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1. DISEÑO DE LA TOLVA
En muchas extrusoras el alimento está formado por granza en estado sólido la cual hay que fundir y presurizar. El alimento entra en la extrusora a través de la tolva. Básicamente una trova consiste en un cilindro metálico cuya sección más habitual se muestra en las siguientes figuras:
Figura 1 Figura 2
Para poder realizar el cálculo de la sobrepresión de extrusión es necesario conocer la presión en la base de la tolva. Primero se realizará la aproximación de que la forma de la tolva es la de un contenedor cilíndrico tal y como muestra la figura 2. Para un cilindro lleno con un fluido conocido, la variación de la presión estática es P=ρg(H-h), permaneciendo constante este valor a lo largo de una misma sección situada a la misma altura h.
Para la granza la distribución de la presión no es isotrópica ya que los sólidos tienen la capacidad de soportar determinadas tensiones cortantes. Si realizamos un análisis de las fuerzas que actúan sobre un elemento diferencial obtenemos:
A·ρb ·g·dh - (P + dP)·A + P·A - (C (^) w+f’w·K·P)C·dh = 0 (1)
H KP
P
h^ P+dP
dh
Donde ρb es la densidad aparente de la granza, A es la sección transversal de la tolva, C es el perímetro mojado, K es la relación existente entre la tensión de compresión en la dirección horizontal y la tensión de compresión en dirección vertical (para un fluido el valor de K vale 0 pero para un sólido, como puede soportar tensiones, las presiones son diferentes), Cw es una medida de la adhesión del sólido a las paredes, y f’w es el coeficiente de rozamiento entre la granza y las paredes. Reordenando los términos se puede llegar a la siguiente ecuación diferencial:
A
f KPC A g CC dh
dP =ρ b − w − w^ ' (2)
Si se separan términos y se integra se obtiene el siguiente resultado:
+ − − ⎡^ −
= ⎡^ −
A
f CK h H f K
A g C C A P P f CK h H w w
H exp w ' ( ) (^ ρ^ b /' ) w^1 exp ' (^ ) (3)
donde PH es la presión en H (en este caso p (^) a). Cuando Cw = 0 y llevando la presión relativa a pa, la presión en la base del cilindro vale:
= − ⎡^ −
D
f K H f K P gD w w
b (^) 1 exp^4 ( ) 4
' (^0) '
donde D es el diámetro del cilindro. La presión máxima que se puede obtener en la tolva se calcula cuando H tiende a infinito, entonces:
f K P gD w 0 , max b ' 4
En consecuencia, en cierta medida el peso es contrarrestado por el rozamiento entre los granos de granza y las paredes del metal. La máxima presión es proporcional al diámetro e inversamente proporcional al coeficiente de rozamiento en la pared. Para líquidos la presión en la base de la tolva aumenta indefinidamente conforme aumenta el valor de H, mientras que para sólidos hemos encontrado un valor límite.
Es necesario poder conocer el valor de f’w, K y Cw. Estos parámetros se calculan de forma similar a como se hace las propiedades de un fluido mediante un reómetro de discos paralelos, con la excepción de se puede aplicar una tensión de compresión a los
Consideraremos el transporte de partículas sólidas en un canal rectangular como el mostrado en la figura 3.El objetivo es determinar el flujo másico y la presión como una función de la velocidad de los platos y del coeficiente de fricción entre el plato y la granza, f (^) w1. Sería deseable tratar esta situación de manera similar a los fluidos, donde resolvemos la ecuación de movimiento. Esta es la mejor manera de describir el flujo granular de sólidos.
Figura 3.
Por esta razón, supondremos que las partículas sólidas se comportan como un pistón con densidad ρb. El movimiento se produce por fricción con el plato superior que se encuentra en movimiento. El plato superior se mueve con una velocidad Vo , formando un ángulo φ con la dirección del canal, tal y como se muestra en la figura 4:
Figura 4.
