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NOTA: como la deformación es la inversa del radio de curvatura, una deformación pequeña corresponde a un radio de curvatura grande y una deformación grande a un radio pequeño.
- La ley de Hooke correspondiente es: R
E I
FL
A
= ⋅ donde IA es el momento de inercia de la
sección transversal.
- Este momento de inercia de la sección transversal depende de la geometría de la sección
transversal. La tabla adjunta muestra algunos casos particulares.
TABLA 1.2: Momentos de inercia de algunas secciones (Tabla 8.2, Kane)
Sección transversal Momento del área
Barra de sección rectangular
3 a b I (^) A =
Cilindro
4 r I (^) A
Tubo
4 4 ( a b ) I (^) A
π −
- Nótese que cuánto mayor es I (^) A , mayor es la pendiente de
la Ley de Hooke y, por tanto, menor es la deformación.
- En concreto, para una barra de sección rectangular, I (^) A es
diferente según cómo se aplique la fuerza. Así, para un mismo material y un mismo esfuerzo (E y τ constantes), pero aplicando la fuerza de forma diferente
R
EI
F L
A
R
EI
F L
A
o si la fuerza se aplica paralela al lado más corto, entonces a^3 e IA son pequeños, por lo que la pendiente de la Ley de Hooke es pequeña y la deformación (1/R) grande.
o si la fuerza se aplica paralela al lado más largo, entonces (a’) 3 e I’A son grandes, por lo que la pendiente de la Ley de Hooke es grande y la deformación (1/R) pequeña.
PROBLEMA
- Una barra cilíndrica de acero de 3 m de largo tiene 0.01 m de radio. Si se aplica una fuerza de tal
modo que se dobla elásticamente con un radio de curvatura de 20 m. (a) ¿Cuál es la deformación? (b) ¿Cuál es el momento de inercia de su sección? (c) ¿Cuál es el momento flexor debido a esa carga? (d) ¿Cuál es la fuerza aplicada? DATO: Eacero = 20x10^10 N/m 2. SOL : (a) 0.05 m -1, (b) 7.85x10-9^ m 4 , (c) 78.5 N·m, (d) 104.7 N.
o (a) La deformación será:
1 005 20
= = = m R
a → IA
b
I (^) A < IA ’
a’ → I A’
b’
a b
a
b
r
o (b) El momento de inercia de la sección será:
9 4
4 4
785 10 4
− − = ×
= = m
r I (^) A.
o (c) Aplicando la Ley de Hooke, obtenemos el momento flexor:
= E ⋅ IA ⋅ = × ⋅ × ⋅ = N ⋅ m
− 20 10 785 10 005 785
10 9 τ ε...
o (d) La fuerza aplicada será: N L
F
F L
- Flexión lateral o pandeo :
o una columna vertical con un peso sobre ella, está sometida a una fuerza longitudinal vertical en la dirección de la gravedad. Si se desvía de la verticalidad, puede
aparecer un momento flexor τ = F ⋅ d sobre ella tal que
produce una flexión lateral denominada pandeo****.
o Si el momento flexor produce una flexión lateral demasiado grande, la columna no puede mantener el equilibrio y se fractura.
o Para una columna de densidad ρ y módulo de Young E, se puede demostrar (véase la Cussó o Kane) que en la situación de máxima deformación la relación entre la altura y el radio de la columna viene dada por
2 3
13 (^2) /
/
r g
E
L (^) crit
por tanto, si L < Lcrit → la columna no se fractura
pero si L > Lcrit → la columna sí se fractura
o El primer factor depende del material (E y ρ) y de la gravedad. El segundo de la geometría (r).
o Si llamamos c a la constante:
13 2
/
g
E
c
, tendremos que
2 / 3 L (^) crit = c ⋅ r. Para una
especie determinada de árbol (E y ρ iguales) c tendrá el mismo valor para todos ellos.
o Por tanto, las magnitudes críticas de dos árboles de la misma especie guardan la relación: 2 3
2
1 23 2
23 1 23 2
23 1
2
1
/
/
/
/
/
r
r
r
r
c r
c r
L
L
PROBLEMA
- Calcula cuánto cambiará el radio de un árbol cuando duplique su altura.
