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UNIDAD 8: DERIVADAS Y SUS APLICACIONES.
- Tasa de variación media
- Derivada de una función en un punto.
- Función derivada. Derivadas sucesivas.
- Regla de derivación.
- Estudio de derivabilidad de una función
- Aplicación de las derivadas
a. Recta tangente y normal b. Monotonía. Máximo y Mínimos relativos. Extremos de una función. c. Curvatura. Puntos de Inflexión
- Optimización
- Representación de funciones. (esbozo) 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA Se llama tasa de variación media [TVM] de una función, y=f(x), en un intervalo [a,b] al cociente:
[ ]
b a
f b f a
T.V.M.a,b =
La TVM de f(x) en [a,b] es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) OTRA FORMA DE EXPRESAR LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA Con frecuencia, al intervalo que estudiamos [a,b], se le nombra mediante la expresión [a,a+h], nombrando así, a un extremos del intervalo, a, y a su longitud, h. De tal manera que b=a+h, y por tanto h=b-a En tal caso, la Tasa de Variación Media se obtiene así:
[ ]
h
f a + h − f a
T.V.M.a,a+ h =
Ejemplo: f ( x ) = 5 x − x^2
[ ]
( ) ( )
( )
( ) 1 5 · 1 1 5 1 4
T.V.M.1,
2
2
f
f
f f
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 1 5 · 1 1 5 1 4
T.V.M.1,1 h
2
2 2
2 2
2
f
h h h h h
f h h h h h h
h
h
h h
h
f h f
2. DERIVADA EN UN PUNTO
Definición: DERIVADA: El crecimiento de una función en un punto se mide por la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Se obtiene mediante el siguiente límite:
h
f a h f a
x a
f x f a
f a
x a h
→ → 0
lim lim
Ejemplo: Vamos a calcular la derivada de f ( x ) = 5 x − x^2 en x =
( ) [ ]
( ) ( )
lim 3 3
lim
1 limT.V.M.1,1 h lim
h 0
2
h 0 h 0 h 0
→ → → →
h
h
h h
h
f h f
f
3. FUNCIÓN DERIVADA
Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f ) a una función f ', que asocia a cada abcisa, x, la derivada de f en ese punto, f '(x), es decir la pendiente de la curva y=f(x) en ese punto.
( )
( ) ( ) h
f x h f x f x h
→ 0
lim
Ejemplo: Vamos a calcular la derivada de f ( x ) = 5 x − x^2
( ) ( ) (^ )
f ( x h ) ( x h ) ( x h ) x h x h xh x h x h xh
f x x x
x
h
h h x
h
h h xh
h
x h x h xh x x
h
h h
h
f x h f x
f x
lim
lim
lim
lim lim
(^22222)
2
h 0
2
h 0
2 2 2
h 0
2
h 0 h 0
→ →
/ /
→ → →
Ejemplo: Vamos a calcular la derivada de ( )
x
f x
lim
lim
lim
35 lim
lim lim
h 0 h 0 h 0 2
h 0 h 0 h 0
→ → →
→ → →
x h x h
f x h
x
f x
h x h x x
h
h
x h x
h
h
x h x
x x h
h
x h x
x x h
h
x h x
h
f x h f x
f x
4. ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD.
La primera condición para calcular la derivada es que la función sea continua en el punto a estudiar. La segunda condición es probar que la derivada sea continua. Ejemplo :
- Estudia la derivabilidad de la función (^) ( )
− ≥
<
3 2 2
(^22) x si x
x si x f x
- Continuidad: Es continua en los dos trozos por ser parábola y recta. Falta ver la continuidad en x =2.
f ( 2 ) = 4
−
→
→ lim( 3 2 ) 4
lim 4
2
2 2 x
x
x
x (^) Es continua en 2 Es continua en ℜ
2. Derivabilidad. Calculamos la derivada de cada trozo ( )
si x
x si x f x.
La derivada es continua en cada trozo. Falta ver si es posible definir la derivada en 2.