La velocidad relativa del plato con el lecho de sólidos, v (^) r, es:
Vr = Vo sin φδx + Vo cos φδz - uδz (12)
A partir de la cual podemos obtener:
V u tan V o
o
cos ( ') sen (13)
Usando la trigonometría para tan (φ+φ’) llegamos a la siguiente expresión:
·cos ' ·sen V u tan u o −
Esta ecuación tiene dos incógnitas, u y φ’, por lo que buscaremos una ecuación adicional.
Esta ecuación se obtienen haciendo un balance de fuerzas en la dirección Z en un elemento diferencial Δz. Este balance incluye dos fuerzas de presión y las fuerzas debido a la fricción con los platos tanto arriba como abajo. El balance es el siguiente:
P z · W · H − Pz +Δ z · W · H + K · P · W · H · fw 1 ·cos(φ + φ')·Δ z − K · P · W · H · fw 2 ·Δ z = 0 (15)
Donde f (^) w1 y f (^) w2 son los coeficientes de fricción entre el plato superior y el plato inferior, respectivamente, y el lecho de sólidos, y K es el coeficiente de anisotropía en la distribución de tensiones. La contribución en el balance de fuerzas de las paredes es prácticamente despreciable en este caso. Dividiendo entre el área de un elemento y haciendo que Δz tienda a cero obtenemos la siguiente ecuación diferencial:
− dPdz + K · P · [ fw 1 ·cos( φ + φ')− fw 2 ] = 0 (16)
Integramos utilizando la condición inicial de que cuando z = 0, P = P (^) o , obtenemos:
P = Po exp{ [ K · fw 1 ·cos(φ +φ')− K · fw 2 ] z } (17)
Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas. Vemos como la presión crece exponencialmente con la distancia.
Se ha despreciado la resistencia que las paredes ejercen al flujo. Un balance de fuerzas en la dirección X sirve para calcular la fuerza norma ejercida sobre las paredes sobre el
Donde el primer término del paréntesis tiene en cuenta que la sección transversal del flujo tiene forma toroidal debido al cuerpo del tornillo. Así, Db es el diámetro del
tornillo más las aletas, y Ds =Db -2H, es decir, sólo del cuerpo del tornillo. El ángulo φ
es la media de los ángulos φb , φ en la parte superior de las aletas, y φs , ángulo en la base de las aletas.
Figura 5.
En la figura 5 se muestra el tornillo girando. La velocidad de los vectores se muestra relativa a la rotación del tornillo. El flujo tiene entonces componentes de velocidad en la dirección tangencial, Vpθ, y paralelos a los vuelos, Vpz. De forma similar a esta podemos relacionar Vpl , Vb y el ángulo φ’, el cual es el ángulo que el vector de velocidad relativa forma con la aparente rotación de las paredes, obteniendo:
b pl b b tan tan V V tan tan
Donde Vb =πNDb y N es la velocidad angular del tornillo, en revoluciones por segundo. Sustituyendo esta ecuación:
'^1 ( )sen
D H
e tan tan G NHD D H tan tan b b b b b b (20)
En esta ecuación aparecen dos incógnitas, φ’ y G, por lo que se necesita una ecuación adicional.
Esta ecuación se obtiene haciendo un balance de fuerzas en un elemento de lecho sólido como el mostrado en la figura 6. Para una distribución de tensiones isotrópica, las fuerzas pueden calcularse como:
- Fuerza de fricción con las paredes: F 1 = f (^) b PWb dz (^) b
- Fuerzas debidas a la presión diferencial: F 6 -F 2 =HWdP
- Fuerza normal al vuelo delantero: F 8 =PHdz
- Fuerza normal al vuelo trasero: F 7 =PHdz+F*
- Fuerza de fricción en el vuelo delantero: F 4 = f (^) s F 8
- Fuerza de fricción en el vuelo trasero: F 3 = f (^) s F 7
- Fuerza de fricción en el tornillo: F 5 = f (^) s PWs dz (^) s
Figura 6.
