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¿Cuál de las siguientes cantidades son vectores?

a) Desplazamiento b)velocidad c) aceleración d) masa e) fuerza

La magnitudes física se clasifican en:

ESCALARES VECTORIALES

Temperatura: 37°C

Fuerza: 100 N

Distancia: 1 m Desplazamiento:

Rapidez: 5 m/s Velocidad:

Masa: 45 kg Aceleración :

La física es una de las ciencias en la cual es indispensable realizar

mediciones, para comprender de una manera mas adecuada el

fenómeno físico que se presenta. ¿Cuál es el desplazamiento total

recorrido?:

a)Del barco

b)Del hombre

Vector en el plano:

A (Ax,Ay)

Ax

Ay

Sea un sistema coordenado 𝑥𝑦 , se define los vectores unitarios (modulo igual a uno) en el

eje 𝑥:

𝑖 , eje 𝑦 :

Definimos el vector 𝑂𝐴 , así:

X

Y 𝑂𝐴^ =^ 𝐴

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝜃

𝑥

2

𝑦

2

El modulo se define

La dirección se define usando el ángulo que hace vector 𝑡𝑔 𝜃 =

𝑦

𝑥

𝑂

Vector en el espacio:

Sea un sistema coordenado 𝑥𝑦𝑧 , se define los vectores unitarios (modulo igual a uno) en

el eje 𝑥 :

𝑖 , eje 𝑦 :

𝑗 , eje z :

Definimos el vector 𝑂𝐴 , así:

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

= 𝑂𝑃 cos 𝛼 = 𝑃 𝑥

𝑦

= 𝑂𝑃 cos 𝛽 = 𝑃 𝑦

𝑧

= 𝑂𝑃 cos 𝛾 = 𝑃 𝑧

Su módulo:

𝑂𝑃 = 𝑂𝑃 = 𝑃 = 𝑃 𝑥

2

𝑦

2

𝑧

2

Su dirección se define por los ángulos con los ejes (COSENOS DIRECTORES) :

cos 𝛼 =

𝑥

cos 𝛽 =

𝑦

cos 𝛾 =

𝑧

𝑃 = 𝑃 cos 𝛼

෡ 𝑖 + 𝑃 cos 𝛽

෡ 𝑗 + 𝑃 cos 𝛾

෡ 𝑘

cos 𝛼

2

• cos 𝛽

2

+cos 𝛾

2

B

A

ADICIÓN DE VECTORES :

Dado dos vectores 𝐴 𝑦 𝐵 se define la suma de vectores:

𝐴 + 𝐵 = 𝐴 𝑥

• 𝐵 𝑥

෡ 𝑖 + 𝐴 𝑦

• 𝐵 𝑦

෡ 𝑗 + 𝐴 𝑧

• 𝐵 𝑧

෡ 𝑘

Gráficamente: Supongamos que queremos hallar 𝐴 + 𝐵.

A

B

PROPIEDADES:

1.- Dado 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 ( ley conmutativa)

2 .- Dado n(𝐴 + 𝐵 ) = n𝐵 + 𝑛𝐴

B

A

B

A

SUSTRACCIÓN DE VECTORES :

Dado dos vectores 𝐴 𝑦 𝐵 se define −𝐵 y sumamos a 𝐴 el vector opuesto de 𝐵

𝐴 + (−𝐵 ) = 𝐴 𝑥

− 𝐵 𝑥

෡ 𝑖 + 𝐴 𝑦

− 𝐵 𝑦

෡ 𝑗 + 𝐴 𝑧

− 𝐵 𝑧

෡ 𝑘

Gráficamente: Supongamos que queremos hallar 𝐴 − 𝐵.

A

• B

PROPIEDADES:

1.- Dado 𝐴 − 𝐵 = - (𝐵 − 𝐴 ) ( no cumple la ley conmutativa)

2.- Dado 𝐴 − (𝐵 − 𝐶 )= (𝐴 − 𝐵 ) +𝐶 ( no cumple la ley conmutativa)

3.- Dado n(𝐴 − 𝐵 ) = n𝐵 − 𝑛𝐴

Una partícula efectúa un desplazamiento de 6 𝑖 – 4 𝑗 + 3 𝑘

partiendo del punto A(3,5,7). Hallar las coordenadas de su nueva

posición:

EJEMPLO

Como se muestra en la figura la partícula se desplaza de A

hasta B y se pide la coordenada de éste último punto

B(x,y,z)

El vector desplazamiento es: ∆𝑟 = 6 𝑖 – 4 𝑗 + 3𝑘 …. (*)

Los vectores de posición de los puntos A y B son respectivamente:

1

2

= x 𝑖 – y 𝑗 + z𝑘

La diferencia de estos vectores es ∆𝑟 = 𝑟 2

1

es decir:

∆𝑟 = (x-3) 𝑖 + (y - 5) 𝑗 + (z - 7 )𝑘 ……..(**)

x = 9; y = 1; z = 10

Igualando los coeficientes de () y (*) y despejando obtenemos:

Una espeleóloga esta explorando una cueva y sigue un pasadizo 180 m al

oeste, luego 210 m 45° al este del sur, y después 280 m 30° al este del norte.

Tras un cuarto desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Con un

diagrama a escala determine la magnitud y la dirección del cuarto

desplazamiento.

E

O

N

S

180 m

210 m

45 °

280 m

30 °

D 𝜃

𝑥

= −180𝑚 + 210 cos 45° + 280𝑠𝑒𝑛 30°

𝑥

𝑦

= − 210 sen 45° + 280𝑐𝑜𝑠 30°

𝑦

𝐷 = 𝐷 𝑥

෡ 𝑖 + 𝐷 𝑦

෡ 𝑗

𝐷 𝑥

= −𝑅 𝑥

= − 108 ,5𝑚 𝐷 𝑦

= −𝑅 𝑦

= − 93 ,91𝑚

𝐷 = − 108 , 5

෡ 𝑖 − 93 , 91

෡ 𝑗

𝐷 = 108 , 5

2

• − 93 , 91

2

𝐷 = 143,5 m

tan 𝜃 =

93 , 91

108 , 5

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛

− 1

( 0 , 866 )

EJEMPLO

Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas (2.00, 4.00) m

(3.00, 3.00) m. Determine: (a) la distancia entre estos puntos y (b) sus

coordenadas polares.

A (2.00,4.00)

B(3.00,3.00)

𝐴𝐵 = [ 3. 00 , 3. 00 − 2. 00 , 4. 00 ]

𝐴𝐵 = [ 3. 00 − 2. 00 − 3. 00 − 4. 00 ]

2

+( 1 )

2

= 2 = 1 , 4142 𝑚

(b) sus coordenadas polares

𝑟

𝜃

tan 𝜃 =

− 1

(r,) = (1.4142, - 45 °)

Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.50 m, 30.0°) y (3.80 m, 120.0°).

Determine (a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y (b) la distancia entre

ellos.

Un carro de montana rusa se mueve 200 pies horizontalmente y luego se eleva 135 pies a un ángulo de

30.0° sobre la horizontal. A continuación, viaja 135 pies a un ángulo de 40.0° hacia abajo. ¿Cual es su

desplazamiento desde su punto de partida? Use técnicas graficas.

200 pies

30.0°

40.0°

Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada de la figura esté

dirigida a lo largo del eje positivo “ x” y que F 2 tenga una magnitud mínima. Determine esta

magnitud, el ángulo  y la fuerza resultante correspondiente.