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Universidad Ma yor de San Andrés - F. , « Examen Final 0 "UN de Ingeniera (20pts.) Calcular el centro de masa d i y fuera del cono al age el sólido Q que se encuentra dentro del paraboloide: 12 + y? =2 E e da y z - La densidad del solido es constante. 4 pa p .) construye un recipiente cuya forma es un cilindro recto de 2 metros de radio con tapas cónicas en sus extremos. Si el volumen total del recipiente es de 10077 m3; calcular la altura H del cilindro y la altuta h de cada una de las tapas cónicas de manera que el área de la superficie tolal del recipiente sea la menor posible. (20pts.) Hallar $, x?y?2? ds, donde € es la intersección de lás superficios: xa2+y2+4z22=9 A x2+y2=2 enel primer octante. 10. (20pts.) El sólido Q está limitado por los plaños: x+y+z2=0; x+y-=2=0; x-y-z=0; 1-2x+y=0. Considerando la integral Moe +y+2D( + y — 2: — y — 2) aV; el problema consiste en construir y expresar otra integral triple mediante una transformación adecuada definida sobre un nuevo solido Q". (En la rueva integral triple debe definirse tanto el orden camo los nuevos límites. No resolver, solo plantear) o. 2 2 A 111. (20pts.) Calcular el volumen del solido Q limitado por la superficie: = + z += Bn 12. (OPTATIVA) Aplicando la sustitución x=e, y =e' y sabiendo que u= f(x, transíormar la ecuación: x? (2) +y? 6) +x (5) +y 6) = 0 en otra más simple en términos de “s” y "P. e . Resolviendo... _ | Adien centro de masa del sólido Q que se encuentra dentro del paraboloide: 1? +y*=Z y fuera io ox4+y=22. La densidad del solido es constante. cia Scanned by CamScanner co (E) (2) (20) 20 ect mt simple or == 1 olviendo... ; Calcular el centro de masa del sólido Q del cono x? Solución, — El centro de masa es C = (%,5,Z), donde: x=*2, J=% mi - Para resolver usemos Coordenadas Cilíndricas Ecuaciones de Transformación: que se encuentra dentro del paraboloide: x? + y? =z forra +y? =22 La densidad del solido es constante. y IS x=rcosg y=rsin0 z=Z Jacobiano: E J=r E sólido y límites de integración: , Paraboloide > 12+y?=Z > Mz Cono >» i+ry=z2 > r=z % Intersecciones en z=1,7=1 , . nte Entonces los límites de integración respectivame! rez Mr=z p., emento de masa resp 1 7 k [rlzdzdrd0 = k(210) fr —ró)dr ==; na y2 May =/ff,0:20V = $7" Lo Momento de masa respecto del plano XZ Scanned by CamScanner (DTICONA SANTOS x= VZ cos t Y =yv2 (0 = YE alat > HO (VE cost Estat 17) e rojo yz E Az Para los limites, partir . 7) £ p tenemos: a de la curva Parametrizada y según el grafico, (Y2,0,47) is (2017) h ¿ .. eS ; : F(0) = (V2 cost, VZsint,V7) lim: Y : 2 E AA lem, : y Yi a v2 T ia = También cambia f(x,y,2) =x%y?22 por f()=(VZcost) (W2sin y) (7) = 30 —as4t) a, Solo en integrales de PRIMERA ESPECIE, no interesa el sentido de integración (horario a . pr ai el ejemplo tomamos los puntos al azar. Lo que importa acá es: límite inferior € menor valor y límite superior de mayor valo; éri Remo En y! Tr numérico, siempre. l= 15 FO (Old = Za — cos4t) VZdt = Eee E = 2(9 0 El sólido Q está limitado por los planos: X4+y+2=0 5 x+y-2=0; x-y-2=0; 1-2x+y=0. Considerando la integral Mo G+y+D(+y 2 MA y — 2) dV; el