Donde f (^) s y f (^) b son los coeficientes de fricción entre el polímero y el tornillo y la pared, respectivamente. Haciendo balances de fuerza y torque obtenemos los siguientes resultados:
cosφ’=Ks senφ’+M (21)
donde
φ φ
φ φ cos sen
sen cos b s
s s b D f
f D
K D
+ ⎛^ +
+ ⎛^ +
= ⎛^ +
1
(^1) sen cotan ln 2
(^2) sen cotan sen cotan
P
P
D
K D
z f
H
W
W
D
K D
f
f W
W
D
K D
f
f W
M H
b b b s b
b bs b s b bs bs b s bs s
donde Tp es la temperatura en el flujo y C (^) p , p y kp son la capacidad y la conductividad
térmica, respectivamente, para el flujo. La ecuación anterior para la conducción térmica unidimensional lleva a :
2
2 y
T
t
T (^) p p p ∂ = ∂ ∂
donde αp es la difusividad térmica del lecho sólido. Vpz es la velocidad del flujo dirección canal abajo y se obtienen de la ecuación obtenida para el caso isotermo.
2.2. ZONA DE FUNDIDO
El modelo básico de conversión del lecho sólido en fundido es dado por Tadmor (Tadmor & Klein, 1970) y se basa en observaciones del estado del material a lo largo del canal del tornillo. Aparece una película de fundido en la pared superficial como resultado del calor generado por dos efectos: por un lado la fricción y por otro el calor conducido por las paredes calientes. Una vez se ha formado la película de fundido el mecanismo de transmisión cambia en la superficie del canal, donde ahora la resistencia viscosa es dominante. La resistencia por fricción sigue siendo importante en el fondo del tornillo y en los vuelos. El espesor de la película de fundido sigue aumentando hasta varias veces el valor del espacio que queda entre los vuelos del tornillo y la pared externa del tornillo. A partir de ese momento, el espesor de la película de fundido permanece prácticamente constante. El fundido es arrastrado y acumulado en la parte delantera de los vuelos del tornillo, tal y como muestra la figura siguiente:
La distancia axial desde donde aparece la primera película de fundido hasta donde el fundido comienza a acumularse se conoce como zona de dilatación.
Parece que resulta imposible poder predecir un modelo matemático para el cálculo de la longitud de la zona de dilatación. Tadmor y Klein, basándose en datos experimentales, encontraron una correlación empírica entre el número de vueltas, esto es, la longitud de
la zona de dilatación, y un parámetro dimensional ψ, donde ψ se definirá después, y representa la relación entre el fundido y el lecho sólido. La correlación es la siguiente:
N ' 0. 008 1 (29)
donde N’ es el número de vueltas. Aunque esta expresión ha sido obtenida a partir de datos experimentales para un número limitado de polímero, sigue siendo válida para estimar la longitud de esta zona.
Basándose en observaciones visuales, Tadmor (Tadmor &Klein, 1970) propusieron el mecanismo de fundido descrito en la figura 8. La película de fundido es separada y acumulada en el vuelo delantero del tornillo. La anchura del lecho sólido, X, disminuye por la zona del avance del tornillo. Los sólidos son imp8lsados hacia el interior, y la interfase entre el lecho de sólidos y el fundido parece moverse canal abajo con una velocidad Vsy. Se ha observado que el espesor de la película de fundido, δ, cambia ligeramente a lo largo de la anchura del canal, y parece que no cambie significativamente en la longitud del canal.
La finalidad del modelo de la sección de fundido es determinar la anchura longitudinal del lecho sólido, X, como una función de la distancia de la distancia canal abajo, z. La idea básica es determinar la distribución de temperaturas tanto en la película de fundido como en el lecho sólido. El balance de energía se realiza asumiendo que hay una clara interfase entre el sólido y el fundido. El flujo de calor en la interfase es conducido dentro del lecho sólido donde se utiliza para fundir el sólido (entalpía de cambio de fase). Por lo tanto, no sólo el espesor de la película de fundido permanece constante también lo hace la temperatura.
Vsz =G/( ρ s HW) (32)
Que es la misma que la velocidad del lecho sólido al principio de la zona de fundido, Vpz (el espesor de la película de fundido ha sido despreciado). Para la película de fundido, las ecuaciones de movimiento y de energía son:
∂∂ τ y yx = 0 (33)
∂∂ τ y yz = 0 (34)
y
v y
v x k T y k T x C v T z p x yx x yz ∂
2
2 2
2 (35)
La resolución de estas ecuaciones se hace utilizando una relación constitutiva, que será la ley empírica para la viscosidad. La velocidad se puede obtener independientemente de la ecuación de energía. La ecuación de energía puede ser sustituida en las ecuaciones de movimiento por términos de disipación viscosa. La velocidad se obtiene integrando las ecuaciones (33) y (34) después de sustituir en el modelo generalizado para un fluido Newtoniano (GNF) usando las siguientes condiciones de contorno:
- Para y=0, v (^) x=
- Para y=0, v (^) z =Vsz
- Para y=δ, v (^) x=Vbx
- Para y=δ, vz=Vbz (36)
Por la naturaleza homogénea de las ecuaciones (33) y (34) la función de la viscosidad se desprecia, y la velocidad es:
v (^) x Vbx ⎟ y ⎠
z bz sz y V sz v V V ⎟ + ⎠
=⎛^ −
La dificultad aparece al intentar resolver la ecuación de energía porque la viscosidad es una función de la temperatura y por el término de la mano izquierda de esta ecuación. Este término está asociado con el transporte de calor por convección y si la disipación viscosa es grande, este término podría ser importante. Tadmor y Klein (1970)
supusieron una distribución de temperaturas parabólica y inicialmente despreciaron los términos de conducción y convección en la dirección x. Mejor que suponer una distribución de temperaturas, supondremos que hay convección forzada. Por lo tanto, la ecuación (35) puede ser directamente integrada, si despreciamos el término de convección, y obtenemos la siguiente distribución de temperaturas en el fundido:
T = 2 Φ kmv^ ( y^2 − y δ )+ y ⎜⎝⎛^ Tb −δ Tm ⎟⎠⎞+ T m (39)
donde Φv es el término de disipación viscosa, dado por:
2 2 2 −^1 ⎥⎥⎦
⎟ +⎛^ −
n v m Vbx Vbx Vsz
Este perfil de temperaturas se ha obtenido utilizando las siguientes condiciones límite:
- Para y =0, T=Tm
- Para y=δ, T=Tb , (41)
Donde Tb es la temperatura de la pared.
A continuación determinaremos la distribución de temperaturas en el lecho sólido. Suponemos que Ts =Ts (y) , por lo que la ecuación de energía es:
2
2 y k T x C v Ts s s ps sy ∂
Las condiciones límite utilizadas en este caso son:
- Para y =0, Ts =Tm
- Para y=δ, Ts =To , (43)
Donde To es la temperatura del lecho cuando entra a la zona de fundición. La segunda condición presenta el problema de que el gradiente de temperatura en el lecho sólido y la temperatura del lecho puede cambiar conforme se mueve canal abajo. Las condiciones bajo las cuales se podría considerar que se producen cambios en la temperatura del lecho a lo largo del canal fueron discutidas por Rawendaal (1986).
( ) [ ( )]
2 12
2
( )^2
f ps m o
bx m m b m j L H C T T
V k T T V X w z
ρ^ μ
donde
V (^) j^2 = Vbx^2 + ( V (^) bz − V sz )^2 (51)
Para un GNF con una función de viscosidad dada por el modelo, la ecuación (49) representa una ecuación algebraica no lineal que puede ser resuelta para δ.
Por último, determinaremos el perfil del lecho sólido como una función de la distancia canal abajo. El cambio en la anchura del lecho sólido se obtiene mediante un balance de materia a un elemento de espesor Δz:
ρ sV sz ( H − δ) Xz −ρ sVsz ( H − δ) Xz +Δ z = wL ( z )Δ z (52)
Si se hace que Δz→0 y se desprecia el cambio del espesor de la película canal abajo, obtenemos el siguiente resultado:
s sz
L V
w z dz
d HX
Sustituyendo la ecuación (50) en la (53) se llega a la expresión:
sV sz
X
dz
dhX
donde:
( ) [ ( )]
2 12
2
f ps m o
bx m m b m j H C T T
V ρ k T T^ μ V
Para un canal de profundidad constante, la ecuación (54) se puede integrar dando:
2 1 (^21 )^2 (^1 2) ⎥⎦
= ⎡^ − −
H
z z W
X
W
X ψ (56)
donde X 1 y X 2 son las anchuras del lecho sólido en las posiciones z 1 y z (^2)
respectivamente, y el grupo dimensional ψ se define como:
ψ V sz ρ s X
Por lo tanto, para un canal de profundidad constante se puede determinar la longitud del canal necesario para fundir todo el lecho sólido con la ecuación (56).
