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GUIA DE EJERCICIOS
DINAMICA-TRABAJO Y ENERGIA
DINAMICA
EJEMPLO 1
Una persona de 80 kg, se encuentra en el interior de un ascensor de pie sobre una balanza. Suponiendo que ésta mide el peso de la persona en Newton, calcule aproximando el valor de g a 10 m/s 2 , el valor que mide la balanza en los casos en que el ascensor:
a) Está en reposo.
b) Sube con aceleración constante de 2 m/s^2.
c) Sube con rapidez constante de 4 m/s.
d) Baja con aceleración constante de 2 m/s^2.
e) Baja con rapidez constante de 4 m/s.
f) Desciende en caída libre.
Solución:
En todo problema de dinámica es aconsejable hacer un diagrama de cuerpo libre en el que se representen todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo analizado.
: Fuerza normal que ejerce sobre la persona, Y la superficie sobre la que se apoya (balanza). Su dirección es perpendicular a la superficie y con sentido hacia arriba. : Peso de la persona, su dirección es vertical y hacia el centro de la Tierra aproximada- mente.
Luego la resultante será: Si referimos los vectores al eje Y (fig.), entonces:
a) En reposo, (Principio de Inercia) luego N – P = 0 entonces: N = mg y la balanza marca 800 N.
b) Sube con aceleración constante, (Principio de Masa) luego: F 0 D E N = mg + ma entonces la balanza marca: 960 N.
c) Con rapidez constante de 4 m/s, (Principio de Inercia), por lo tanto N - P = 0 y la balanza marca
800 N
d) Baja con aceleración constante, (Principio de Masa), por lo tanto: F 0 D E^ N = mg - ma^ y la balanza marca 640 N
d) Con rapidez constante de 4 m/s, (Principio de Inercia), por lo tanto N - P = 0 y la balanza
marca 800 N.
e) Si desciende en caída libre, entonces por lo tanto N - P = - mg y N = 0, la balanza marca 0 N
EJEMPLO 2
Un cuerpo de 5 kg se desliza sobre una superficie horizontal tirado por una cuerda que forma un ángulo de 37º sobre ella, el coeficiente de roce cinético entre las superficies esF 0 6 Dk = 0,3. Calcular el módulo de la tensión de la cuerda en los siguientes casos:
a) Si el cuerpo se mueve con rapidez constante. b) Si el cuerpo se mueve con aceleración constante de 2 m/s^2
Solución:
a) Consideremos un diagrama en el que se ilustren todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Luego, las referimos a un sistema de coordenadas en el plano XY en que arbitrariamente hacemos coincidir uno de los ejes con la dirección en la que el cuerpo acelera.
Y
X
La fuerza neta, total o resultante sobre el cuerpo, está dada por el vector:
Expresando esta suma en sus componentes rectangulares:
Puesto que es constante. Luego: T cos 37º - fr = 0 y T sen 37º + N - P = 0 Considerando que f (^) r =F 0 6 Dk N. Reemplazamos y luego despejamos T, con lo que:
b) De acuerdo con el segundo Principio de I. Newton,. Por lo tanto:
en que: f (^) r =F 0 6 Dk N
Sol.: a) F = 9,1 N b) F = 55,9 N c) F = 23,9 N d) F = 70,6 N e) F = 21,2 N
56. Considere dos cuerpos A y B de masas mA = 1 kg y m (^) B = 2 kg que se encuentran unidos mediante una cuerda ligera e inextensible. El coeficiente de roce entre las superficies que deslizan esF 0 6 Dk = 0,3 y la aceleración en los tres casos mostrados es de 2 m/s 2. Si la polea es de masa despreciable y gira sin roce, calcular para cada caso:
F F A F B
B A 37º A B 37º
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
a) El valor de la fuerza F si en ( 1 ) y ( 2 ) , B asciende.
b) El valor de la tensión en la cuerda en cada situación.