problema consiste en construir y expresar otra integral f triple mediante una transformación adecuada definida sobre un nuevo solido Q”. (En la nueva integral Lriple debe definirse tanto el orden como los nuevos límites. No resolver, solo plantear) Solución. - Por las condiciones del problema realizaremos la siguiente transformación: U=X+yY+HzZ Ec. Transformación » (poa W= x-Y-Z J (23) —- loa. ¡ 2) == n= Jacobiano J rr a O O 1-1 Al x+y+z=0 u-0 x+y-z=0 0 7 IS Far Arde Are, 1-2x+y=0 + Limites »osws 1%; 0sus;+1;-2SvS0 Función ” f=G+y+D0+y-DU-yD 3 f=uw Entonces la integral es: o vaa , o pl w]-2| gwdudo , 1 SV = SM FUI = ELA [ol uiaudo Scanned by CamScanner Fora a del solido Q, E Ec. Transformación . Aplicando la sustitución x= es, av Calcula mediante Y = A a será conveniente utilizar Coordenadas Esféricas y = 5rsen8 sen =- rcosÚ Jacobiano » Ia) 55 seno Ed 2 on > r=c0s*0 p =6rsen9cosp Solido » E Limites » 0SrScost0; 0S0Sm/2;0SpPS2r Función » f=1 Entonces la integral es: Es SMS AV = If Uta = Por 006.5. r2sengdrdódp = 2re pa “o I=27 Lomo =e' y sabiendo que u= f(x,y) transformar la ecuación 2 (2%) y 2 (Qu de*s” y “e” 6 5%) E ES +, ay 2 0 en otra más simple en términos y Solución. - Según el esquema de dependencias, que se muestra, empecemos a . o o fs=Inx 5 si=1/x (u) derivar. Sin olvidar que: ( =My ; ty=1/y 9 fs u=f a” Uy fosa > MS : sE =£ La u = e > Les —fs o Tx rd xx — Ma * E Análogamente: uy =1 4 y, =12 LA, remplaza en la ecuación diferencial no ordinaria: ua +y%uy +20 + yu =0 2 (fs fe (EL) (E $) XUxr yyy Pol > "(E )+y y Mi Ad 6 bn Cha fi +ft+f=0 > Les + fir =0 Por tanto, la ecuación ra transformada resulta ser: Scanned by CamScanner a(e—sentja(sende a 0 I=0+0f [tsent — 2+ 2cost]dt = 6ra? hd $ aio 1515 Giga! mm Pod ; b) $ (Bx2e> =ady- Dax + (de? +00sy)dy definida alrededor de: x? + y'=1 : Solución. = - El teorema de Green, afirma lo siguiente: A fraz + Qdy= lí (0, —Py)dA ; R:region encerrada por € . A A : Entonces tenemos: B=3x00=x1- LA Q=3x 70% y? La región y la curva están relacionadas, según el gráfico adjunto: tó c Remplazando en el teorema m7 pa 2y, Pax +Qdy= || Q,= da /f (+ 44 Í SICA, FG EG Coordenadas polares: . x=rco0s0 Ec. Transformación E =rsen0 =p (2%) - r *o_ Jacobiano » )J=)] o) = 19 yal =r Región »a24y=1 o r=1 Limites ”» TOSTr<1A 6:0S0S2r Función » f=d+2 »f=1?cos*0+2rseng Remplazando en la integral tenemos: 2y 27 1 2 = 2 Y = 2 costa É T ff, 6 + =) aa f [-( cos: 0 +3rseng)ardo 2: ” fps 2 1 27 2 1=f > cos? 8 +1? seno a0=/ G 294 ) =! . E 5 . . gos 9 +gsen8 do y 2. Hallar el P;g a €: ER = 1. De modo que Py sea paralelo al Plano que pasa por puntos: (2, —2,3); (3,3, —2) y Pig L 2x+y=z=0 Solución. - P, Según el gráfico adjunto, el plano es: a Pr: ( VE pta») q P(a, b,c) sa € Donde: VE/ptascy= (¿(a—2),3(b +3)2c) NO Porotra parte de2x+y=z=0 = N, = (2,1,-1) ad: A = (3,33, 2) — (2,-2,3) = (1,5, -5) Ñ + Na VE y 2 Scanned by CamScanner > Ne Mxue (11) NN ha Eaa-32 50+3),2c) =2(01,1) a=2 CS b=É-3 pero además sabe c=t/2 bemos que P EE: ,(a-22 Lar en E 2 s PE +e*=1 remplazando lo hallado ay =1> t=4 Ñ = (0,1,1) p> BT j Entonces: PP. ta P(a,b,c) =P(2, Z- 3,1 5 Por ultimo remplazamos t= 2% + Peg:(01,1) 0 (2, y- (+ 5-32 2) - 0! 