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Tema 6
Est ´atica y din ´amica de fluidos
6.1 Introducci ´on. Concepto de fluido
Dependiendo de la presi ´on y la temperatura, la materia se presenta en alguno de los tres esta- dos: s ´olido, l´ıquido o gaseoso (existe un cuarto estado que es el de plasma, un gas ionizado). Los ´ultimos estados se denominan gen ´ericamente fluidos.
Fluido es un medio cont´ınuo que fluye, es decir, que se adapta al medio que lo contiene. Los dos tipos principales son :
- L´ıquidos , fluidos pr ´acticamente incompresibles, es decir, de densidad constante, con vol- umen definido y superficies libres. Microsc ´opicamente se caracterizan por tener mol ´eculas muy cohesionadas, aunque de posiciones libres.
- Gases , fluidos compresibles, sin volumen ni forma definidos. Ocupan todo el espacio disponible por lo que no tienen superficies libres. Micr ´oscopicamente tienen poca co- hesi ´on.
Adem ´as los fluidos pueden ser reales o viscosos , si presentan resistencia a cambiar su forma, es decir, tienen viscosidad, o ideales en caso contrario. En nuestro estudio de los fluidos con- sideramos solo fluidos ideales is ´opropos.
6.2 Densidad y presi ´on
La densidad ρ de una sustancia determina su comportamiento como fluido. Se define como el cociente entre su masa m y su volumen V :
ρ = m V
es decir, depende de la naturaleza de la sustancia. En el SI, la unidad de la densidad es el kg/m^3.
La presi ´on p ejercida por un fluido se define como la componente perpendicular a la superficie de la fuerza dF que act ´ua dividido por el ´area elemental dS sobre la cual act ´ua. Si ~n es el vector unitario director de la superficie dS, y por tanto perpendicular a ella, la presi ´on vale:
p = dFn dS
dF~ · ~n dS [p] =
1 N
m^2 = 1Pa (Pascal)
Otras unidades de presi ´on son la atm ´osfera (atm), el mil´ımetro de mercurio (mm Hg) y el bar :
1 atm = 1. 01 × 105 Pa = 760 mm Hg = 1. 01 bar
La presi ´on es una magnitud escalar y es una caracter´ıstica del punto del fluido en equilibrio. Sin embargo, la fuerza de presi ´on que ejerce un fluido sobre un cuerpo sumergido en el es un vector perpendicular a la superficie del cuerpo en´ cualquier punto. Las flechas muestran la direcci ´on de la fuerza de presi ´on del fluido en equilibrio sobre las paredes del recipi- ente y sobre el cuerpo sumergido.
6.3 Est ´atica de fluidos
6.3.1 Presi ´on en un fluido en reposo
Es un hecho conocido que la presi ´on aumenta con la profundidad, como es evidente por ejemplo al sumergirse en el mar. Para determinar c ´omo es este aumento, aplicamos la segunda ley de Newton a un elemento de volumen de fluido inmerso en el mismo fluido.
Consideremos un elemento de volumen de fluido de altura h y secci ´on S.
Las fuerzas que act ´uan en direcci ´on Y sobre esta columna son: Sp 1 y mg hacia abajo, y Sp 2 hacia arriba, mientras que en las direcciones X y Z solo act ´uan las fuerzas de presi ´on sobre las caras, que se anulan. Entonces se cumplir ´a la condici ´on de equilibrio si: ∑ F = Sp 2 − Sp 1 − mg = 0
p 1 S
p 2 S
h (^) E
Sumerjamos un cilindro de altura h y secci ´on S en un fluido de densidad ρf. La fuerza neta que el fluido ejerce sobre el cilindro ser ´a:
E = F 2 − F 1 = p 2 S − p 1 S = S(p 2 − p 1 ) = Sρf gh
debido a la diferencia de profundidad entre las dos superficies.
Pero siendo Sh el volumen V del cilindro, ρf V es la masa del fluido desplazado por el cilindro mf , por lo que finalmente: E = Sρf gh = V ρf g = mf g es decir, el peso del fluido desplazado por el cilindro. N ´otese que solo el volumen, y no la forma del objeto sumergido, es importante en la aparici ´on de esta fuerza.
