demostrar que (Ker f ) + (Im f ) = E si y s´olo si Im f = Im f 2.
Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial eucl´ıdeo E, demostrar que
dim V ⊥^ = dim E − dim V.
Hallar ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del ortogonal en R^4 del subespacio vecto- rial V de ecuaciones impl´ıcitas { x 1 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 − x 3 = 0
Definir el polinomio caracter´ıstico de un endomorfismo T , y demostrar que sus ra´ıces son los valores propios de T.
Determinar para qu´e valores de a ∈ R es diagonalizable el endomorfismo de R^2 definido por la matriz
A =
0 a
22 de mayo de 2015
Las 10 preguntas punt´uan igual y, de tener apartados, ´estos punt´uan por igual. Los resultados han de simplificarse en lo posible.
- Determinar el m´ultiplo de 11 m´as cercano al n´umero
n = 2015^2014 − 5102.
- Hallar la parte real e imaginaria, y el m´odulo y el argumento de las ra´ıces cuadradas complejas de z = 1 +
3 i.
(a) Definir los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. (b) Dar un ejemplo de un subconjunto de C^3 que no sea subespacio vectorial. (c) Dar un subconjunto de C^3 que sea un subespacio vectorial de dimensi´on 2.
Hallar un suplementario en R^4 del subespacio vectorial generado por los vectores e 1 = (1, 0 , 1 , 0) y e 2 = (1, 2 , 3 , 4).
Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial de dimensi´on finita, demostrar que dim (V + W ) = dim V + dim W − dim (V ∩ W ).
Sea f : E → E una aplicaci´on lineal y pongamos f 2 = f ◦ f. Demostrar que (Ker f ) ∩ (Im f ) = 0 si y s´olo si Ker f = Ker f 2.
Definir el concepto de espacio vectorial eucl´ıdeo, y probar que todo espacio vectorial eucl´ıdeo E 6 = 0 admite bases ortonormales.
Hallar ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del ortogonal en R^4 del subespacio vecto- rial generado por los vectores e 1 = (1, 0 , 1 , 0) y e 2 = (1, 2 , 3 , 4).
Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizaci´on de endomorfismos.
Determinar para qu´e valores de a ∈ R es diagonalizable el endomorfismo de R^2 definido por la matriz (^) ( a 1 0 1
2 de julio de 2014
Los resultados se han de simplificar en lo posible. Las 10 preguntas punt´uan igual y, de tener apartados, ´estos punt´uan por igual.
- (a) Definir los conceptos de relaci´on de equivalencia y clase de equivalencia. (b) Dada una relaci´on de equivalencia ≡ en un conjunto X, y dos elementos x, y ∈ X, demostrar que [x] = [y] si y s´olo si x ≡ y.
- Hallar las ra´ıces complejas del polinomio x^4 + 1.
- Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E de dimensi´on finita, probar que
dim V ≤ dim E dim E/V = dim E − dim V
- Sean V y W dos subespacios vectoriales suplementarios de un espacio vectorial E. Probar que si unos vectores w 1 ,... , wn ∈ W son linealmente independientes, entonces sus clases ¯w 1 ,... , w¯n en E/V tambi´en son linealmente independientes.
- (a) Definir los conceptos de aplicaci´on lineal, y de n´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal. (b) Demostrar que una aplicaci´on lineal f : E → F es inyectiva si y s´olo si Ker f = 0.
- Hallar ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del n´ucleo y la imagen de la siguiente aplicaci´on lineal T :
T : R^2 → R^2 , T (x, y) = (x − 2 y, 2 y − x).
- Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial eucl´ıdeo E. Demostrar las siguientes igualdades:
E = V ⊥^ ⊕ V V = (V ⊥)⊥
- Probar que el punto medio de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo equidista de los tres v´ertices.
- Definir el polinomio caracter´ıstico de un endomorfismo T de un espacio vectorial de dimensi´on finita E, y demostrar que no depende de la base de E elegida.
- (a) Dar un ejemplo de un endomorfismo T : R^2 → R^2 que no tenga ning´un valor propio.
(b) ¿Existe alg´un endomorfismo del espacio vectorial complejo C^2 que no tenga ning´un valor propio?
22 de mayo de 2014
Las 10 preguntas punt´uan igual y, de tener apartados, ´estos punt´uan por igual.