3. Hallar un punto P, en coordenadas positivas que pertenece al clipscide: +2 z ¡+= =1 tal que el Plano tangente a este elipsoide en Pp determine con los ejes coordenados un tetracdro de volumen mínimo. Así mismo encontrar la ecuación de este Plano tangente a la elipsoide en Pg Solución. - Del gráfico, se liene que Vretraedro = 2ABC El plano en cuestión se define como Ñ o (f — P,) = 0 Empecemos por hallar la normal del plano tangente Ñ x VS/p, 2y 2z, OS ED 8,2) Na (2% 2) Vo r=R)= 0> EE) (e XP — YorZ — 20) =0 Po rt aaa ta" o ly za Á B E Identificando función y condición: 1 _ (añcy? f =Veetraedro = ¿ABC = eps AS ES >C: ep +1 Oi cs o Condición Aplicando un multiplicador de o Lagrangs t00” Lo Yo Zo) Vf =AWC > E Zyozo” ña" vaa)" arar 2) Igualando, se obtiene el sistema: labo =212 6x9? YoZo a? Yo, mal td labo? _ 2% Ye adicionando a éste, la condición Y 24 ca +5 =1 tenemos un sistema 4 x 4 éxXgYo?Zo (aby? _ =2 12 6X9YoZo? Es eeverinies ... función a minimizar manipular el primer sistema, esto es: 7 | | —(abcy? <= az sob 6xp” Jozo »- yya? y ia = xp?b? labo 2h > Aza 19 zp2al =xp tc? 6XoY02Zo za (abc? _ Zo om Ma 6xoYozo” Scanned by CamScanner pd tapa superior set 2 yn y tapa inferiores 006 *+y =1 y exterior a. Ayto gráfica adjunta sob) exigen pasar a Coordenadas Polares de E matorcación » 3 TrcosG A y=rseng esto es: >» J=](2),-*% _ 5): . Y vol =r » x +y =1 le r=1 «-D?+y=1% l-=2c050 blo extra; Intersectamos las circunferencias .- ( r=1 ¡E Zacoso > 1=2c050 > 0=60'=/3 » r:il 2cos0 1/3 v=2/ / ( z June (>) d0=2| (2500020050 +5)d8 d » A Tr 'o r 1 (7 ES zos V = 2[-2 In(secó + tan 8) — 2.5en8 + 58]3 = E — In(2 +43) co daa 512413) Scanned by CamScanner tdo (20pts. ) Calcular la masa de la forma geométrica de la 14 , (20pts.) Hallar el volumen i (20pis.) Calcular la integra superficies 22 =x?+y?, z (20pts.) Hallar el trabajo rea 2 y+zxi+y—z, A—2Y +47) Edo E Facultad de Ingeniería pe 2016 dl L. (20pts,) Sila elipse +2 = 1 está incluida dentro de la circunferencia 17 + y? =2y ¿Qué valores de a y b minimizan el área de la elipse? É 2 3 2. (20pts) Evaluar la integral doble: / = /5, (+2) 432 da Donde R es la región limitada por las curvas: aia; ¡E 1; y=x: y=2x situada en el primer cuadrante. 3. (20pts.) Hallar el área de las figuras limitadas por las Curvas: a” + O E DA CM ama, bey 4, (20pts.) Utilizando integrales triples AUR lumen dekgolido limitado por las superficies: :y=x z=x2+y?; 2 Ns 5. (20pts.) Calcular la integral : 2 dá alo Largo de + ty? . $ a No A 1. (20pts.) Calcular la masa del solido acóllido or las Superfici y = octante), si su-densidad volumétrica es tai ésta dad por d(x, y, y K = 2(vos3t ¡OStsm/2 2. (20pts.) Evaluar I= f¿(1 +3 ds, donde €: POsin3t És e ¡ÓN és * 3 3. (20pts.) Evaluar 1 = f,(2y — e**%%)dx + (é% n? y)dy, donde € es la curva regular por tramos qué ñ encierra la región limitada por: y? = 4x,y =2x—4 plano dado por 3x+y-24=0 2 ] 4. (20pts.) Hallar el punto Q que es simétrico a P(1,2,--4), respecto al de 5, (20pts.) Que puntos de la curva x=4-= 4 “eta mas cerca del punto p(2,0). Verificar E 3 6 (OPTATIVA) Expresar los operadores 3 y > en coordenadas polares y 7 Scanned by CamScanner 
