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D) DIVISIÓN
• (+18) ÷ (+2) = +
• (+12) ÷ (-4) = -
• (-15) ÷ (-3) = +
• (-14) ÷ (+7) = -
E) POTENCIA
(-5)^4 = 625
F) RAÍCES
par^ ____
√ (+) = + y/o - (dos raíces)
par____
√ (-) = número imaginario
impar____
impar____
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PRINCIPALES CONCEPTOS
TERMINO ALGEBRAICO
Es la mínima expresion algebraica cuyas partes no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos. Las partes de un término algebraico son:
coeficiente exponente
-7x
4
signo parte literal
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por los signos de operación: más, menos, por, entre, exponente, radiación.
Ejemplo:
i ) 4x 2 + 5y^2 + 7z 2
ii ) 4x
3x^5 + √1 + x
iii ) ––––––––––––– 2xy + y^5
Las funciones exponenciales, logarítmicas y tri- gonométricas no son expresiones algebraicas, son funciones trascendentes.
Ejemplos:
i ) 5x
ii ) logbx
iii ) sen x
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
A) RACIONALES.-
Sus exponentes son enteros, la cantidad sub-radi- cal no tiene letras.
Ejemplos:
i ) 4ax 2 + 5y^3 + 7z 4 + 3x -5^ z
3 5z ii ) –– x^3 + ––– 4 6
iii ) 2y + √3 x +
5
√7 x^5 y
B) IRRACIONALES.-
Tiene exponentes fraccionarios, la cantidad sub- radical incluye letras.
Ejemplos:
i ) 5x 1/2^ + 7y1/3^ + 8z 1/5^ + 9y-1/
ii ) 4x^12 + 5y + 2√3xy
2 3y 7 iii ) –––– + ––––– + ––––__ __ __–
√x
3
√z
5
√y
A su vez, las expresiones algebraicas irracionales pueden ser enteras o fraccionarias.
- Racional entera. - Denominadores sin letras, exponentes positivos.
Ejemplos:
i ) 2x^2 + 3z 2 y^3 + 6w^4
9y^2 ii ) 3x^4 + ––– + –– z^2 8 3
- Racional fraccionaria.- Denominadores con le- tras, exponentes negativos.
Ejemplos:
7x 2 i ) 4x -3^ + 7y-9^ + –––– - ––– 4yz^2 3y
Obsérvese que:
x-3^ = ––^1 x^3
y-9^ = ––^1 y^9
4x^2 + 2y + z ii ) –––––––––––– 5x^4 + 2x + z
TEORÍA DE EXPONENTES
La teoría de exponentes estudia todas las clases de exponentes que existen y las relaciones entre ellos.
OPERACIÓN DE EXPONENTES
am^. an^ = a m+n
am^. bm^ = (a. b)m
(am)n^ = a mn
am
––– = am-n an
a^0 = 1, a ≠ 0
a-n^ = ––– an
a^ -n^ b^ n (
)
(
b a)
- ––– =am^ a^ m (
bm^ b)
m
√ a.
m
√ b =
m
√ a. b
__ (^) _n
m
√an^ = a m
m__^ ___
11) ––^ √^ a–– =^ m^ ––a
m__ √ b (^) √ b
__ (^) n __
- (
m √ a ) =
m
√ an
______ __
m √
n
√ a =
mn
√ a
LEY DE LOS SIGNOS
1) MULTIPLICACIÓN
2) DIVISIÓN
3) POTENCIA
(+)2n^ = (+)
(+) 2n+1^ = (+)
(–)2n^ = (+)
(–)2n+1^ = (–)
GRADO REALTIVO DE UN POLINOMIO(G.R.P.)
Está dado por el mayor exponente de la letra referi- da en el problema. Así en el polinomio del ejemplo anterior:
G.R.P. respecto a x = 6
G.R.P. respecto a y = 8
G.R.P. respecto a w = 4
POLINOMIOS
NOTACIÓN POLINÓMICA
Es la representación de un polinomio, mediante sus variables y sus constantes.
VARIABLE.- Es toda magnitud que cambia de valor.
CONSTANTE.- Es toda magnitud que tiene valor fijo.