- Determinar si el n´umero n = 2014^2001 − 20131002 es m´ultiplo de 13.
- Hallar el m´odulo y el argumento del n´umero complejo
z =
1 + i 1 +
3 i
- (a) Definir los conceptos de espacio vectorial y de subespacio vectorial. (b) Partiendo de la definici´on, probar que en todo espacio vectorial se cumple que 0 · e = 0 y λ · (−e) = −(λ · e) para todo escalar λ y todo vector e.
- Sea e 1 , e 2 una base de un espacio vectorial E. (a) Probar que los vectores v 1 = 2e 1 + e 2 y v 2 = e 1 + 3e 2 forman una base de E. (b) Hallar las coordenadas del vector e = e 1 + e 2 en esta base v 1 , v 2.
- Enunciar y demostrar el teorema de Isomorf´ıa.
- Si f : E → F es una aplicaci´on lineal inyectiva y V, W son dos subespacios vectoriales de E, demostrar que f (V ∩ W ) = f (V ) ∩ f (W ).
- (a) Definir los concepto de espacio vectorial eucl´ıdeo y de base ortonormal. (b) Demostrar la existencia de bases ortonormales.
- En R^4 , con el producto escalar usual, hallar ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del ortogonal V ⊥^ del subespacio vectorial V dado por las ecuaciones { 0 = x 1 + 2x 2 + 3x 3 0 = x 4
- Demostrar que los valores propios de un endomorfismo son las ra´ıces de su polinomio caracter´ıstico.
- Determinar los n´umeros complejos α tales que el endomorfismo
T : C^2 → C^2 , T (x, y) = (x + αy, y)
es diagonalizable.
2 de julio de 2013
Las 10 preguntas punt´uan igual y, de tener apartados, ´estos punt´uan por igual.
(a) Definir los conceptos de relaci´on de equivalencia y clase de equivalencia. (b) Probar que cada elemento est´a en una ´unica clase de equivalencia.
Hallar el m´odulo y el argumento de una ra´ız c´ubica compleja de z = − 4
2 i.
Si E es un espacio vectorial de dimensi´on finita, probar que (a) Todo sistema de generadores de E contiene una base de E. (b) Toda familia de vectores linealmente independiente puede ampliarse hasta obtener una base de E.
Sea e 1 , e 2 , e 3 una base de un espacio vectorial complejo E, y consideremos en E los vectores v 1 = e 1 + ie 2 , v 2 = e 2 + ie 3 , v 3 = e 1 + e 3. (a) Hallar una base del subespacio vectorial V = 〈v 1 , v 2 , v 3 〉 que generan. (b) Determinar un suplementario de V en E.
(a) Definir el n´ucleo de una aplicaci´on lineal y probar que es un subespacio vectorial. (b) Definir la imagen de una aplicaci´on lineal y probar que es un subespacio vectorial.
Consid´erese la aplicaci´on lineal f : R^2 → R^3 , f (x, y) = (y − x, x + 2y, y). Fijar bases en R^3 y R^2 de modo que la matriz de f en tales bases sea
Probar que dim V ⊥^ = dim E − dim V.
Dado un un paralelogramo ABCD, demostrar que la condici´on necesaria y suficiente para que sea un rect´angulo es que sus dos diagonales AC y BD sean de igual longitud.
A B
D C
Definir el polinomio caracter´ıstico cT (x) de un endomorfismo T : E → E, probando que no depende de la base de E elegida.
¿Es diagonalizable el endomorfismo T : C^3 → C^3 , T (x, y, z) = (y, z, x)?
3 de junio de 2013
Definir el concepto de signo de una permutaci´on, y demostrar que el signo de un producto de permutaciones es el producto de los signos.
Determinar el m´odulo y el argumento de las ra´ıces cuadradas de 3 − 3 i.
Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimensi´on finita E, probar que dim V ≤ dim E, y que dim (E/V ) = dim E − dim V.
Definir el concepto de espacio vectorial y, partiendo de los axiomas, demostrar las siguientes reglas del c´alculo con vectores:
- Si e + v = e + w, entonces v = w.
- Si e + v = v, entonces e = 0.
- 0 · e = 0 , λ · 0 = 0.
Definir el n´ucleo y la imagen de una aplicaci´on lineal, y demostrar que son subespacios vectoriales.
