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- Un bloque de 3.94 Kg. estira a un resorte de 15.7 cm desde su posición no estirada. El bloque se
retira y en su lugar se cuelga un objeto de 0.520 kg. Hallar el periodo de su oscilación.
DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS
m1 =3.94kg W=2p /T =
m2 =0.520kg T=? T=2p x=15.7m OPERACIONES
Sí W=2p /T =
\ T=2p cuando F= -kx tenemos que k=F/x la F=ma \ k=ma/x k= (3.94)(9.8)/0. k= 246 N/m
T=2p
T=2p T=288 x 10-3s
Ejercicio 2.- Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación: x(t) = 6,12 cos (8,38 t +1,92) con x en metros y t en segundos. Halle: a) el desplazamiento, la velocidad, y la aceleración en el tiempo t = 1,90s y sus valores máximos, b) la frecuencia y el período del movimiento. c) Si la masa vale m = 0,350 kg, ¿Cuánto vale la energía cinética, y la energía mecánica?
O.3.- Dos resortes están unidos a un bloque de
masa m que puede deslizar libremente sobre una
superficie horizontal sin fricción, como se muestra
en la figura. Demuestre que la frecuencia de
oscilación del bloque vale:
1.4 Dos resortes están unidos entre sí, y a una masa m , como se muestra en la figura.
Las superficies carecen de rozamiento. Si los resortes tienen constantes k 1 y k 2 , demostrar
que la frecuencia de oscilación es
k k m
kk
1 2
1 2
La figura superior muestra el sistema en equilibrio, cuando los dos resortes tienen su longitud
natural. La figura inferior muestra el sistema en un instante en que el resorte 1 tiene un
alargamiento x 1 y el resorte 2 tiene un alargamiento x – x 1 :
- 1 - resorte 1 tiene alargamiento x 1
- 2 - resorte 2 tiene alargamiento x – x 1
Las figuras muestran el punto de empate E , el cual se supone que tiene masa cero. La ley de
Newton F ma
dice que sobre un punto de masa cero – la fuerza total es cero; vemos pues
que la fuerza total sobre E es cero, y esto con -1-2-dice: k 1 x 1 k 2 ( x x 2 ), con F 1 k 1 x 1
y F 2 k 2 ( x x 1 )(ver figura). Donde:
1 2
2 1
k k
k x
x
De otro lado, sobre m se ejerce la fuerza del resorte 2, y entonces - 2 – dice que:
Fuerza sobre m es F 2 = – k 2 ( x – x 1 )
ma = – k 2 ( x – x 1 ) usar - 3 -
x
k k
kk
1 2
1 2
, pero
2
2
dt
d x
a
1 2
1 2 2
2
x
k k
kk
dt m
d x
Esta es la fórmula que identifica al movimiento armónico simple; reconocemos la frecuencia
angular :
1 2
k k
kk
m
, entonces
1 2
mk k
kk
Cuando hay un solo resorte de constante k se tiene
m
k
2
, y al comparar esto con - 4 -
vemos que el sistema de dos resortes k 1 y k 2 conectados en serie es equivalente a un solo
resorte con una k dada por
1 2
1 2
k k
kk
k
^ ,^ que también se escribe así:
1 2
k k k
Capítulo 15. Problema 37
Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo
largo de una superficie horizontal, como en la figura 32. La constante de fuerza k del resorte es de 2.
N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte está estirado 23.9 cm. Halle (a)
la energía cinética de traslación y (b) la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de
equilibrio. (c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un movimiento
armónico simple con un periodo
Ejercicio 9.- Un péndulo consta de un disco uniforme de 10,3 cm de radio y una
masa de 488 g unido a una barra de 52,4 cm de longitud que tiene una masa de
272 g, según figura.
a) Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote.
b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo?
c) Calcule el período de oscilación para ángulos pequeños.
