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El modelado matemático de dos tanques interconectados, donde se analiza el proceso de linealización por serie de Taylor para obtener modelos lineales a partir de ecuaciones no lineales. Se incluyen ecuaciones diferenciales, conservación de masa y ecuaciones de Torricelli, así como el proceso de linealización y la transformada de Laplace para obtener funciones de transferencia.
Tipo: Ejercicios
1 / 30
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¡No te pierdas las partes importantes!
● Guamán Basantes Dennis Sebastián
● Guzmán Cualchi Edwin Alexander
● Marroquín Quilumbango Francisco David
● Pico Gordón Lucía Jacqueline
Ing. Jesica Ortiz
Latacunga, 31 de Mayo del 202 2
Mayo 2022 - Septiembre 2022
Los fenómenos de naturaleza no lineal son susceptibles de aproximaciones lineales cuyo
valor práctico es innegable. Tales aproximaciones se sustentan como modelos válidos de
una realidad restringida que no ha sido contradicha por la experiencia cotidiana.(Sira et
al., 2004)
3.2. Hardware-in-the-Loop (HIL)
Las pruebas HIL son una técnica en la que las señales reales de un controlador son
conectadas a un sistema de pruebas que simula la realidad, engañando al controlador para
que piense que está en el producto ensamblado. La prueba y la iteración del diseño se
realiza como si se estuviera utilizando el sistema del mundo real. Se puede ejecutar
fácilmente miles de escenarios posibles para poner en práctica a un controlador sin el
costo y el tiempo asociados con las pruebas físicas de la actualidad.
Las pruebas hardware-in-the-loop (HIL) son simulaciones en tiempo real que permiten
comenzar a probar el código embebido sin necesidad de hardware de sistema. Esto
permite probar condiciones anormales y de fallo que pueden dañar el hardware si el
código en desarrollo no opera dentro de las especificaciones. Los sistemas de control de
electrónica de potencia son parte integral de los sistemas de transporte eléctricos y los
sistemas de energía renovable. Validar el código embebido para estos sistemas de control
mediante pruebas con prototipos es un reto, ya que el riesgo de daños en el hardware
impide ejecutar los sistemas en toda la gama completa de condiciones transitorias.
(MathWorks, 2022)
4. Desarrollo
Se explica el proceso industrial a realizar para el literal 1 y 2 del desarrollo
Aplicación de llenado de dos tanques en una Industria textil (utexbel)
Aquí las telas son tejidas, enrolladas, cepilladas, blanqueadas, teñidas, secadas y
enderezadas. El agua está presente casi en todas estas etapas, un proceso que requiere una
media de 350 millones de litros de aguas anuales.
“Usamos 80 litros de agua por cada kilo de tejido, el agua es utilizada primero en el
blanqueo, más tarde en la coloración y finalmente en el proceso de teñido para que el
color no desaparezca. Al final el agua resultante contiene muchos colorantes y es muy
acida tenemos que neutralizar primero esta acides para luego evacuar el agua que
dirigimos a una planta de tratamiento principal”. (Morel, 2017)
El proceso de filtración del agua contaminada es extremadamente oloroso, un coste
también medio ambiental para el que están buscando soluciones, la dirección de la fábrica
trabaja con un grupo de científicos europeos en un proyecto de reciclaje que sea a su vez
económicamente asequible. Para ello han diseñado una unidad de depuración piloto, el
proceso de reciclaje se divide en dos partes: primero a través de la denominada
electrocoagulación se elimina los colorantes, en segundo lugar, a través del proceso de
osmosis inversa se elimina las sales.
“Primero entran en juego unas membranas de auto filtración con las que separamos todas
las pequeñas partículas y otras sustancias, luego entramos a la segunda fase denominada
osmosis inversa que absorbe las sales y el resto de sustancias, al final del día obtenemos
esta agua liberada de todos los colorantes, totalmente limpia sin nada ni siquiera las sales.
Si tenemos en cuenta que el proceso comenzó con esta agua sucia con todo tipo de
colorantes, el resultado es este, vea el producto inicial”. (Sonsbeek, 2017).
Cada etapa es sometida a controles muy estrictos para evaluar la eficacia de los diferentes
procesos de filtración. (euronews, 2017)
Esquema de la planta
Figura 2 Esquema de la planta.