Sol.: a) F 1 = 29 N ; F 2 = 31,2 N ; F 3 = 15,3 N b) T 1 = 24 N ; T 2 = 10,4 N ; T 3 = 5 N
57. La figura muestra tres cuerpos A , B y C unidos mediante cuerdas una de las cuales pasa por una polea, como ilustra la figura, las masas de los cuerpos son: m (^) A = 0,5 kg, mB = 1,0 kg y m (^) C = 2,0 kg. Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable, al igual que la polea la cual gira sin roce. Calcular:
a) La aceleración del sistema.
b) La tensión en cada cuerda 1 y 2. 1
c) La masa que se debe agregar a B para que este A
cuerpo descienda con una aceleración de 0,2 m/s 2. 2 B C
Sol.: a) a = 1,43 m/s^2 b) T 1 = 17,14 N ; T 2 = 11,43 N c) m = 0,58 kg
58. Un cuerpo que pesa 100 N en la Tierra, se suspende verticalmente de un resorte estirándolo 20 cm. En un planeta desconocido el mismo cuerpo estira al mismo resorte 15 cm. Determine:
a) El peso del cuerpo en el planeta desconocido.
b) La masa del cuerpo.
c) La aceleración de gravedad en el planeta desconocido.
Sol.: a) P = 75 N b) M = 10 kg c) a = 7,5 m/s^2
59. Un cuerpo A de 2 kg se encuentra sobre otro B de 3 kg, éste último está sobre una superficie horizontal muy pulida en que el roce es despreciable. Entre A y B las superficies son rugosas existiendo entre ellos un coeficiente de roce estáticoF 0 6 DS = 0,4 y un coeficiente de roce cinéticoF 0 6 Dk = 0,2. Determine el valor máximo que debe tener una fuerza horizontal para que ambos cuerpos se muevan juntos si la fuerza se aplica sobre:
a) A. A
b) B. B
Sol.: a) F (^) A = 13,3 N b) F (^) B = 20 N
60. Una caja de 10 kg se encuentra inmóvil sobre una correa transportadora que la hace ascender con rapidez constante de 2 m/s. La correa es plana y forma con la horizontal un ángulo de 30º. Respecto de esta situación:
a) Haga un diagrama de cuerpo libre de la caja, representando todas las fuerzas que actúan sobre ella. b) Calcule el valor o módulo de la fuerza de roce estático que actúa sobre la caja. c) Calcule el valor del coeficiente de roce estático entre la caja y la correa para que ésta no deslice pero esté a punto de hacerlo.
Sol.: b) f (^) re = 60 N c) μ (^) e = 0,
61. Un cuerpo A de masa m (^) A = 1,5 kg, está apoyado sobre un plano inclinado en 30º sobre la horizontal, unido a él mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable, se encuentra otro cuerpo B de masa m (^) B = 2 kg que está suspendido. El coeficiente de roce cinético entre el cuerpo A y el plano esF 0 6 Dk = 0,2. Determinar el valor de una fuerza F paralela al plano inclinado, para que el sistema:
a) Ascienda con aceleración constante de 0,6 m/s 2
b) Descienda con rapidez constante.
Sol.: a) F = 32,2 N b) F = 24,9 N
62. Un automóvil de 1500 kg está describiendo una curva horizontal y plana de 200 m de radio moviéndose con una rapidez tangencial constante de 15 m/s. Calcular la fuerza de roce entre los neumáticos y el suelo que permiten al auto describir la curva.
Sol.: f (^) r = 1687,5 N
63. Un pequeño objeto de 0,5 kg se mantiene atado a una cuerda de 2 m de longitud y descansa sobre una superficie horizontal (roce despreciable). Si a este objeto se le hace describir una trayectoria circunferencial manteniendo fijo el otro extremo de la cuerda con un período de 0,5 segundos, calcular:
a) La aceleración centrípeta del objeto.
b) La tensión de la cuerda.
Sol.: a) acp = 315,5 m/s^2 b) T = 157,8 N
64. El cuerpo de la figura pesa 50 N y se sostiene en equilibrio mediante las cuerdas que se muestran. Calcule el valor de la tensión que ejerce cada una de las tres cuerdas.
60º 2 1 Sol.: T 1 = 28,9 N ; T 2 = 57,7 N
65. Un cuerpo cuyo peso es 100 N es sostenido por tres cuerdas, como se ilustra en la figura.
Determinar el valor de las tensiones de las tres cuerdas.
