Regla de la cadena: Derivada de funciones compuestas, Diapositivas de Matemáticas

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MATEMATICA I

Regla de la cadena – Recta tangente y recta normal

El costo de producción de x unidades de pan de molde de la fabrica

BIMBO es dólares, y el nivel de la producción durante t horas en una línea

de producción particular es

unidades.

¿A qué razón está cambiando el costo con respecto al tiempo después de

cuatro horas?

CASO: COSTO DE PRODUCCIÓN

CASO: COSTO DE PRODUCCIÓN

TEMARIO

TEMARIO

1. Regla de la cadena.

2. Recta tangente y recta normal.

La regla de la cadena se aplica a la función compuesta de dos o más

funciones simples.

Sean dos funciones diferenciables:

…… (1)

…… (2)

Reemplazando (2) en (1), se obtiene la función compuesta:

…… (3)

Luego, la derivada de (3) es:

REGLA DE LA CADENA

DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

Derivar la siguiente función:

Para derivar está función usaremos:

TEOREMA

Dada la función donde u es una función derivable de x y n es un

número racional entonces

o su equivalente

Regla general de la derivada de una potencia

Regla general de la derivada de una potencia

Ejemplo 2: Calcula la derivada de la función

Solución:

Aplicando la fórmula:

Ejemplo 3: Encontrar la derivada de la función:

Solución:

Ejemplos de la Regla de la cadena

Ejemplos de la Regla de la cadena

En este caso se recomienda acomodar la función:

Ejemplos:

Ejemplos:

Solución:

x x

f x e

ln

( ) 

Derivación de una Función Exponencial y Logarítmica de

una Función Compuesta

Derivación de una Función Exponencial y Logarítmica de

una Función Compuesta

TEOREMA

Dada la función donde u es una función derivable de x , entonces

o su equivalente

Solución:

Ejemplo 3: Encontrar la derivada de la función:

 

x

x

y x





  

3

( 3 )'

' ln( 3 )

'

y  ln  3  x 

3

1

3

1

'











x x

y

Ejemplos:

Ejemplos:

Solución:

2

ln

x

x

f x 

 

x

f ( x ) ln e

Sea una función diferenciable, entonces:

Funciones trigonométricas y la regla de la cadena

Funciones trigonométricas y la regla de la cadena

Ejemplo 4: Encontrar la derivada de:

Solución:

Ejemplo 6: Encontrar la derivada de:

Solución:

Funciones trigonométricas inversas

Funciones trigonométricas inversas

1 ( )

'( )

. ( )

2

u x

u x

dx

dy

y arcsenu x



  

1 ( )

'( )

.cos ( )

2

u x

u x

dx

dy

y arc u x





  

1 ( )

'( )

. tan ( )

2

u x

u x

dx

dy

y arc u x



  

1 ( )

'( )

. cot ( )

2

u x

u x

dx

dy

y arc u x





  

( ) ( ) 1

'( )

.sec ( )

2



  

u x u x

u x

dx

dy

y arc u x

( ) ( ) 1

'( )

. csc ( )

2





  

u x u x

u x

dx

dy

y arc u x

Ejemplos

Ejemplos

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

( ) ln  2 3 

2

f x  x  x 

senx

senx

f x

3

2

x

x

f x

Sea f : R → R una función derivable en x = a , considerando la

interpretación geométrica de f´ ( a ) se dan las siguientes definiciones:

Recta tangente:

Recta Normal:

Recta tangente

Recta normal

a

f(a)

y= f(x)

Recta tangente y normal

Recta tangente y normal

y  f ( a ) f ´( a )( x  a )

1

( ) ( )

´( )

y f a x a

f a

  

Ejemplo 7: Dada la función:, Halla la ecuación de la recta tangente y

normal a la gráfica de f en el punto (2,3).

Solución:

Ejemplos de la Regla de la cadena

Ejemplos de la Regla de la cadena

Ecuación de la recta tangente:

Ecuación de la recta normal:

       











x

y

La pendiente de la recta tangente: