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LOS POLINOMIOS.
OPERACIONES, REGLA DE RUFFINI, IDENTIDADES NOTABLES, VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO,
TEOREMA DEL RESTO, FACTORIZAR POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS (SIMPLIFICAR,
OPERACIONES Y M.C.M. Y M.C.D. DE VARIOS POLINOMIOS).
1. OPERACIONES.
Suma resta y producto de polinomios, estudiado en años anteriores. Es
fácil.
a. División de polinomios.
1. Efectúa las divisiones siguientes.
a. (x
3
+ x
2
- x + 1) : (x
2
b. (x
4
+ 3x
3
- x + 1) : (x
2
- x – 1)
c. ( 4x
4
+ 2x
3
- x
2
- x + 1) : (2x
2
- x – 1)
VER VÍDEO https://youtu.be/GDwcl2h2chs
x
3
+ x
2
- x +1 x
2
3
x
x + 1
/ x
2
2
x
4
+ 3x
3
- x +1 x
2
- x – 1
4
3
2
x
2
/ 4x
3
2
3
2
/ + 5x
2
2
/ 8x + 6
4x
4
+ 2x
3
- x
2
- x +1 2x
2
- x – 1
4
3
2
2x
2
3
2
/ 4x
3
2
3
2
/ + 3x
2
2
3
2
x +
3
2
5
2
x +
5
2
2. Hallar a y b para que la división x
3
- 3 x
2
+ ax – b : x
2
+ 1 sea exacta.
VER VÍDEO https://youtu.be/7eI_aoSPpEg
x
3
- 3 x
2
a· x – b x
2
- x
3
- x x – 3
/ – 3 x
2
(a – 1)x – b
3 x
2
/ (a – 1)x 3 – b
(a – 1 )x + 3 – b = 0x + 0
a – 1 = 0 → a = 1
3 − b = 0 → b = 3
2. REGLA DE RUFFINI
Si el divisor es del tipo x ± a, también se puede hacer
aplicando la regla de Ruffini.
3. Efectúa las divisiones siguientes.
a. (x
4
+ 3x
3
- x + 1) : (x – 1)
b. (3x
4
- 2x
3
+ 2x
2
- x + 4) : (x – 2)
c. (4x
5
- 2x
4
+ 3x
2
- 2x + 5) : (x + 2)
VER VÍDEO https://youtu.be/uXXNuf2iJec
(x
4
3
- x + 1 ): (2x– 1 ) es lo mismo que (
1
2
x
4
3
2
x
3
1
2
x +
1
2
): (x–
1
2
) y esta
división se hace por Ruffini como en el ejercicio anterior.
3. IDENTIDADES NOTABLES
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
5. Efectúa las operaciones siguientes.
a. (x + 1)
2
b. (x – 3)
2
c. (2x + 4)
2
d. (3x – 3)
2
e. (x + 2)·(x – 2)
f. (5x + 2)·(5x – 2)
VER VIDEO https://youtu.be/Rr_QGj2f
a. (x + 1)
2
= x
2
b. (x – 3)
2
= x
2
c. (2x + 4)
2
= (2x)
2
2
= 4x
2
12x + 9
d. (3x – 3)
2
= (3x)
2
2
= 9x
2
e. (x + 2)·(x – 2) = x
2
2
= x
2
f. (5x + 2)·(5x – 2) = (5x)
2
2
= 25x
2
6. Efectúa las operaciones siguientes.
a. (2x – y)
2
b. (3a + 2b)
2
c. (x – 1)
2
- (x + 1)
2
d. x·(x + 2)
2
- (x + 1)·(x + 2)
e. (x + 2)·(x – 2) – (2x – 3)
2
f. (2x
2
- 3x)
2
- (3x
2
+ 2x)
2
VER VÍDEO https://youtu.be/sVws0MzYcCs
a. (2x – y)
2
= 4x
2
2
= 4x
2
2
b. (3a + 2b)
2
= 9a
2
2
= 9a
2
2
c. (x – 1)
2
2
= x
2
2
2
2
= – 4x
d. x.(x + 2)
2
2
2
= x
3
2
2
3
2
e. (x + 2).(x – 2) – (2x – 3)
2
= x
2
2
x
2
2
2
f. (2x
2
2
2
2
= 4x
4
2
3x + 9x
2
4
2
2x + 4x
2
= – 5x
4
3
2
4. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO.