Consid´erese la aplicaci´on lineal f : R^3 → R^2 , f (x, y, z) = (2y − z, 2 x + y). Fijar unas bases en R^3 y R^2 de modo que la matriz de f en tales bases sea ( 1 0 0 0 − 1 0
Probar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales eucl´ıdeos.
Dado un un paralelogramo ABCD, la condici´on necesaria y suficiente para que sus cuatro lados sean iguales es que sus dos diagonales AC, BD, sean perpendiculares.
A B
D C
Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizaci´on.
Demostrar que si un endomorfismo T cumple que T 3 = 0, entonces su ´unico valor propio es α = 0.
17 de septiembre de 2012
Determinar si el n´umero n = 2012^2011 + 2011^2012 es m´ultiplo de 7.
Hallar la parte real e imaginaria, el m´odulo y el argumento de z = (1 + i)−^2.
Probar el Lema Fundamental de la Dimensi´on: Si v 1 ,... , vr ∈ Ke 1 +... + Ken y r > n, entonces los vectores v 1 ,... , vr son linealmente dependientes.
Dada una base e 1 , e 2 , e 3 de un espacio vectorial complejo, hallar una base de un suplementario del subespacio vectorial V de ecuaciones x 1 + ix 2 = 0, ix 1 + x 2 + x 3 = 0.
Definir los conceptos de n´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal, y probar que son subespacios vectoriales.
e 1 = (0, 1 , 1), e 2 = (1, 0 , 1). Determinar un vector e 3 ∈ R^3 tal que e 1 , e 2 , e 3 formen una base de R^3 , y calcular la matriz en esta base del endomorfismo
f : R^3 −→ R^3 , f (x, y, z) = (x + y, y + z, x + z).
Probar la existencia de bases ortonormales.
Probar que si un tri´angulo tiene dos medianas (segmentos que unen un v´ertice con el punto medio del lado opuesto) iguales, entonces tiene dos lados iguales.
a b
c
q
p
‖q − b‖ = ‖p − c‖
Definir el concepto de suma directa. Demostrar que si α 1 ,... , αm son valores propios de un endomorfismo, distintos entre s´ı, entonces la suma de los subespacios vectoriales Vα 1 ,... , Vαm siempre es directa.
Estudiar la diagonalizaci´on de los endomorfismos de Q^3 , R^3 y C^3 definidos por la matriz: (^)
7 de junio de 2012
Determinar todos los n´umeros naturales n tales que 2n^ − 5 sea m´ultiplo de 11.
Definir los conceptos de m´odulo y argumento de un n´umero complejo z 6 = 0. Halar el m´odulo y el argumento de un n´umero complejo z que no sea real y z^3 = −1.
Definir el concepto de espacio vectorial y, partiendo de la definici´on, probar que
- Si e + v = e + v′, entonces v = v′.
- λ · 0 = 0 , 0 · e = 0.
- Si λe = 0 , entonces λ = 0 , ´o e = 0.
Definir el concepto de subespacio suplementario, y probar que, si W es un suple- mentario de V en E, entonces la proyecci´on can´onica π : W → E/V , π(w) = [w], es una aplicaci´on inyectiva y epiyectiva.
Hallar ecuaciones param´etrica e impl´ıcitas del n´ucleo de la aplicaci´on lineal
f : R^3 → R^2 , f (x, y, z) = (x + y − z, x − y − 2 z).
- Determinar la matriz de la aplicaci´on lineal
f : C^3 −→ C^2 , f (x, y, z) = (x + y − z, x − y − 2 z)
en las bases {(0, 1 , i), (1, − 1 , 0), (1, 1 , i)} de C^3 y {(i, 1), (0, i)} de C^2.
Probar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales eucl´ıdeos.
Si e 1 , e 2 , e 3 , e 4 es una base ortonormal de un espacio vectorial eucl´ıdeo E, hallar las coordenadas de un vector de E que forme un ´angulo de π/4 radianes con el vector e = e 1 − e 2 + e 3 − e 4.
Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizaci´on de Endomorfismos.
Sea T : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial real E. Determinar si T es diagonalizable, sabiendo que su matriz en una base de E es
¿Y si E es un espacio vectorial complejo?
16 de septiembre de 2011
Determinar si el n´umero n = 2011^2011 + 2010 · 2012 es m´ultiplo de 13.
Hallar el m´odulo y el argumento de los siguientes n´umeros complejos:
−1 + i ,
2 e^3 πi^ , e−1+i^ , (1 + i)^10.
Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, definir la relaci´on de congruencia m´odulo V y probar que es una relaci´on de equivalencia. Definir la suma de vectores y el producto por escalares en el conjunto cociente E/V y probar que no dependen de los representantes elegidos.
Sean e, e 1 ,... , en vectores de un K-espacio vectorial E. Probar que
e ∈ Ke 1 +... + Ken ⇔ Ke 1 +... + Ken = Ke 1 +... + Ken + Ke.
Enunciar y demostrar el Teorema de Isomorf´ıa para una aplicaci´on lineal.
Determinar la matriz de la aplicaci´on lineal
f : C^2 −→ C^3 , f (x, y) = (x + iy, x − iy, ix)
en las bases {(0, i), (i, 0)} de C^2 y {(1, i, 0), (0, 1 , i), (i, 0 , 1)} de C^3.
Definir los conceptos de producto escalar y base ortonormal. Demostrar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales eucl´ıdeos.
Sea e 1 , e 2 , e 3 , e 4 una base ortonormal de un espacio vectorial eucl´ıdeo E. Hallar ecua- ciones param´etricas e impl´ıcitas del ortogonal V ⊥^ del subespacio vectorial V de ecuaciones
x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 − x 3 − x 4 = 0
Definir los conceptos de valor propio, vector propio y endomorfismo diagonalizable. Dar un ejemplo de un endomorfismo T de un espacio vectorial complejo de dimensi´on 2 que no sea diagonalizable.
Sea T : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial complejo E. Determinar si el endomorfismo T es diagonalizable, sabiendo que la matriz de T en una base {e 1 , e 2 , e 3 } de E es (^)
9 de junio de 2011
Definir los siguientes conceptos: aplicaci´on inyectiva, signo de una permutaci´on, vec- tores linealmente independientes, matriz de una aplicaci´on lineal, suma directa, producto escalar, subespacio ortogonal, endomorfismo, polinomio caracter´ıstico. Enunciar el Teorema de isomorf´ıa.
Hallar el signo de la permutaci´on σ = (136)(2361). Descomponer la permutaci´on inversa σ−^1 en producto de ciclos disjuntos. Hallar una trasposici´on τ tal que στ 6 = τ σ.
Demostrar el Lema Fundamental: Si v 1 ,... , vr ∈ Ke 1 +... + Ken y r > n, entonces los vectores v 1 ,... , vr son linealmente dependientes.
Sea e 1 , e 2 , e 3 una base de un espacio vectorial complejo E. Probar que los vectores v 1 = e 1 + ie 2 , v 2 = ie 2 + e 3 , v 3 = e 1 − e 3 , v 4 = e 1 − ie 2 generan E, y hallar alguna base de E contenida en tal sistema de generadores. Hallar una combinaci´on lineal nula, λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 = 0, con alg´un coeficiente λi no nulo.
Si A es la matriz de una aplicaci´on lineal f : E → E′^ en ciertas bases de E y E′, probar que la dimensi´on de la imagen de f coincide con el rango de A:
dim (Im f ) = rg A.
Usando el Teorema de isomorf´ıa, concluir que dim (Ker f ) = dim E − rg A.
Sea f : E → E una aplicaci´on lineal. Demostrar que si f = f ◦ f , entonces E = (Ker f ) ⊕ (Im f ).
Si E es un espacio vectorial eucl´ıdeo, probar que para todo par de vectores e, v ∈ E se tiene la desigualdad |e · v| ≤ ‖e‖ · ‖v‖ , y que por tanto tambi´en se tiene la desigualdad triangular: ‖e + v‖ ≤ ‖e‖ + ‖v‖
Sea e 1 , e 2 , e 3 , e 4 una base ortonormal de un espacio vectorial eucl´ıdeo E. Hallar ecua- ciones param´etricas e impl´ıcitas del ortogonal V ⊥^ del subespacio vectorial V de ecuaciones
x 1 − x 2 + x 3 = 0 x 2 − x 3 + x 4 = 0
Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimensi´on finita E. Demostrar que los valores propios de T coinciden con las ra´ıces en K de su polinomio caracter´ıstico cT (x).
Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on finita E. Demostrar que si T n^ = 0 para alg´un exponente n ≥ 1, entonces el endomorfismo T − Id : E → E es inyectivo y epiyectivo.