.- Se forma un pendulo pivoteando una varilla larga y delgada, de longitud l y de masa m,
alrededor de un punto sobre dicha varilla, que esta a una distancia lc mas alla de su centro. a)
econtrar el periodo de pequeña amplitud de este pendulo en terminos de l, d, m y g. b)
Demostrar que el periodo tiene tiene un valor minimo cuando
√
a)
√ √^ √
b)
√
Un péndulo simple de longitud L está sujeto a un carro que desliza
sin rozamiento hacia abajo por un plano inclinado que forma un
ángulo con la horizontal. Determinar el periodo de oscilación del
péndulo sobre el carro deslizante.
Si el péndulo no estuviera sobre un plano inclinado, el periodo del
mismo sería:
Ejercicio 15.- (Examen Agosto 2008)- La figura muestra un disco uniforme de radio R = 0,800 m y masa M = 6, kg , con un pequeño agujero a una distancia d del centro que puede servir de centro de pivote. Para un d particular, el período del péndulo físico es mínimo. ¿Cuánto debe valer la distancia d , para que el período valga T = 2,40 s?
Periodo de un péndulo físico:
Mgd
Md
MR
Mgd
I
T
2
2
gd
R d
T
2 2
2 2 2
2
gd R d
T
2
2
2 2
gT R
d
2 2
2
2
2
2
gT gT R
d
2 2
2
2
2
2
gT gT R
d
= 0,278m
Ejercicio 13.-(S.4a. 15.55) Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte de
constante elástica k conectado a él a una distancia h debajo de su punto de suspensión.
Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para valores pequeños de la amplitud .
Suponga que la suspensión vertical de longitud L es rígida, pero de masa despreciable.
Solución
2da. Cardinal aplicada al punto de suspensión O:
IO = O
IO MgL sen kxh cos
x = h sen
IO = ML
2
sen sencos
2 2 ML MgL kh
Con la aproximación de pequeñas oscilaciones: sen ≈ y cos ≈ 1
2 2
ML MgL kh = ( )
2 MgL kh
2
2
ML
MgL kh
2
Por tanto f =
2
2
ML
MgL kh
Ejercicio 14.- Una esfera sólida de masa m y radio R rueda sin deslizar
en un canal cilíndrico de radio 5 R , como se muestra en la figura.
a) Pruebe que la energía cinética de la esfera vale
2
dt
mR d K
.
b) Demuestre que para pequeños desplazamientos desde el punto de
equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera realiza un
movimiento armónico simple con un periodo
g
R
T
Sugerencia: Exprese la energía mecánica para una posición genérica teniendo en cuenta que para
pequeños desplazamientos angulares se verifica:
1 cos
2
, y luego como la misma es constante,
su derivada respecto al tiempo debe ser nula. Tenga en cuenta que:
dt
d
dt
d
2
y
2
(^22)
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
Solución
a) Como rueda sin deslizar, la energía cinética tiene una
componente de traslación y otra de rotación, con R
v
K =
2 2
2
mvCM ICM =
2
2 2
2
R
v mv I CM (^) CM CM =
2 2 2
CM
CM v R
I
m (^)
El centro de masa se mueve en una cfa. de radio igual a 4 R
Por lo tanto s = 4 R v CM = dt
d R dt
ds
El momento de inercia de la esfera vale 2 5
ICM mR
K =
2
2
2
dt
d R R
mR m
2 2 16 5
dt
d m m R
2 2 16 5
dt
d m R
2
dt
mR d
b) El sistema es conservativo por tanto: K + U = E = cte
Consideramos que en el punto más bajo la energía potencial es nula, por tanto la energía potencial para
un punto genérico a un ángulo vale: U( ) = mgh con h = 4 R (1-cos ), por otro lado la energía cinética
en ese punto genérico vale: K( )=
2
dt
mR d , por tanto E = 4 mgR (1-cos ) +
2
dt
mR d
Para pequeñas oscilaciones: 2
1 cos
E= 4 mgR
2
2
dt
mR d
cambiando la notación E=
2 2
5
mR + 2 mgR
2
Derivando respecto al tiempo 2 ^ 2 2 5
mR mgR = 0 R 4 g
R
g
2
= 0 con
R
g
28
Por tanto T =
g
R
T