7. Hallar el valor numérico de los polinomios siguientes para el valor de x indicado.
a. P(x) = x
3
- 2x
2
+ x – 1 para x = – 1.
b. P(x) = 3x
4
- x
2
+ 3x + 2 para x = 2.
c. P(x) = x
5
- 3x
3
+ 2x
2
- 3x + 1 para x = – 2
VER VÍDEO https://youtu.be/MQkuA93RbFs
a. P(– 1) = (– 1)
3
2
b. P(2) = 3·(2)
4
2
c. P(– 2) = (– 2)
5
3
2
5. TEOREMA DEL RESTO.
El Teorema del resto dice que el resto de dividir un polinomio P(x) entre un
binomio x + a coincide con el valor numérico del polinomio para x = – a
VER VÍDEO https://youtu.be/EDPtmnSMkMQ
3x
4
- 2x
3
+ 2x
2
- x + 4 x – 2
Aplicamos la regla de Ruffini
∗
- 2
- 2
- 2
- 2
− 2 + 6
2 + 8
− 1 + 20
4 + 38
x
3
x
2
x
cociente: 3 x
3
2
- x – 2 → El número cambiado de signo, es decir 2
P(2) = 3·
4
3
2
Observa que el resto, 42, coincide con el valor numérico P(2) = 42
8. a. Hallar k para que la división de p(x) = x
3
- kx
2
+ 3x – 2 entre x + 2 sea exacta.
b. Hallar k para que la división de p(x) = x
3
- 2kx
2
+ 4x + 3 entre x + 3 tenga resto 4.
VER VÍDEO https://youtu.be/8AD0Z1i_QOg
a. Sea exacta significa que el resto es igual a cero. Sustituyo en p(x) la x por –
2, igualo a cero (resto) y resuelvo.
p(– 2) = (– 2)
3
2
- 3.( – 2) – 2 = 0 → k = – 4
b. Sustituyo en p(x) la x por – 3, igualo a 4 (resto) y resuelvo.
p(– 3) = (– 3)
3
2
- 4.( – 3) + 3 = 4 → k = - 7 /
c. P(x) = 3x
2
- 7x + 4
d. P(x) = x
2
- 6x + 9
e. P(x) = x
2
+ x + 1
f. P(x) = 3x
2
VER VÍDEO https://youtu.be/y4zVy_BPL1g
a. p(x) = 3x
2
- 5x. Basta sacar factor común: p(x) = x.(3x – 5)
b. p(x) = x
2
Resolvemos x
2
x = 1
x = 2
dos soluciones
p
x
x − 1
. (x − 2 )
c. p(x) = 3 x
2
Resolvemos 3x
2
x = 1
x =
dos soluciones
p(x) = 3 · (x − 1 ). (x −
d. p(x) = x
2
- 6x + 9. Si nos damos cuenta de que es una identidad notable
podemos escribir p(x) = (x – 3)
2
. En cualquier caso, podemos hacer:
Resolvemos la ecuación x
2
solución
doble
solución
única.
el polinomio
es un
binomio
al cuadrado
p
x
x − 3
2
e. p(x) = x
2
Resolvemos la ecuación x
2
- x + 1 = 0 → No hay solución
→ El polinomio no se factoriza
f. p(x) = 3x
2
2
- 1 ). Si nos damos cuenta de que es una identidad
notable podemos escribir p(x) = 3·(x – 1).(x + 1). En cualquier caso, podemos
hacer:
Resolvemos la ecuación 3x
2
x = − 1
x = 1
dos soluciones
p
x
x + 1
. (x − 1 )
c. Polinomios de grado superior a 2.
Primero sacamos factor común, si se puede. Luego tomamos los divisores del
término independiente y aplicamos la regla de Ruffini. Al llegar a un
polinomio de grado 2, no seguimos con Ruffini, resolvemos la ecuación de 2º
grado. Ver ejemplos:
12. Factorizar el polinomio siguiente x
4
- 5x
2
VER VÍDEO https://youtu.be/bdJKUg03R8o
p(X) = (x – 1)·(x + 1)·(x – 2)·(x + 2)
13. Factorizar el siguiente polinomio. P(x) = x
4
+ 4x
3
- 6x
2
- 36x – 27
VER VÍDEO https://youtu.be/YOgTLBAmSNA
P(x) = x
4
3
2
- 36x – 27 = (x + 1)·(x – 3)·(x + 3)
2
14. Factorizar el siguiente polinomio. P(x) = 2x
4
+ 2x
3
+ 9x
2
+ 9x
VER VÍDEO https://youtu.be/y3y1K0bZ
P(x) = 2x
4
3
2
2
15. Factorizar el siguiente polinomio. P(x) = 2x
5
4
3
2
VER VÍDEO https://youtu.be/CwPHdVqHumc
P(x) = 2x
5
4
3
2
3
·(2x – 1)
16. Factorizar el siguiente polinomio. p(x) = x
3
- 4x
2
+ 3x
p(x) = x
3
2
2
- 4x +3) = x.(x – 1).(x – 3)
Las raíces del polinomio son x = 0, x = 1 y x = 3
17. Factorizar el siguiente polinomio. p(x) = x
3
+ 2x
2
- x – 2
p(x) = x
3
2
- x – 2 , no puedo sacar factor común. Tomamos los divisores del
término independiente: ± 1 y ± 2
Y aplicamos la regla de Ruffini:
Probamos el 1:
p(x) = (x – 1 ).
1 x
2
2 º grado.