NOTACIÓN POLINÓMICA.-
La notación polinómica es la siguiente:
P(x) se lee: “polinomio en x”
P(x, y) se lee: “polinomio en x, y”
P(x, y, z) se lee: “polinomio en x, y, z”
Ejemplos:
i ) P(x,y) = 4x 2 + 5y^3 + 2x 2 y + 7
ii ) P(x) = 5x^8 + 3x 5 - 6x 3 - 8
iii ) P(x, y, z) = 8x 2 y - 9xz + 2yz + 9z + 10y - 9
POLINOMIOS ESPECIALES
Se trata de polinomios importantes con característi- cas útiles:
A) POLINOMIOS ORDENADOS
Son aquellos que son ordenados de manera cre- ciente o decreciente con respecto al grado de una letra.
Ejemplo:
P(x,y) = 4x 3 y^12 + 5x 7 y^8 + 4x 12 y^2
P(x, y) está ordenado de forma creciente con respecto a x, ordenado de forma decreciente con respecto a y.
B) POLINOMIO COMPLETO
Con respecto a una letra, es aquel que se caracte- riza porque los exponentes de la letra considera- da existen desde el mayor hasta el cero inclusive.
A este último término se le denomina “término independiente”.
Ejemplos:
i ) P(x, y) = 5x 5 + 6x 4 y + 7x^3 y^2 + 3x 2 - 7x + 6y^3
P(x,y) es completo con respecto a “x”. El “térmi- no independiente” es 6y 3.
ii ) P(x) = 4x 3 - 8x 2 + 12x - 9
es completado con respecto a x. El término inde- pendiente es -9.
PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETO
- Si el polinomio es de grado “n” el número de tér- minos es igual a “n + 1”.
- El grado del polinomio completo es igual al número de términos menos 1.
G P = # T P - 1
- La diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad.
G R (^) (tx+1) - GR (^) (tx) = 1
- El “término independiente” contiene a la varia- ble con exponente cero.
Ejemplo: -9x^0 = -
C) POLINOMIO HOMOGENEO
Todos sus términos tienen igual grado absoluto.
P(x, y) = 4x7y12 + 8x3y16 + 6x2y
G.A.P. = 19
D) POLINOMIOS IDENTICOS
Son aquellos caracterizados porque los términos semejantes tienen coeficientes iguales.
Ejemplo: 4x^5 + 7y ≡ 4x 5 + 7y
TÉRMINO SEMEJANTE
Es aquel que tiene igual parte literal afectada de los mismos exponentes, sin interesar los coeficientes.
Ejemplo:
Son términos semejantes:
4x 5 y^2 ; -12x 5 y^2 ; –– x^15 y^2 4
E) POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO
Son aquellos cuyos coeficientes son iguales a cero.
Ejemplo:
P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
donde: a = b = c = d = 0
F) POLINOMIO ENTERO EN “x”
Sus exponentes son enteros y su única variable es “x”.
De primer grado:
P(x) = ax + b
De segundo grado:
P(x) = ax 2 + bx + c
De tercer grado:
P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
OPERACIONES CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
A) SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Para sumar o restar expresiones algebraicas, se suma, o se resta los coeficientes de los términos semejantes.
Ejemplo:
-8bx 2 y^5 + 12bx^2 y^5 + bx 2 y^5 = 5bx 2 y^5
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN
- Cuando el signo de colección está precedido del signo “más”, se elimina este signo sin producir ningún cambio.
a + (b - c) = a + b - c
- Cuando está precedido del signo “menos”, se elimina el signo de colección cambiando todos los signos de suma o resta que se encuentra dentro de él.
a - (b - c) = a - b + c
INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN
- Cuando tiene que ir precedido del signo “más”, se escribe el signo de colección sin realizar ningún cambio.
a + b - c = a + (b - c)
- Cuando tiene que ir precedido del signo “menos”, se escribe el signo de colección, cambiando los signos de suma y de resta de todos los términos que se introduce.
a - b + c = a - (b - c)
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Es la operación que consiste en obtener una expre- sión llamada producto, conociendo otras dos lla- madas multiplicando y multiplicador.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
- El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores.
- El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores.