ALGEBRA LINEAL I´
16 de septiembre de 2010
Determinar si el n´umero 20102011 + 2010 es m´ultiplo de 13.
Definir los conceptos de m´odulo y argumento de un n´umero complejo z. Demostrar las desigualdades z + ¯z ≤ 2 |z| y |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |.
Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, definir la relaci´on de congruencia m´odulo V y probar que es una relaci´on de equivalencia. Definir la suma de vectores y el producto por escalares en el conjunto cociente E/V y probar que no dependen de los representantes elegidos.
Probar que si unos vectores e 1 ,... , en de un espacio vectorial son linealmente inde- pendientes, entonces para todo ´ındice i = 1,... , n tenemos que ei 6 = 0 y que < e 1 ,... , ei > ∩ < ei+1,... , en > = 0.
Definir los conceptos de aplicaci´on lineal, n´ucleo e imagen. Probar que el n´ucleo y la imagen de cualquier aplicaci´on lineal f : E → E′^ son subespacios vectoriales.
Determinar la matriz de la aplicaci´on lineal
f : C^2 → C^3 , f (x, y) = (x + iy, x − iy, ix)
en las bases {(0, i), (i, 0)} de C^2 y {(1, i, 0), (0, 1 , i), (i, 0 , 1)} de C^3.
Definir los conceptos de espacio vectorial eucl´ıdeo y de base ortonormal. Probar que todo espacio vectorial eucl´ıdeo E 6 = 0 tiene bases ortonormales.
Sea {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } una base ortonormal de un espacio vectorial eucl´ıdeo E de di- mensi´on 4 y sea V el plano de ecuaciones x 1 + x 2 = 0, x 1 − x 3 − x 4 = 0. Determinar ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del subespacio ortogonal V ⊥.
Demostrar que si las dos diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces ´este es un rect´angulo.
Sea T : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial real E. Si la matriz de T en una base {e 1 , e 2 , e 3 } de E es (^)
determinar si el endomorfismo T es diagonalizable.
ALGEBRA LINEAL I´
10 de junio de 2010
- Definir los conceptos de aplicaci´on inyectiva y epiyectiva. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos aplicaciones. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?:
Si g ◦ f es biyectiva, entonces f es inyectiva. Si g ◦ f es biyectiva, entonces g es inyectiva.
Determinar un n´umero complejo z tal que z^4 = −2.
Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, definir la relaci´on de congruencia m´odulo V , demostrando que es una relaci´on de equivalencia en E. Definir la suma de vectores y el producto por escalares en el conjunto cociente E/V , probando que no dependen de los representantes elegidos. Si e ∈ E, probar que [e] = 0 si y s´olo si e ∈ V.
Sea {e 1 , e 2 , e 3 } una base de un espacio vectorial complejo E. Hallar una base de E en la que las coordenadas del vector e = e 1 + ie 2 + e 3 sean (0,1,0).
Definir los conceptos de aplicaci´on lineal, n´ucleo e imagen. Probar que el n´ucleo y la imagen de cualquier aplicaci´on lineal f : E → E′^ son subespacios vectoriales.
Fijar una base en R^4 y otra en R^3 , calculando la matriz en dichas bases de la aplicaci´on lineal f : R^4 → R^3 , f (x, y, z, t) = (x + z − t, x + y, y − z + t). Determinar ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del n´ucleo y la imagen de f.
Definir el concepto de producto escalar. Probar que |e · v| ≤ |e| · |v| , y demostrar la desigualdad triangular |e + v| ≤ |e| + |v|.
La distancia entre los puntos medios p, q de las diagonales de un trapecio abcd (es decir, b − a = λ(d − c) con 1 ≤ λ) es la mitad de la diferencia de las longitudes de las bases:
c d
a b
p q
‖q − p‖ =
‖b − a‖ − ‖d − c‖ 2
Definir los conceptos de valor propio, vector propio y endomorfismo diagonalizable. Dar un ejemplo de un endomorfismo T de un espacio vectorial real de dimensi´on 3 que no sea diagonalizable aunque su polinomio caracter´ıstico cT (x) tenga todas sus ra´ıces reales.
Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimensi´on finita. Probar que si λ ∈ K no es un valor propio de T , entonces Ker (T − λ)n^ = 0 para todo n´umero natural n ≥ 1.