Para poder realizar el modelo se debe tomar en cuenta las condiciones físicas que puede
tener el tanque, como pueden ser las presiones, caudales, etc. Para cualquier tanque se
determina la presión manométrica entre 1 y 2 como se observa en la Figura 3
Dónde:
Se puede concluir que el flujo que pasa por la válvula es proporcional al área de abertura
de la válvula.
Qs = Sa 2 gH ( 6 )
Qs = Ka H ( 7 )
Dónde:
Modelamiento matemático de la planta
Tanque 1
El volumen del tanque se puede relacionar con la Altura y el área, siendo así:
Figura 5 Modelado matemático del tanque 1
La razón de cambio del volumen del tanque 1 como observa en la Figura 5 se da en la
siguiente ecuación
1 1
dh A dt
Modelado matemático del tanque 1
Realizando conservación de masas:
3 1 1 i m
dh m A q q dt s
Suponiendo flujo de entrada constante en qi :
1 1 1 1 2 1
dh A k a k h dt
Tanque 2
El volumen del tanque se puede relacionar con la Altura y el área, siendo así:
Figura 6 Modelado matemático del tanque 2
La razón de cambio del volumen del tanque 2 como observa en la Figura 6 se da en la
siguiente ecuación
2 2
dh A dt
Realizando conservación de masa:
3 2 2 m 0
dh m A q q dt s
2 2 2 1 3 2 2
dh A k h k a h dt
1) Describir el método de linealización a través de la serie de Taylor aplicado a
un proceso industrial.
Para poder linealizar el modelo no lineal se debe encontrar el punto de equilibrio del
sistema
Para el tanque 1 se parte de la ecuación ( 9 ) si iguala a cero y se despeja h 1 s
0 = k a 1 1 (^) − k (^) 2 h 1
k a 1 1 (^) = k 2 (^) h 1
2
1 1 1 2
s
k a h k
Se aplica la transformada de Laplace para obtener la función de transferencia del tanque
1 a la ecuación ( 38 )
2 1 1 1 1 1
1
2 1 1 1 1
1
k h s A s k a s h
1 1 1 1 2 (^1) * 1
Para el punto de equilibrio del Tanque 2 se analiza el estado estable a la ecuación ( 11 )
2 2
Se aplica las series de Taylor a la ecuación ( 38 )
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 (^1) , 2 ,
h h h h
F h h F h h h h h h h h
1 2
1 1 1
2 2 2
h h h
h h h
= −
= −
Se reemplaza las variaciones de la ecuación ( 38 )
1 2
2 2 2 3 2 (^2 2) * 1 * 2
1 2
2 2 2 3 2 2 2 1 2
2 2 3 2 2 1 2
(^2 1 )
d h k k a A h h dt (^) h h
Se aplica la transformada de Laplace para obtener la función de transferencia del tanque
2
2 3 2 2 2 1 2
1 2
3 2 2 2 2 1
2 1
Para poder obtener la expresión utilizamos la función de transferencia del segundo
tanque:
1 1 1 1 2 (^1) * 1
3 2 2 1 1 (^2 2) * * 2 2 1 (^1) * 1
k a k k a s h s A s k h h (^) A s
h
1 2
2 1 2 1 2 3 2 (^1) * 2 *
1 2
2) Describir el método de linealización a través de la Jacobiana aplicado a un
proceso industrial.
El proceso industrial que se va a linealizar descrito en el apartado 1 de este documento,
hace referencia a la “INDUSTRIA TEXTIL (UTEXBEL)”, en la cual se hace uso de dos
tanques
La Jacobiana emplea la primera derivada de la Serie de Taylor para el desarrollo de la
linealización de los sistemas y está dada por:
0
( ) ( 0) x x
df f x x x dx (^) =
= −
0
( ) x x
df f x x dx (^) =
Figura 7 Proceso de nivel
Como resultado del proceso se deberá presentar el:
Para poder el sistema en el dominio del tiempo continuo se parte de la siguiente Figura 8
Figura 8 Modelo a linealizar
El modelo analítico del sistema de tanques representado en la Figura 8 está compuesto
por tres ecuaciones diferenciales de primer orden las cuales son válidas para 3 2 1 h h h
Estas ecuaciones diferenciales describen el balance de flujo del sistema y se representan
a continuación en las ecuaciones
1 1 1 12 i
dh A Q Q Q dt
2 2 23 12
dh A Q Q dt
3 3 2 23 P
dh A Q Q Q dt
Donde A corresponde al área transversal de los tanques, y t representa el tiempo. Luego
los caudales generados Q 1 y Q 2 por el actuador se pueden escribir como se presenta
continuación, en la ecuación
Q 1 (^) = k a 1 1 ( 25 )
Q 2 (^) = k a 2 2 ( 26 )
válvula aplicado en la bomba. Seguidamente por las ecuaciones de Torricelli los caudales
Q 12 (^) , Q 23 , QP y Qi se representan como se indica en las ecuaciones
QP = k aP p 2 gh 3 ( 27 )
Q 23 (^) = k 23 (^) a 23 (^) 2 gh 3 ( 28 )
Q 12 (^) = k a 12 12 (^) 2 g h ( 2 (^) − h 1 ) ( 29 )
Qi = ki 2 gh 1 ( 30 )
Siendo ka la sección transversal de la válvula la cual es variable, desarrollando las
ecuaciones ( 22 ), ( 23 ) y ( 24 ) en las ecuaciones ( 27 ), ( 28 ), ( 29 ) y ( 30 ) se obtiene las
ecuaciones diferenciales no lineales del sistema de tanques indicado en, las cuales son
utilizadas posteriormente para análisis en simulación.