53º 2 60º 1
Sol.: T^1 = 60,1 N ; T 2 = 41,6 N
66. El cuerpo A de 1,2 kg, se encuentra sobre una superficie como lo ilustran las figuras 1 y 2. Está unido a otro cuerpo B de 0,6 kg mediante una liviana cuerda, inextensible que pasa por una polea y gira sin roce, de masa despreciable que lo mantiene suspendido. Calcular el valor que debe tener el coeficiente de roce estático entre las superficies, para que el sistema esté en equilibrio pero a punto de que B descienda en fig. 1 y ascienda en fig. 2. A
A
B 53º
Fig. 1 Fig. 2
Sol.: μ^ e = 0,5^ en ambos casos
67. Dos cuerpo de pesos P y W están suspendidos de las cuerdas que ilustra la figura. Calcular la tensión que resiste cada una de las tres cuerdas.
60º 30º
1 3 2
P W Sol.: ; ;
68. El peso del cuerpo que se encuentra suspendido en la figura es W y las poleas tienen igual radio y son de masa despreciable. Calcular el valor mínimo de la fuerza F con que se debe tirar el extremo libre de la cuerda para equilibrar el cuerpo.
Sol.: F = W/ 2 W F
69. Un cuerpo se encuentra en reposo sobre una superficie áspera, inicialmente horizontal. Comienza a inclinarse poco a poco y cuando alcanza un valor determinadoF 0 7 1 0 , el cuerpo se encuentra a punto de deslizar. Demostrar que el coeficiente de roce estático entre las superficies es igual a: F 0 6 De = tgF 0 7 1 0 70. Sobre la superficie horizontal de la figura se encuentra un cuerpo de 100 N, en reposo. Si el coeficiente de roce estático entre las superficies esF 0 6 De = 0,4 ¿Qué valor mínimo deberá tener la fuerza F, aplicada a él para que esté a punto de moverse?
F Sol.: Fmin = 375,2 N 30º
TRABAJO Y ENERGIA
EJEMPLO 5
Un niño asciende 80 m por una colina inclinada en 30º sobre la horizontal, arrastrando un carro
de 10 kg mediante una cuerda que mantiene en dirección paralela al plano inclinado con una
aceleración de 0,2 m/s^2 , el coeficiente de roce cinético entre la superficie del carro y el camino es
F 0
6 D k^ = 0,4. Calcular el trabajo que realizan las fuerzas :
a) Normal y Peso del carro. 30º
b) Tensión de la cuerda y Roce.
c) Neta o trabajo neto sobre el cuerpo.
Solución:
El ángulo formado por el vector desplazamiento y la fuerza Normal es de 90º, por lo tanto:
W N = N d cos 90º = 0 La fuerza normal no realiza trabajo.
b) La rapidez con la que comienza a comprimir al resorte.
c) La constante elástica del resorte.
A
20 m
Solución:
B C D
a) Dado que a lo largo de AB no existe roce, no hay disipación de energía mecánica y por lo tanto
la energía mecánica en A tiene el mismo valor que en B. Considerando el nivel de referencia
en B :
EA = EB F 0D E UA + KA = U B + KB en que K A = UB = 0 luego: vB =
Reemplazando resulta: v B = 20 m/s
b) En el trayecto recto horizontal BC, existe roce, luego hay disipación de energía en forma de
calor, por lo tanto, la energía mecánica no se conserva y la diferencia corresponde al trabajo
que realiza el roce, por lo que:
W frBC = E C - EB
Si EB = ( ½) m vB^2 y E C = ( ½) m vC^2 entonces reemplazando:
F 0
6 D k^ mg dBC^ cos 180º = ( ½ ) m vC
2 - ( ½ ) m v B 2 F 0
D E v^ C^ = 18 m/s
c) Dado que el tramo CD no existe roce, entonces la energía mecánica se conserva, por lo tanto:
ED = EC F 0D E U gC + U kC + KC = U gD + U kD + KD
Ya que: UgC = UgD (superficie horizontal) ; UkC = 0 (resorte sin comprimir) ; K D = 0
(cuerpo en reposo)
Entonces: ( ½ )m v C^2 = ( ½ )k x 2 F 0D E 1012,5 N/m
EJERCICIOS PROPUESTOS
82. Una caja de 500 kg se encuentra sobre un plano inclinado en 37º sobre la horizontal. Mediante
un cable paralelo a este plano, se la hace recorrer 20 metros a lo largo de él hacia arriba con
rapidez constante de 4 m/s. Si el roce entre las superficies es despreciable, calcular el trabajo
realizado por las fuerzas:
a) Normal y resultante.
b) Peso y tensión del cable.
c) La variación de la energía mecánica experimentada.
