Fluidos lineas de flujo, Diapositivas de Mecánica de Fluidos

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L´ıneas de Flujo

Rigoberto Casas

Departmento de F´ısica Universidad Nacional de Colombia

April 27, 2020

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L´ıneas de Flujo

Lineas de Flujo

En la descripci´on de Euler ⇒ 3 tipos de curvas usadas com´unmente.

• Streamlines: L´ıneas de corriente.
• Pathlines: Camino o trayectorias.
• Streaklines: L´ıneas de rayos o de trazos.

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Fluidos - L´ıneas de Flujo L´ıneas de Flujo

¼ 0 because ds and u are locally parallel. Integrating (3.7)

eam directions from a variety of reference locations ed throughout the flow field. If these reference

x y z u u v w dx dz dy d s streamline he arc-length element of a streamline, ds, is locally tangent to the fluid ponents of the velocity must follow (3.7). En coordenadas cartesianas, si d~s = (dx, dy , dz) es un elemento de arco a lo largo de una l´ınea de corriente y ~u = (u, v , w ) es el vector de velocidad local del fluido, la condici´on de tangencialidad entre d~s y u ~ implica: dx u

dy v

dz w (Tarea: mostrarlo) 4 17

L´ıneas de Flujo

Las l´ıneas de corriente se pueden determinar en todo el campo de flujo integrando estas ecuaciones (corriente arriba y corriente abajo), desde una serie de ubicaciones de referencia. Si dichas ubicaciones se encuentran sobre una curva cerrada C , la superficie de corriente resultante se denomina un tubo de corriente (stream tube).

No pasa fluido por la superficie del tubo de corriente ya que la velocidad del fluido es tangente, en todas partes, a la superficie del tubo.

L´ıneas de Flujo

L´ınea de camino (Path line):

Trayectoria de una part´ıcula del fluido de identidad fija. ~r : Lagrangiana; ~x: Euleriana.

Definida: Sean las relaciones de igualdad entre propiedades del flujo del fluido en las dos descripciones cuando ~r y ~x definen el mismo punto del espacio.

F [~r (t, ~r 0 ), t] = F (~x, t)

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L´ıneas de Flujo

d dt F [~r (t, ~r 0 ), t] =

∂F

∂r 1

dr 1 dt

∂F

∂r 2

dr 2 dt

∂F

∂r 3

dr 3 dt

∂F

∂t

d dt F (~x, t)

cuando ~x = ~r (t, ~r 0 ) y r~ 0 = ~r (t 0 ) l´ınea de camino: ~x = ~r (t, ~r 0 )

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L´ıneas de Flujo

L´ınea de trazo (streak line)

L´ınea que se obtiene al conectar todas las part´ıculas de fluido que pasar´an o han pasado por un punto fijo en el espacio.

• La l´ınea de trazo a trav´es del punto ~x 0 en el tiempo t se determina integrando

d~r dt

= [ U~(~x, t)]~x=~r = ~u( r~ , t)

para los tiempos de referencia relevantes (t 0 ) sometidos a la condici´on ~r (t 0 ) = x~ 0

X^ ~ = ~r (t, X~ 0 ) ← path line para cada valor de t 0

Visualizaci´on: Tinta o humo liberado en un cierto punto del espacio. 10 17

L´ıneas de Flujo

Part´ıcula roja se mueve dentro de un fluido que fluye. Pathline: rojo; Streakline: azul - tinta liberada en el origen. La tinta se contin´ua moviendo con el fluido. L´ıneas cortadas representan contornos del campo de velocidad, muestran el movimiento de todo el campo en el mismo tiempo. Fuente: wikipedia 17

L´ıneas de Flujo

Streamline: Usamos la igualdad: dx u

dy v

dy dx

v u

ωA 0 Sen(wt′) ωA 0 Cos(ωt′)

= tan(ωt′)

Integrando una vez: ∫ dy =

tan(ωt′)dx ⇒ Y = xtan(ωt′)

C es 0 debido a que x = y = 0 en t = t′ ⇒ Ecuaci´on de l´ınea de corriente: Y = Xtan(ωt′)

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L´ıneas de Flujo

Path line: ~r = [(x(t), y (t))] y usamos ddt~r = [u(~r , t)]~x=~r = U~(~r , t)

dx dt

= u = ωA 0 Cos(ωt); dy dt

= v = ωA 0 Sen(ωt)

Integrando cada ecuaci´on una vez:

X = A 0 Sen(ωt) + X 0 y Y = −A 0 Cos(ωt) + Y 0

Condici´on de la l´ınea: X = Y = 0 en t = t′^ ⇒

X 0 = −A 0 Sen(ωt′) y Y 0 = A 0 Cos(ωt′)

L´ıneas de Flujo

Streak line: Para determinar el streak line que pasa por el origen de t = t′, se debe encontrar la ubicaci´on de la part´ıcula de fluido que pas´o por x = y = 0 en t = t 0 Usando x y y anteriores, pero evaluando en t = t 0 en lugar de t = t′^ se tiene diferentes constantes: ⇒

X = A 0 [Senωt − Senωt 0 ] y Y = A 0 [−Cosωt + Cosωt 0 ]

Combinamos las ecuaciones para eliminar t 0 (similar al caso anterior) y evaluamos en t = t′

⇒ (x − A 0 Senωt′)^2 + (y + A 0 Cosωt′)^2 = A^20

Ecuaci´on de un c´ırculo de radio A 0 centrado en [A 0 Senωt′, −A 0 Cosωt′]

L´ıneas de Flujo om this example it should be clear that streamlines, path lines, and streak lines dif steady flow field. This situation is also illustrated in Figure 3.2, which shows stre ω t´ ξ (^) o ξ (^) o Streamline Path Line Streak Line x y RE 3.7 Streamline, path line, and streak line for Example 3.1. All three are distinct because the flow ady.

3. KINEMATICS

Stream lines, path lines y streak lines son diferentes en flujos no estacionarios. 17 17