1 1 1 1 12 12 2 (^2 1 )^ i^21
dh A k a k a g h h k gh dt
2 2 23 23 2 3 12 12 2 (^2 1 )
dh A k a gh k a g h h dt
3 3 2 2 23 23 2 3 P p^23
dh A k a k a gh k a gh dt
resultados obtenidos).
Para poder obtener el modelo se necesita analizar los puntos de equilibrios se parte de las
ecuaciones ( 31 ) ( 32 ) y ( 33 ). Se iguala la ecuación ( 33 ) a cero y se despeja h 3. Para tener
una mayor facilidad se reemplaza los valores de ka con una S
2 2 3 23
P
h g S S
El resultado de h 3 se aplica un cambio de variable por una R. Se iguala la ecuación ( 32 )
a cero y se reemplaza la ecuación ( 38 )
Linealización por series de Taylor
Tanque 1
( )
1 1 1 12 12 2 2 1 i^21
A h K a K a g h h K gh t
( ) (^) ( ) 1 1 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 1
eq eq a (^) eq h (^) eq a (^) eq heq
F a h F a h a h a h
( ) ( ) ( )
12 12 1 1 1 1 12 12 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
, 2 2 2 2
i eq eq i eq eq eq
gK a gK F a h K a K a g h h K gh K a h h g h h gh
+ − − + − − −
( ) ( ) ( ) (^1 ) 1 , 1
12 12 1 1 1 1 12 12 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
, 2 2 2 2 a (^) eq heq
i eq eq i eq
A h eq eq A h t (^) t
gK a gK F a h K a K a g h h K gh K a h h g h h gh (^) (^)
+ − − + − − −
( )
1 1
1 1 12 12 , 1 1 1 1 2 2 1 2 1
eq eq
i a h
eq eq
A h A h gK a gK K a h h t t (^) gh g h h
( )
1 12 12 1 1 1 1 (^22 1 )
i
eq eq
A h gK a gK K a h h t (^) g h h gh
Tanque 2
( )
2 23 23 12 12 2 2 1
A h K a K a g h h t
( ) ( ) 23 2 23 2 23 , 2 23 23 , 2 2 23 2
eq eq a (^) eq h (^) eq a (^) eq heq
F a h F a h a h a h
( ) ( ) ( )
12 12 23 2 23 23 12 12 2 1 23 3 2 2 1
, 2 2 2
eq eq eq
gK a F a h K a K a g h h K gh h g h h
− − − − −
( ) ( )
( ) (^2 ) 23 , 2
12 12 23 2 23 23 12 12 2 1 23 3 2 2 1
, 2 2 2 a (^) eq heq
eq eq
A h (^) A h eq t (^) t
gK a F a h K a K a g h h K gh h g h h (^) (^)
+ − − − −
( )
23 2
2 2 12 12 , 23 3 2 2 1
a (^) eq heq eq
A h A h gK a K gh h t t (^) g h h
( )
2 12 12 23 3 2
2 1
(^2) eq
A h gK a K gh h t (^) g h h
Tanque 3
( ) ( )
3 2 2 23 23 2 3 p p^23
A h K a K a g h K a g h t
( ) ( ) 2 3 2 3 2 , 3 2 2 , 3 3 2 3
eq eq a (^) eq h (^) eq a (^) eq heq
F a h F a h a h a h
( ) ( ) ( ) ( )
23 23 2 2 2 2 23 23 3 3 2 2 3 3 3 3
p p eq eq p p eq eq
gK a^ gK a F a h K a K a g h K a gh K a h h g h g h
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 , 3
23 23 2 2 2 2 23 23 3 3 2 2 3 3
3 3 3
, 2 2 2 2 a (^) eq heq
p p eq eq p p A h (^) A h eq eq t (^) t
gK a^ gK a F a h K a K a g h K a gh K a h h
g h^ g h (^)
− − + − −
( ) ( )
2 3
3 3 23 23 , 2 2 3 3
3 3
eq eq
p p a h
eq eq
A h A h gK a^ gK a K a h h t t (^) g h g h
( ) ( )
1 23 23 2 2 3 3 (^2 3 )
p p
eq eq
A h gK a^ gK a K a h h t (^) g h g h
Linealización por Jacobiana
Para poder realizar la linealización por medio de la Jacobiana partimos de las ecuaciones
de cada tanque y utilizando la primera derivada de las series de Taylor las cuales se
muestran a continuación
F (^) ( x (^) )= F (^) ( xe (^) q ) + F (^) ( xeq ) x ( 45 )
1 1 1 12 12 2 1 1
2 23 23 3 12 12 2 1
3 2 2 23 23 3 3
2 2