Resolvemos
la ecuación.
x=− 1 ,x=− 2
x − 1
x + 1
. (x + 2 )
Las raíces del polinomio son x = 1, x = – 1 y x = – 2
18. Factorizar el siguiente polinomio p(x) = x
4
+ 6x
3
+ 13x
2
+ 12x + 4
p(x) = x
4
3
2
- 12x + 4 , no puedo sacar factor común. Tomamos los
divisores del término independiente: ± 1 , ± 2 y ± 4. Y aplicamos la regla de Ruffini:
Probamos el 1:
1 7 20 32 36 →NO
Probamos el – 1
p
x
x + 1
1 x
3
2
Volvemos a probar el – 1, no sale. Probamos el 2
***** El 2 (coeficiente del monomio de mayor grado, 2.x
3
) aparece en la factorización.
Las raíces del polinomio son x = 0, x = 1, x = – 1 y x = – 1/
7. FRACCIONES ALGEBRAICAS
a. Simplificar fracciones algebraicas.
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21. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟐
VER VÍDEO https://youtu.be/RgxFsmQjkJE
x
2
− 3x − 4
4 · (x − 4 )
x + 1
. (x − 4 )
x + 1
22. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟐
𝟑
𝟐
VER VÍDEO https://youtu.be/ZKf855g-9wM
x
2
− 5x + 4
x
3
− 4 x
2
− x + 4
x − 1
. (x − 4 )
x + 1
x − 1
. (x − 4 )
x + 1
23. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟐
𝟑
𝟐
VER VÍDEO https://youtu.be/WGeNwt51MQI
x
2
− 8x + 7
x
3
− 7 x
2
− x + 7
(x − 1 ). (x − 7 )
(x + 1 ). (x − 1 ). (x − 7 )
x + 1
24. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
3x
3
− 2x
2
− 3x + 2
3x
3
− x
2
− 3x + 1
(x + 1 ). (x − 1 ). (3x − 2 )
(x + 1 ). (x − 1 ). (3x − 1 )
(3x − 2 )
(3x − 1 )
25. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟐
𝟒
𝟑
x
2
x
4
3
− x − 1
x
2
x − 1
x + 1
. (x
2
x − 1
. (x + 1 )
26. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
x
3
2
− x − 4
x
3
2
− x − 5
x + 1
x − 1
. (x + 4 )
x − 1
x + 1
. (x + 5 )
x + 4
x + 5
27. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
x
4
− 5 x
2
x
4
− 10 x
2
(x + 1 ). (x − 1 ). (x + 2 ). (x − 2 )
(x + 1 ). (x − 1 ). (x + 3 ). (x − 3 )
(x + 2 ). (x − 2 )
(x + 3 ). (x − 3 )
28. Simplifica la siguiente fracción algebraica.
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
x
3
2
− 2x − 2
x
3
− x
2
− 2x + 2
x + 1
. (x + √
2 ). (x − √
x − 1
. (x + √ 2 ). (x − √ 2 )
x + 1
x − 1
b. M.C.M. y M.C.D. de varios polinomios.
Operaciones con fracciones algebraicas
29. Hallar el M.C.M y el M.C.D. de los polinomios siguientes: x
4
- 5x
2
+ 4, x
4
+ x
3
- x – 1 y
3x
3
- 2x
2
- 3x + 2
VER VÍDEO https://youtu.be/MC20lSGKdi
x
4
2
- 4 = (x + 1)·(x – 1)·(x + 2)·(x – 2)
x
4
3
- x – 1 = (x + 1)·(x – 1)·(x
2
3x
3
2
- 3x + 2 = (x + 1)·(x – 1)·(3x – 2)
M.C.M. = (x + 1)·(x – 1)· (x + 2)·(x – 2)·(x
2
M.C.D. = (x + 1)·(x – 1)
30. Realiza la siguiente operación con fracciones algebraicas.
a.
x
x − 1
x
x
x − 1
b.
x
x − 1
x
x
x − 1
x − 1 − x
x − 1
x − 1
= 1 − x
33. Realiza la siguiente operación con fracciones algebraicas.
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
VER VÍDEO https://youtu.be/7zap-wwBX
x
2
x
2
− 2x
x
2
x
2
− 4x + 4
x + 2
x − 2
x.
x − 2
x.
x + 2
x − 2
2
x + 2
x − 2
x − 2
2
x.
x − 2
. x.
x + 2
x − 2
2
x
2
34. Realiza la siguiente operación con fracciones algebraicas.
𝟐
𝟐
VER VÍDEO https://youtu.be/-HXOr5nb-VA
x
x − 1
x
2
− x
x
x
2
x
x − 1
x
x − 1
x.
x − 1
x
x + 1
x − 1
x
x − 1
x
2
x.
x − 1
x + x.
x + 1
x + 1
x − 1
x
2
(x+ 1 ).(x− 1 )
x. (x − 1 )
x
2
x.(x+ 2 )
x + 1
. (x − 1 )
x + 1
. (x − 1 ).
x + 1
. (x − 1 )
x
2
x + 2
. (x − 1 )
x + 1
2
. (x − 1 )
x
2
. (x + 2 )