′ = =
′ = =
−
→
→
−
2 lim 3 3
2 lim 2 4
2
2 x
x f
f x
Son distintos no es derivable en x=2 f ( x ) es derivable en ℜ−{ 2 }
- Calcula "a" y "b" para que la función f sea derivable en todo IR bx+2x- 1 si x> 1
ax+b si x^1 f(x)=
(^2) ≤
- Continuidad. Es continua en cada trozo, falta ver la condición para ser continua en x =
f ( 1 ) = a + b
−
→
→ lim( 2 1 ) 1
lim( )
1
2 1 bx x b
ax b a b
x
x Para ser continua debe cumplir a + b = b + 1
- Derivabilidad. b 2 si x> 1
ax si x^1 f (x)=
< ′ 2. Son continuos los dos trozos. Falta ver la condición para definir^ f^ ′(^1 )
f(x) es decreciente en x=a ↓⇔∃ E (^) r a / ∀ x ∈ Era ⇒ six ≤ a ⇒ f ( x )≥ f ( a ) f(x) es decreciente en x=a ↓⇔∃ E (^) r a / ∀ x ∈ Era ⇒ six ≤ a ⇒ f ( x )≥ f ( a )
f(x) es decreciente en x=a 0
x a
f x f a
Si f(x) es derivable en x=a y es decreciente ⇒ f ´( a )≤ 0 Máximo relativo.-
f(x) tiene un máximo relativo en x=a ⇔∃ E (^) r a / ∀ x ∈ Era ⇒ f ( x )≤ f ( a ) f(x) tiene un máximo relativo en x=a y es derivable ⇒ f ´( a )= 0 y f ´´( a )≤ 0 ó ↑↓
Mínimo Relativo
f(x) tiene un mínimo relativo en x=a ⇔∃ E (^) r a / ∀ x ∈ Era ⇒ f ( x )≥ f ( a ) f(x) tiene un mínimo relativo en x=a y es derivable ⇒ f ´( a )= 0 y f ´´( a )≥ 0 ó ↓↑
Para estudiar la monotonía de función que es derivable seguimos el esquema siguiente:
- Estudiar el dominio de la función y observar puntos problemáticos.
- Hallar f´(x)
- Igualar la derivada a cero. Resolver y hallar los posibles máx y mín relativos
- Colocar en los ejes los posibles máx y mín relativos y los puntos problemáticos.
- Estudiar el signo de f´(x). Establecer intervalos de crecimiento, decrecimiento, máx y mín relativos.
C. CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN
- f(x) es convexa en x=a ⇔ ∃ E (^) r a /∀ x ∈ Era ⇒ f ( x )≥ t ( x ) siendot ( x ) larecta tan x = a
- Si existe la segunda derivad de f(x) es convexa ⇔ f ´´( x )≥ 0
- f(x) es cóncava en x=a ⇔ ∃ E (^) r a /∀ x ∈ Era ⇒ f ( x )≤ t ( x ) siendot ( x ) larecta tan x = a
- Si existe la segunda derivad de f(x) es cóncava ⇔ f ´´( x )≤ 0
Función Convexa y existe la segunda ⇒ f ´´( x )≥ 0 Función Cóncava y existe la segunda ⇒ f ´´( x )≤ 0
Punto de Inflexión.- Es el punto de cambio de curvatura f ´´( a )= 0 y f ´´´( a )≠ 0 ócambiodecurvatura
Para estudiar la curvatura de función que existe la segunda derivada seguimos el esquema siguiente:
- Estudiar el dominio de la función y observar puntos problemáticos.
- Hallar f´´(x)
- Igualar la derivada segunda a cero. Resolver y hallar los posibles puntos de inflexión
- Colocar en los ejes los posibles puntos de inflexión y los puntos problemáticos.
- Estudiar el signo de f´´(x). Establecer intervalos de convexidad, concavidad y puntos de inflexión.
6. OPTIMIZACIÓN
Se trata simplemente de problemas de calcular el máximo y el mínimo. Muy importante parábolas
Procedemos de la siguiente forma: Nos dan una función f(x) Y hallamos máximo y mínimos f ´( x )= 0 resolver ycalcularf ´´( x )
7. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
1. Dominio de una función: a. El dominio de una función polinómica es R. b. Dominio de una función racional es R -{raíces del denominador} c. Dominio depende de lo que hay dentro de la raíz y del valor de n. i. Si n es par Dominio de la función son los valores para los que el algo ≥ 0 ii. Si n es impar el dominio de la función es el dominio del algo 2. Puntos de Cortes con los ejes: a. Con el eje OX, f(x) = 0. Resolver. Son (a,0) (b,0),… b. Con el eje OY f(0) Son (0,f(0)) 3. Simetría Par e Impar a. Par f(x) = f(-x) b. Impar f(-x)= -f(x) **4. Regiones (Estudio del signo de f(x), usando los ptos de cortes con OX y ptos con problemas)
- Asíntotas (Ramas Infinitas):** a. Asíntotas verticales x= a b. Asíntotas horizontales. y= m c. Asíntotas oblicuas y=mx+n **6. Monotonía (Creciente o decreciente). Máximos y mínimos relativos.
- Curvatura (Convexo y cóncavo). Ptos de Inflexión
- Continuidad
- Representación gráfica.**