Para un canal estrecho de estrechez constante, que es el caso usual, se puede rescribir la ecuación (54) como:
A sV sz
X
dH
d HX
donde
dz A = − dH (59)
La ecuación (58) se integra obteniendo:
2 2
= −⎛^ −
H
H
W A A
X
W
X ψ ψ (60)
Donde X 2 y X 1 son las anchuras del lecho sólido en los puntos correspondientes a H 2 y H 1 respectivamente.
Las ecuaciones (56) y (60) representa las ecuaciones básicas para el modelo de fundido. La longitud total del canal de profundidad constante es:
z (^) T = 2^ H (61)
y para un canal estrecho es:
El principio básico de operación para la zona de presurización de una extrusora con husillo simple es ilustrado por el plato simple mostrado en la figura 9. El fluido que circula entre los dos plato se considera que es Newtoniano y se trabaja en condiciones isotermas en régimen estacionario. Debido a la restricción al final del canal, la presión aumenta a lo largo de la dirección z. La velocidad v (^) z se supone que sólo depende de y, y la relación entre las dimensiones del canal es grande (W/H>10). Después de sustituir en la ecuación de movimiento las tensiones para un fluido Newtoniano queda:
2
μ ddy^ vz − dpdz = (63)
Utilizaremos las siguientes condiciones límite:
- Para y =0, v (^) z =
- Para y=δ, v (^) z =Vo , (64)
Después de integrar la ecuación (63) y utilizando las ecuaciones límite dadas por la velocidad, se calcula:
H
Vy H
y H
y dz v H dp o z (^) ⎥⎥⎦+
2 2
Para obtener el caudal volumétrico, integramos la ecuación anterior en una sección transversal:
WH^3
dz Q VoWH^ dp (66)
El caudal Q se divide en dos término: el primero se conoce como flujo de arrastre, Qd , y el segundo flujo de presión, Qp. Cuando no hay aumento de presión, el transporte se da enteramente por el flujo de arrastre. Si hay un aumento de presión significativo, entonces Q decrece. En este caso el término de presión puede dominar hasta el punto de que el flujo puede ir en dirección contraria (como veremos después, esto no puede suceder en una extrusora). El principal punto es que, como resultado del arrastre viscoso, el fluido puede avanzar contra la resistencia por un aumento de presión. Este es en esencia el principio de operación en la sección de presurización de una extrusora de husillo simple.
Como en una bomba, el mecanismo de platos paralelo no es práctico en sí mismo. Se necesita un camino para recorrer la longitud del canal y volver al plato superior del canal después de haber atravesado la longitud del mismo. Como muestra la figura 10, una manera de hacer esto es construir un canal y darle una inclinación helicoidal, de forma que la longitud puede ser incrementada. El cilindro interno o externo pueden rotar. En la figura, rota el cilindro externo. Cuando el canal es poco profundo en comparación con el radio del cilindro, la curvatura puede ser despreciada, y se puede considerar que es como platos paralelos.
Figura 10.
Ahora se puede desarrollar el modelo para esta zona. En la práctica, el tornillo está rotando dentro del cilindro, y las coordenadas cilíndricas son necesarias para describir la geometría. Como la profundidad del canal es normalmente pequeña comparada con el radio del cilindro, se puede resolver el flujo considerando coordenadas coordinadas Cartesianas, como muestra la figura 11. Normalmente se sitúan los ejes pegados al husillo, de forma que para un observador situado en ellos es como un plato se estuviese moviendo sobre el canal formando un ángulo φb con la dirección del canal hacia abajo.