2 2
2 2
i
p p
A h K a K a g h h K gh t
A h K a gh K a g h h t
A h K a K a gh K a gh t
= + − −
= − −
= + −
Implementar los modelos matemáticos obtenidos través de líneas de código, es decir,
utilizar el Módulo de Script de MatLab. No se deberá utilizar Simulink. Se deberá
considera un To = 0.05[s], To = 0.1[s] y To = 0.5[s]
Para realizar la práctica y toma de datos, se partió de las ecuaciones ( 31 ), ( 32 ) y ( 33 ) para
obtener los modelados no lineales en los tiempos establecidos.
a) Para un tiempo T 0^ =0.05 [s]
Para el primer caso, se empieza a tomar valores cada 0.05 [s] con lo que se puede observar
el comportamiento de los modelos no lineales establecidos mediante la apertura de las
válvulas de entrada y salida.
Figura 9 Modelado de la entrada y salida de la altura 3
En la Figura 9 se puede observar que el llenado del tanque tiende a ser muy bajo ya que
el flujo no es lo suficientemente mayor a la salida que tiene, por lo que, la línea amarilla
representa como llega a llenarse hasta una altura muy baja pero cuando la apertura de la
válvula es casi completa. Con la línea verde se puede observar como el tanque al tener un
flujo constante de entrada llena el tanque de forma rápida hasta llegar a los 7 metros
aproximadamente, pero a su vez se observa como al tener una apertura progresiva de las
válvulas de salida, la altura del tanque empieza a variar rápidamente hasta quedar en cero.
Figura 10 Modelado de la entrada y salida de la altura 1
En la Figura 10 se muestra el comportamiento de la altura 1, en donde, al igual que la
altura 3, al momento de variar la entrada, este se llena hasta una altura de aproximada de
2 metros, pero con la diferencia que su llenado es más rápido que en el caso anterior como
se observa en la línea amarilla. Mientras que, al momento de variar las salidas, el tanque
tiende a llenarse más, ya que al no tener una válvula que regule su salida, se considera
que la salida S1 representada en la Figura 7 no tiene la suficiente capacidad para vaciar
el tanque, por lo que la válvula V5 tiende a seguir llenando progresivamente el tanque.
Figura 11 Modelado de la entrada y salida de la altura 2
En la Figura 11 se muestra el comportamiento de la altura 2, en este caso, al igual que
los anteriores tiene un llenado de forma exponencial por la apertura de la entrada como
se observa en la línea amarilla. Mientras que, al momento de variar la salida, la altura 2
sigue aumentando por la misma razón de que al tener solo la válvula V5 como salida y a
su vez solo ser una válvula de carga, esta no libera el contenido hasta que no sienta una
presión suficiente, lo que provoca que se siga llenando el tanque, así como se observa en
la línea verde.
b) Para un tiempo T 0 (^) =0.1 [s]
Para el segundo caso, se empieza a tomar valores cada 0.01 [s] con lo que se puede
observar el comportamiento de los modelos no lineales establecidos mediante la apertura
de las válvulas de entrada y salida.
Figura 12 Modelado de la entrada y salida de la altura 3