Ejemplo:
Sea el producto:
(4x^4 + 5x + 6). (7x^5 + 6x 2 + 2)
. (3x^2 + 6x - 3). (2x - 5)
Grado (absoluto) del producto:
Término independiente:
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- Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia de cubos:
(a ± b) (a 2 a. b + b^2 ) = a^3 ± b^3
- Identidades de LEGENDRE:
(a + b) 2 + (a - b)^2 = 2 (a^2 + b^2 )
(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4. a. b
- Identidades de LAGRANGE:
(ax + by) 2 + (bx - ay) 2 = (x^2 + y^2 ) (a 2 + b^2 )
(ax + by + cz) 2 + (bx - ay) 2
- (cx - az) 2 + (cy - bz) 2
= (a^2 + b^2 + c 2 ) (x 2 + y^2 + z 2 )
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Consiste en averiguar cuántas veses una cantidad, que se llama divisor (d), está contenida en otra, que se llama dividendo (D). El dividendo y el divisor son los términos de la división y el resultado es el cociente (q). Si la división no es exacta existe un resto (r).
Expresión general:
D = q. d + r
Cuando la división es exacta: r = 0 entonces : D = q. d
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
1º En toda división, el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
º| q | = º| D | - º| d |
2º En toda división el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor.
º| D | ≥ º| r |
3º En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto (excepto polinomios ho- mogéneos).
º| d | ≥ º| r |
4º En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos uno.
º|r (^) (máx) | = º| d | - 1
En el caso de división de polinomios homogé- neos, no se cumple esta propiedad.
5º En el caso de polinomios homogéneos, el grado del resto es mayor que el grado del divisor.
º| r | > º| d |
CASOS EN LA DIVISIÓN
DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS
Se procede en el siguiente orden:
Se divide los signos mediante la regla de signos. Se divide los coeficientes. Se divide los laterales aplicando “teoría de expo- nentes”.
Ejemplo:
-16x 4 y^8 z^5 ––––––––– = -4x 2 y^3 z 4x^2 y^5 z^4
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Existe los siguientes métodos:
a) MÉTODO NORMAL
- Se ordenan los polinomios, generalmente en forma descendente.
- Se escribe éstos en línea horizontal, uno a conti- nuación del otro y utlizando el signo de la división aritmética.
- Se divide el primer termino del dividendo, entre el primer término del divisor, lo cual da el primer término del cociente.
- Este primer término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se resta de los correspondiente términos del dividendo.(se cambian de signo los productos).
- Se incorpora al residuo, el siguiente término del divisor. Se divide el primer término del resto obte- nido, entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.
- Se procede como el paso 4, y así sucesivamente, hasta terminar la división.
Ejemplo:
6x 3 + 5x 2 y - 26xy^2 + 33y^3 2x^2 - 3xy + y^2
-6x^3 + 9x 2 y - 3xy^2 3x + 7y –––––––––––––––––– 14x^2 y - 29xy^2 + 33y^3 -14x 2 y + 21xy^2 - 7y^3 ––––––––––––––––––––––– -8xy^2 + 26y^3
El cociente es: 3x + 7y
El resto es: 8xy 2 + 26y^3
b) MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS
Además de las consideraciones del método nor- mal, debe tenerse en cuenta que:
- Se trabaja solamente con los coeficientes y sus sig- nos.
- En caso de faltar un término, se coloca en su lugar cero, tanto en el dividendo como en el divisor.
- Se procede a dividir estos coeficientes siguiendo los pasos del método normal, de esta manera se obtiene los coeficientes del cociente con sus sig- nos.
- Para determinar el grado del cociente y el resto se aplica las siguientes propiedades:
º| q | = º| D | - º| d |
º| r | = º| d | - 1
- Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.
Ejemplo:
6x^5 - 20x 4 - 13x 3 + 25x^2 - 12x + 7
: 3x 2 - x + 1
Procedimiento:
Grado del cociente:
º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3
∴ q = 2x^3 - 6x 2 - 7x + 8
Grado del resto:
º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1
∴ r = 3x - 1
c) MÉTODO DE HORNER
Es un caso particular del método de coeficientes separados y se emplea para la división de poli- nomios de cualquier grado. Se procede así:
- Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila de izquierda a derecha con su propio signo.
- Se escribe los coeficientes del divisor en una co- lumna de arriba hacia abajo, a la izquierda del pri- mer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados.
- El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniendose el pri- mer término del cociente, el cual se anota en la última fila del cuadro.
- Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se les cambio su signo, colocándose los resultados a par- tir de la segunda columna a la derecha.
2do. Caso. Forma del divisor: a. x ± b
- Se transforma el divisor a la primera forma, sacando en factor común el primer coeficiente del divisor:
ax ± b = a b (x ± ––a^ )
- Se divide entre b (x ± ––^ ) operando como el primer caso.
a
- Los coeficientes del cociente obtenido son dividi- dos entre el coeficiente de “x” del divisor.