- Solución:
o Si L 1 (^) = 2 L 2 , entonces 2
2
2
2
1 = = L
L
L
L
o Por tanto: 2
2 3
2
1
/
r
r → 2 2 283
3 2 15
2
1 .
/. = = = r
r
F fuera de la vertical
d
F vertical
- Las fuerzas por unidad de superficie transversal constituyen una presión: Atransversa l
F
P =
- Si un cuerpo está sometido previamente a una presión, el ensayo de compresión consiste en la
aplicación de una diferencia adicional de presión. El esfuerzo es esa diferencia adicional de
presión (antes y después de realizar el ensayo): τ=∆ P
- La deformación es la variación relativa de volumen: V
∆ V
- La ley de Hooke correspondiente es: V
V
P K
donde K es el coeficiente de compresibilidad del cuerpo.
- El signo menos indica que una compresión (ΔP positivo) da lugar a una reducción de volumen (ΔV
negativo).
- Para materiales homogéneos e isótropos:
3 ( 1 − 2 σ )
E
K
PROBLEMA
- En un tubo rígido de 1.2 m de longitud y 3.6 cm 2 de sección interior se introduce agua. Si se aplica
una fuerza de 5 N mediante un émbolo que actúa por un extremo del líquido, (a) ¿qué cambio de volumen experimentará la columna líquida? (b) ¿Qué cambio de altura? DATO: K = 2.16x10 7 N/m 2. SOL: 0.064 %, 0.77 mm.
o (a) La presión aplicada será:
4 2 4
N m A
F
P. /
= ×
×
−
y considerando la Ley
de Hooke:
7
× =− × =−
×
− P V K
V
V
V
P K
donde el signo menos indica que ha habido una reducción de volumen (incremento negativo) o (b) El volumen interior, por ser un cilindro, será:
4 4 3 V A L 3 6 10 12 432 10 m
− − = × =. × ⋅. =. × , la variación absoluta de ese volumen será:
4 4 7 3 V 6 43 10 432 10 278 10 m V
V
V
− − − ⋅ =− × ⋅ × =− ×
Al estar el agua en un tubo rígido, sólo cambia su altura cuando se comprime, por tanto:
V = A × L → ∆ V = A ×∆ L y así
m mm A
V
L 722 10 077
4
7
.. .
=− × =−
×
− ×
− −
−
CURIOSIDADES: BIOMATERIALES (Cussó, apdo 5, capítulo 16)
- Los seres vivos han desarrollado a lo largo de la evolución una enorme variedad de materiales. El
hombre sintetiza químicamente algunos materiales análogos, imitando así a la naturaleza.
- En orden a la función que cumplen en los organismos, se pueden clasificar en:
o materiales de tracción (seda, colágeno, celulosa, quitina...), (polietileno, nylon, teflón...)
o materiales flexibles (resilina, abductina, elastina, mesoglea, cartílago),
o materiales rígidos (cutícula, hueso, queratina, escamas, xilema...).
- En la tabla adjunta se muestran algunas propiedades de ellos
TABLA 1.3 Propiedades mecánicas de algunos biomateriales (Tabla 16.6, Cussó)
Material Mód. Young (N/m 2 ) Esf.máx. (N/m 2 ) Extensibilidad
Cabello humano 5x 108 6x10^8 140 %
Seda 2-6x10^9 500x10^6 25 %
Tendón 1x10^9 50x10^6 8 %
Cáñamo, lino 5x10^10 900x10^6 2 %
Quitina 5x10^10 900x10^6 2 %
Cartílago 5x10^6 1x10^6 10 %
Concha 40-100x10^9 100x10^6
Fémur-tracción 1.6x10^10 120x10^6
Fémur-contracción 9x10^9 200x10^6
Madera 6-9x10 9 40-100x10^6
WEB
- Capítulo de elasticidad con problemas resueltos en:
http://bohr.fcu.um.es/miembros/moo/p-ela.pdf
- En esta páginas tenéis applets variados:
o Experiencia para medir el módulo de Young:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm
o Flexión de una viga y pandeo:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/viga1/viga1.htm
o Medida del módulo de cizalla:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/torsion/torsion.htm
