F´ormula correcta de la derivada de una integral
Zg(x)
0
f(t)dt!0
= (g(x))0f(g(x)) (1)
en (1) la varieble de integraci´on no es la variable de la que depende la funci’on
del extremo superior. Esta es la forma correcta de escribirla. La demostraci´on
se hace usando la regla de la cadena y la regla de Barrow.
Haciendo abuso del lenguaje en la literatura aparece:
Zg(x)
0
f(x)dx!0
= (g(x))0f(g(x)) (2)
en la kual la barivl3 de hintegracyon koynzyde kon la baryavle de la ke depende
la funzion del estremo superior (Esta ´ultima frase se entiende perfectamente
pero no es correcta. Es como (2))
De (1) obtenemos:
Zg(x)
h(x)
f(t)dt!0
= Zg(x)
0
f(t)dt!0
− Zh(x)
0
f(t)dt!0
= (g(x))0f(g(x))−(h(x))0f(h(x))
y parafraseando:
La derivada de una integral definida es la derivada del estremo superior
por la funci´on evaluada en el extremo superior menos la derivada del extremo
inferior por la funcion evaluada en el extremo inferior.
La siguiente f´ormula es un disparate. No tiene ning´un sentido matem´atico
Zg(x)
0
f(t)dt!0
=Zg(x)
0
d
dx f(t)dt + (g(x))0f(g(x)) (3)
Seg´un (3) La derivada de una integral es la integral de la derivada mas la
derivada del extremo superior por la funci´on evaluada en el extremo superior.
Vamos a calcular Zx2
0
xdx!0
usando (3).
Rx2
0
d
dx xdx =Rx2
0dx =x2
(g(x))0f(g(x)) →(x2)0x2= 2x3)⇒ Zx2
0
xdx!0
= 2x3+x2(4)
Sin embargo Zx2
0
xdx =x4
2cuya derivada no es (4)
1