Sol.: a) WN = 0 ; W (^) Neto = 0 b) W (^) Peso = - 6 * 10 4 J ; WT = 6 * 10^4 J c) ΔE = 6 * 10 4 J
83. En la figura se muestra un cuerpo de 10 kg que se encuentra sobre la superficie circular de 10
metros de radio, su rapidez de descenso en ese lugar es de 5 m/s, luego recorre 15 sobre una
superficie horizontal siendo hasta aquí el roce despreciable. Finalmente asciende por un plano
inclinado en 37º sobre la horizontal a lo largo del cual alcanza a recorrer 15 metros antes de
detenerse. Calcular:
a) La rapidez con la que inicia el ascenso del plano inclinado.
b) El coeficiente de roce cinético entre las superficies en el plano inclinado.
Sol.: a) v = 15 m/s b) μ (^) k = 0,
84. Un carro A , de 5 kg desliza por un camino con roce despreciable pasando por un punto a 10
metros de altura con una rapidez de 2 m/s. Al llegar al nivel más bajo impacta a otro cuerpo B
de 10 kg, inicialmente detenido quedando ambos cuerpos adheridos. Determine:
a) La rapidez del carro cuando pasa por un punto a 7 metros de altura.
b) La rapidez con la que impacta al cuerpo B.
c) La rapidez con que ambos cuerpos continúan moviéndose después del impacto.
A
10 m 7 m
B
Sol.: a) v = 8 m/s b) v´= 14,3 m/s c) v´´ = 4,77 m/s
85. Una bala de masa m = 0,1 kg se mueve con velocidad. Choca a un bloque de 0,9 kg
inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. La bala se incrusta en el bloque y
recorre el tramo rugoso AB de 8 metros de longitud y luego el plano inclinado BC (sin roce)
llegando al punto C , a 1,8 metros de altura, con una rapidez de 4 m/s. Determinar:
a) La velocidad del conjunto bala-bloque después del choque.
b) El coeficiente de roce cinético en el tramo AB.
C
M
m
A B
Sol.: a) b) μ (^) k = 0,
Sol.: a) WP = - 1,5 * 10^5 J b) WT = 1,5 * 10 5 J c) E = 1,5 * 10 5 J d) E = 1,5 * 10^5 J e) H = 30 m f) v = 31,6 m/s
89. Los cuerpos A y B de la figura, tiene masas de 1 y 2 kg respectivamente. Ambos cuerpos deslizan sobre las superficies circulares sin roce como se muestran y parten del reposo desde los puntos mostrados, al encontrarse sobre la superficie horizontal, chocan quedando adheridos. Calcular:
a) La cantidad de movimiento de cada cuerpo y del sistema antes de chocar.
b) La velocidad con la que se mueven ambos después del choque.
c) La variación de la energía cinética del sistema, antes y después del choque.
B
A 10 m
5 m
Sol.: a) b) ΔK = - 194,2 J
90. Una partícula de 6 kg se mantiene sobre una superficie horizontal lisa (sin roce) comprimiendo en 80 cm un resorte de masa despreciable y constante elástica 600 N/m. Al soltar la partícula recorre la superficie horizontal AB y sube por un plano áspero (F 0 6 Dk = 0,1) inclinado 37º, hasta detenerse en el punto C. Calcular:
a) La energía mecánica acumulada en el resorte comprimido.
b) El trabajo realizado por la fuerza de roce en el plano inclinado.
c) La altura del punto C.
C
hC
37º
A B y = 0
Sol.: a) E = 192 J b) Wfr = -22,59 J c) HC = 2,8 m
