¡Descarga Formulas de Estadística: Descriptiva, Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones y más Ejercicios en PDF de Biología solo en Docsity!
F´ormules d’Estad´ıstica
- Estad´ıstica descriptiva
X =
1
N
k
i=
xini =
k
i=
xifi; M d = Li +
li(
N
2
−Ni− 1 )
ni
S
2
1
N
k
i=
(x i
X)
2 n i
= X
2 −
X
2 ; s
2
1
N − 1
k
i=
(x i
X)
2 n i
N
N − 1
S
2 ; CV = S/|
X|
Cov(X, Y ) =
1
N
(x i
X)(y j
Y )n ij
= XY −
X ·
Y
Regressi´o lineal: y = a + bx, a =
Y − b
X, b = Cov(X, Y )/S
2
X
, r = Cov(X, Y )/S X
S
Y
- Probabilitat
n
k
n!
k!(n−k)!
n(n−1)···(n−k+1)
k!
; P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
; P (A|B) = P (B|A)
P (A)
P (B)
F´ormula de les probabilitats totals: P (A) =
i
P (A|Ai)P (Ai) (Ai disjunts)
F´ormula de Bayes: P (A i
|A) =
P (A|A
i
)P (A
i
j
P (A|A
j
)P (A
j
(A
i
disjunts)
- Variables aleat`ories
Variables cont´ınues: F (x) = P (X ≤ x) =
x
−∞
f (t)dt (f = funci´o de densitat de probabilitat).
μ X
= E(X) =
i
x i
P (X = x i
) X discr.
∞
−∞
xf (x)dx X cont´ınua
σ
2
X
= Var(X) = E((X −μ X
2 ) = E(X
2 )−E(X)
2
- Algunes distribucions importants
a) Bernoulli: μX = p; σ
2
X
= pq; P (X = 1) = p.
b) Binomial B(n, p): P (X = i) =
n
i
p
i q
n−i ; μ X
= np ; σ
2
X
= npq.
c) Poisson Pois(λ): P (X = i) = e
−λ
λ
i
i!
; μ X
= σ
2
X
= λ. B ≈ Pois si n ≥ 20 i p ≤ 0 .05.
d) Uniforme: f (x) =
1 /(b − a) x ∈ [a, b]
0 x /∈ [a, b]
; μ X
= (a + b)/2; σ
2
X
= (b − a)
2 /12.
e) Exponencial: f (x) =
0 x < 0
λe
−λx x ≥ 0
; μ X
= 1/λ; σ
2
X
= 1/λ
2
; P (X ≤ x) = 1 − e
−λx
.
f) Normal: N (μ, σ
2 ).
Z ∼ N (0, 1) ⇒ σZ + μ ∼ N (μ, σ
2
); μZ = 0; σ
2
Z
B(n, p) ≈ N (np, npq) si npq ≥ 18 (np ≥ 5, nq ≥ 5 amb correcci´o de Yates)
- Estimaci´o de par`ametres
X ∼ N (μ, σ
2
) ⇒ X ∼ N (μ,
σ
2
n
(n − 1)S
2
σ
2
∼ χ
2
n− 1
X − μ
S/
n
∼ t n− 1
a) Interval per a la mitjana (σ coneguda): =
σ √
n
Z
1 −α/ 2
b) Interval per a la mitjana (σ desconeguda): =
S √
n
t
(n−1)
1 −α/ 2
c) Interval per a la vari`ancia:
[
(n − 1)S
2
/χ
2 ,n− 1
1 −α/ 2
, (n − 1)S
2
/χ
2 ,n− 1
α/ 2
]
d) Interval per a la proporci´o (mostres grans):
= Z
1 −α/ 2
pˆ(1−pˆ)
n
(estimaci´o); = Z 1 −α/ 2
1
4 n
(m`axima incertesa).
- Tests d’hip`otesi
a) Test per a la mitjana
σ coneguda:
X − μ 0
σ/
n
∼ N (0, 1), σ desconeguda:
X − μ 0
S/
n
∼ tn− 1.
c) Test per a una proporci´o (mostres grans):
pˆ − p 0
√
p 0 (1−p 0 )
n
∼ N (0, 1).
d) Test per a la vari`ancia:
(n − 1)S
2
σ
2
0
∼ χ
2
n− 1
e) Comparaci´o de mitjanes de dues normals (vari`ancies conegudes):
X
1
− X
2
√
σ
2
1
n 1
σ
2
2
n 2
∼ N (0, 1).
f) Comparaci´o de mitjanes de dues normals (vari`ancies desconegudes iguals):
X
1
− X
2
S
1
n 1
1
n 2
∼ t n 1 +n 2 − 2
. S
2
n 1 − 1
n 1
+n 2
− 2
S
2
1
n 2 − 1
n 1
+n 2
− 2
S
2
2
g) Comparaci´o de mitjanes de dues normals (vari`ancies desconegudes, mostres grans):
X
1
− X
2
√
S
2
1
n 1
S
2
2
n 2
∼ N (0, 1)
h) Comparaci´o de dues proporcions (mostres grans):
pˆ 1
− pˆ 2
√
p¯(1−¯p)
n 1
p¯(1−p¯)
n 2
∼ N (0, 1); ¯p =
n 1 pˆ 1 +n 2 pˆ 2
n 1 +n 2
i) Comparaci´o de vari`ancies: S
2
X
/S
2
Y
∼ F (nX − 1 , nY − 1). F (n, m)α = 1/F (m, n) 1 −α
j) Test d’independ`encia de la χ
2 :
i,j
(f ij
f ij
2
fij
∼ χ
2
(r−1)(s−1)
f ij
= f i•
× f
/n
- Analisi de la variancia
S
2
F
= n
i
(x i•
− x ••
2 , S
2
E
ij
(x ij
− x i•
2 .
S
2
F
/(a − 1)
S
2
E
/(N − a)
∼ F (a − 1 , N − a).