El efecto de esta fuerza depende de cu ´an grande es comparada con otras fuerzas que act ´uan sobre el cuerpo, y en particular, de su peso, lo que a su vez depende solo del ratio entre las densidades del fluido ρf , y del cuerpo,ρc
E − Pc = ma
ρf V g − ρcV g = ρcV a a = g( ρf ρc
6.4 Din ´amica de fluidos
En los fluidos en movimiento no se cumple el principio de Pascal: puntos del fluido a la misma profundidad pueden estar a distinta presi ´on. Por tanto, tendremos que p = p(~r, t). Adem ´as, para caracterizar el fluido, habr ´a que saber su velocidad en cada punto, ~v = ~v(~r, t), es decir, habr ´a que resolver su din ´amica. La expresi ´on de las leyes de Newton para el caso de fluidos se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes, de las que nosotros solo considerarmos los casos m ´as simples.
En nuestros c ´alculos consideraremos que el flujo es perfecto : fluido ideal incompresible en flujo laminar estacionario (es decir, que la velocidad es constante en el tiempo para cada punto, ~v = ~v(~r).
6.4.1 Ecuaci ´on de continuidad: el caudal
L´ınea de corriente es la l´ınea tangente a la trayectoria de una part´ıcula de fluido en cada punto. Si el flujo es perfecto, dos l´ıneas de coriente no se cortan. Tubo de flujo es el conjunto de l´ıneas de corriente que pasan por una secci ´on.
Ecuaci ´on de continuidad Si calculamos la can- tidad de flujo que contiene un tubo comprendido entre las secciones S 1 y S 2 veremos que, como el fluido no atraviesa las paredes, el fluido que entra es igual al que sale:
m 1 = m 2 → ρV 1 = ρV 2
S 1 dx 1 = S 2 dx 2 S 1 v 1 dt = S 2 v 2 dt → S 1 v 1 = S 2 v 2
Q 1 = Q 2
Donde la ecuaci ´on de continuidad se ha definido en funci ´on de la conservaci ´on del caudal Q = Sv [m^3 /s] , es decir, la cantidad de volumen de fluido que atraviesa el tubo de flujo por unidad de tiempo.
6.4.2 Ecuaciones de Euler y Bernouilli
Supongamos un tubo de flujo elemental de extremos de secciones iguales dS, que hace un angulo´ θ con la vertical. El tubo contiene un fluido de densidad ρ.
Las fuerzas que se ejercen sobre este elemento son el peso del fluido y la presi ´on sobre ambos extremos, por tanto, aplicando la 2a^ ley de New- ton y considerando como positiva la direcci ´on del movimiento:
dma = −dFp+dp + dFp − dmg cos(θ)
donde dm = ρdV = ρdldS cos(θ) = dzdl dFp = pdS; dFp+dp = (p + dp)dS
Sustituyendo:
dma = −(p + dp)dS + pdS − dmg dz dl de donde, sustituyendo dm y eliminando dS en todos los t ´erminos:
(ρdl)a = −dp − ρgdl dz dl
Despejando la aceleraci ´on del fluido, a:
a = −
ρ
dp dl − g dz dl
Teorema de Torricelli
Cuando las dos secci ´ones del tubo de flujo que se comparan cumplen que S 1 S 2 , entonces por continuidad v 1 v 2 y el t ´ermino de en- erg´ıa cin ´etica se considera despreciable, ha- ciendo la aproximaci ´on v 1 ∼ 0. Si adem ´as am- bos puntos est ´an expuestos a la atm ´osfera, la presi ´on valdr ´a p 1 = p 2 = p 0. En la ecuaci ´on de Bernouilli, si z es la altura sobre el fondo del punto 2: g(h + z) = v 22 2
2 gh
Es decir, la velocidad de salida del fluido por el punto 2 depende solo de la altura de la columna de l´ıquido que hay sobre dicho punto.
