Análisis Dimensional: Magnitudes, Unidades y Dimensiones en Física, Apuntes de Física

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IntroduccióIntroducci

ónn

1.^ Magnitudes y unidades 2.^ Dimensiones 3.^ Análisis dimensional. Ejemplos

1.- Magnitudes y unidades^ Física^ →

ciencia experimental

→^ observación

→^ medida : Asignar número resultado de comparar

con un patrón

“^ El conocimiento solo es satisfactorio cuandolo podemos expresar numéricamente”

Lord Kelvin

Magnitudes independientes no definibles mediante relaciones a

partir de las cuales se definen las demás

Magnitud Física: • Definición precisa.• Reglas de igualdad y suma.• Método o conjunto de reglas para calcularla.

Leyes Físicas: Relaciones entre magnitudes ( F = m·a, v = e/t, …)No todas las magnitudes son definibles medianterelaciones.

Magnitudes fundamentales: Mecánica^ • Longitud

≡^ (L)^

Idea intuitiva de la distancia.

• Tiempo

≡^ (T)

Antes y después, causa/efecto.

• Masa^

≡^ (M)^

Propiedad de la materia.

Electricidad^ Corriente eléctrica

≡^ Amperio

(A)

Termodinámica^ • Temperatura

≡^ Kelvin (K)

• Cantidad de sustancia

≡^ mol

Óptica^ Intensidad luminosa

≡^ candela (cd)

Magnitudes derivadas: • Magnitudes que se pueden definir a partir de las magnitudes fundamentales.• Las restantes: velocidad, fuerza, presión, etc.La Física no establece distinción entre fundamentales y derivadas, es una elección arbitraria.

2.- Dimensiones^ Dimensión de una magnitud física:

¿Qué es esa magnitud?

Magnitudes fundamentales

→^ Dimensiones fundamentales

[m] = M^

[t] = T^

[ℓ] = L

(Notación: [A]

≡^ dimensión de la magnitud A)

A^ ±^ B = C

⇒^ [A] = [B] = [C]

Homogeneidad dimensional

para la suma y la igualdad:

Factores adimensionales

: [π]=1, [½]=1, ...

Magnitudes derivadas

→^ Análisis dimensional

a partir de su definición física:

Magnitud (símbolo)

Dimensiones

Unidades S.I.

Área (A)^

2 L

(^2) m

Volumen (V)

3 L

(^3) m

Densidad (

ρ)^

-3^ ML

-3kg m

Velocidad (v)

-1^ LT

-1m s

Aceleración (a)

-2^ LT

-2m s

Fuerza (F)

-2^ MLT

-2^ kg m s ≡ N (newton)

Trabajo (W)

2 -2^ ML T

2 -2^ kg ms^ ≡^ J (joule)

Energía (E)

2 -2^ ML T

2 -2^ kg ms^ ≡^ J (joule)

Potencia (P)

2 -3^ ML T

2 -3kg ms^ ≡^ J/s^ ≡^ W (watt)

Presión (p)

-1-2^ ML T

-1^ -2kg ms^ 2 ≡^ N/m≡

Pa (pascal)

Mag. adimensionales

→^ ángulo plano: cociente entre el arco subtendido y el radio

α=ℓ/r^ ⇒

[α]=L/L=

Las funciones trascendentes y sus argumentos son adimensionales

[sen(u)] = [cos(u)] = …. = [e

(u)^ ] = [ln(u)] = 1

[u]=^

3.- Análisis dimensional. Ejemplos^ Fórmulas físicas: Magnitud A en función de otras B, C, D, …:

A = f(B, C, D, …).

Normalmente:

A = k B

x^ y^ z C^ D^ ....

k = constante adimensional.x, y, z, ...: exponentes desconocidos

x, y, z, … se pueden determinar imponiendo igualdad dimensional:

[A] = [B]

x^ y^ [C][D]

z.....

Ejemplo 1.-

Periodo de oscilación del péndulo simple.

Una masa m cuelga de un hilo de

longitud

ℓ^ realizando oscilaciones. El periodo T es el tiempo transcurrido durante una

oscilación completa. Suponemos que T depende de m,

ℓ^ y de la aceleración de la gravedad,

g, y queremos encontrar la función que los relaciona, T=f(m,

ℓ, g).

Ejemplo 2.

Fuerza de resistencia en un fluido.

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un

fluido experimenta una fuerza de resistencia, F

, que depende del área frontal efectiva delR

cuerpo, A, la densidad del fluido,

ρ, y la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido, v. Hallar

una expresión para F

.R^