- El resto obtenido no se altera.
Ejemplo:
18x 5 - 29x 3 - 5x 2 - 12x - 16 ÷ 3x + 2
Procedimiento:
Factorizando el denominador:
3x + 2 = 3 2 (x + –– 3 )
- ––^2 ↓ - 12 + 8 + 14 - 6 + 12
18 - 12 + 21 + 9 - 18 - 4 ← resto 1444442444443 coeficientes del cociente por 3
Grado del cociente:
º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 1 = 4
Verdaderos coeficientes del cociente:
∴ Cociente:
q = 6x^4 - 4x 3 - 7x 2 + 3x - 6
Resto: r = -
3er. Caso. Forma del divisor: a. x n^ ± b
La resolución sólo es posible por el método de Ruffini cuando los exponentes de la variable del div- idendo son multiplos enteros de la variable del divi- sor. El procedimiento se explica a travéz del siguiente ejemplo:
6x^36 + 17x 27 - 16x 18 + 17x 9 + 12 ÷ 3x 9 + 1
Procedimiento:
- Se observa que los coeficientes de la variable del dividendo sean múltiplos del exponente de la variable del divisor.
- Se factoriza el divisor:
(x
3 )
- Se divide como en el primer caso.
- Cada uno de los coeficientes del cociente obteni- do, se divide entre coeficiente de “x” del divisor.
- ––^1 ↓ - 2 - 5 + 7 - 8
6 + 15 - 21 + 24 + 4 ← resto
coeficientes del resto por 3
Grado del cociente:
º| q | = º| D | - º| d | = 36 - 9 = 27
Verdaderos coeficientes del cociente:
∴ Cociente: 2x 27 + 5x 18 - 7x 9 + 8
Resto: +
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TEOREMA DEL RESTO
Consiste en hallar el resto de una división sin realizar la división.
“El resto de dividir un polinomio en “x”, racional y entero, entre un binomio de la forma (a. x ± b), es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuando se reemplaza en él x por b/a.
REGLA : Para hallar el resto se procede así:
- Se iguala el divisor a cero:
a. x ± b = 0
- Se despeja “x”
b x = ––– a
- Se reemplaza en el polinomio dividendo la variable “x” por:
––b a
se efectua operaciones, el resultado es el valor del resto.
r = P b ( ^ ––a)
Ejemplo:
Hallar el resto:
6x^4 + 3x 3 - 19x 2 + 14x - 15 : 2x - 3
Procedimiento:
1º 2x - 3 = 0 ⇒ x = –– 2
2º r = P 3 3 4 3 3 (–– 2 ) = 6^ (–– 2 ) +^ (–– 2 )
(–– 2 ) + 14^ (–– 2 ) - 15
r = -
DIVISIBILIDAD Y COCIENTES
NOTABLES
La finalidad es determinar polinomios desconocidos dadas ciertas condiciones.
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
1º Para determinar la suma de los coeficientes de un polinomio, se iguala la variable o variables a 1.
Suma de coeficientes de:
P(x ; y) = P(1 ; 1)
Ejemplo:
P(x, y) = 3x 3 - 2x 2 y - 5xy 2 + y^3
SP (1 ; 1) = 3(1) 3 - 2(1)^2 (1) - 5(1)(1) 2 + (1) 3
SP (1 ; 1) = -
2º El término independientemente se determina ha- ciendo igual a cero la variable a la cual se refiere el polinomio.
Término independiente = P(0)
Ejemplo:
P(x) = 5x 3 + 2x 2 y - 6xy 2 - 8y^3
Desde el punto de vista de la variable x:
P(0) = 5(0) 3 + 2(0) 2 y - 6(0)y 2 - 8y^3
P(0) = -8y 3
por otra parte, para la variable y:
P(0) = 5x 3 + 2x 2 (0) - 6x(0) 2 - 8(0)^3
P(0) = 5x 3
3º Si un polinomio es divisible separadamente entre dos o más binomios será divisible entre el produc- to de ellos.
Si: P(x) : (x - a), r = 0
P(x) : (x - b), r = 0
P(x) : (x - c), r = 0
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REGLA PARA EL SIGNO:
Cuando el divisor es de la forma(x - a), el signo de cualquier término es positivo.
Cuando el divisor es de la forma(x + a), los signos son alternadamente positivos y negativos, empezando por positivo.
Por consiguiente, los terminos de lugar par: son negativos, y los términos de lugar impar: son po- sitivos.
Ejemplo:
Hallar los términos t 10 y t 15 en el desarrollo del C.N. siguiente:
x^150 - a^100 –––––––– x^3 + a 2
Previamente, se busca darle la forma de cociente notable:
(x 3 )^50 - (a^2 )^50 y^50 - b 50 ––––––––––– = ––––––– (x^3 ) + (a 2 ) y + b
Trabajamos con la forma original de la izquierda:
Término K = 10: t 10 = -(x^3 )50-10^ (a^2 )10- (par)
t 10 = -x 120 a^18
Término K = 15: t 15 = +(x^3 )50-15^ (a^2 )15- (impar)
t 15 = +x 105 a^28
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA QUE EL COCIENTE –––xm–––– SEA NOTABLE^ ± an xp^ ± aq
Será notable si:
xm^ ± an^ (x p)r^ ± (a q)r –––––– = -––––––––– xp^ ± aq^ xp^ ± aq
m ésto es: p. r = m ⇒ r = ––– (a) p
n q. r = n ⇒ r = ––– (b) q
Es decir, será notable ⇔ m–– = ––^ n p q es número entero
Además:
m n –– = –– = número de términos p q (^) del cociente notable.
Ejemplo:
x–––––––^16 + a 32 x^2 + a 4
16 32
de términos = ––– = ––– = 8
2 4
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Factorización es la operación que tiene por objeto transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros.
Los principales métodos para factorizar son los si- guientes:
A. FACTOR COMÚN
El factor común de dos o más expresiones alge- braicas es la parte numérica y/o literal que está repetida en cada una de dichas expresiones. El factor común puede ser de tres tipos:
- Factor común monomio
- Factor común polinomio
- Factor común por agrupación
A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO
Cuando el factor común en todos los términos es un monomio.
Ejemplo:
P(,x y) = 72x 2a^ yb^ + 48x a+1^ yb+1^ + 24x ay2b
El factor común es 24x ayb, de este modo:
P(x, y) = 24x ayb^ (3xa^ + 2xy + y b)
A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO
Cuando el factor común que aparece es un poli- nomio.
Ejemplo:
(a + 1) 7 (a^2 + 1)^10 - (a + 1)^5 (a^2 + 1)^11
El factor común es:
(a + 1)^5 (a^2 + 1)^10
luego:
(a + 1)^5 (a^2 + 1)^10 [(a + 1) 2 - (a^2 + 1)]
(a + 1)^5 (a^2 + 1)^10 [a^2 + 2a + 1 - a^2 - 1]
(a + 1) 5 (a^2 + 1)^10 (2a)
2a(a + 1) 5 (a^2 + 1)^10
A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN
Sea: xm+n^ + ym+n^ + (xy) m^ + (xy) n
Efectuando operaciones:
xmxn^ + ymyn^ + xmym^ + xnyn
agrupando:
(xmxn^ + xmym) + (y myn^ + xnyn)
factoricemos cada paréntesis:
xm(x n^ + ym) + y n(ym^ + xn)
el factor común es el paréntesis, así:
(xn^ + ym) (x m^ + yn)
B. MÉTODO DE IDENTIDADES
B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS
a2m^ - b2n
o: (am)^2 - (bn)^2
∴ (am^ + bn) (a m^ - bn)
B.2) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
SUMA
(a3m^ + b3n) = (a m)^3 + (bn)^3
se trata de un producto notable:
= (am^ + bn) (a 2m^ - ambn^ + b2n)
DIFERENCIA
(a3m^ - b3n) = (a m)^3 - (bn)^3
= (am^ - bn) (a 2m^ + a mbn^ + b2n)
B.3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
a2m^ ± 2ambm^ + b2n^ = (am^ ± bn)^2
C. MÉTODO DEL ASPA
C.1) ASPA SIMPLE
Se usa para factorizar trinomios de la forma:
ax2n^ ± bxn^ ± c o, de la forma:
x2n^ ± bxn^ ± c
PROCEDIMIENTO.-
Se descompone en dos factores al primer término, ax2n^ o x2n^ , según sea el caso. Se coloca estos factores en las puntas de la izquierda del aspa. El término independiente, incluyendo el signo, también se descompone en dos factores, los que se coloca en las puntas de la derecha del aspa. Los factores de la expresión dada son la suma horizontal de arriba y la suma horizontal de abajo. El término central debe ser igual a la suma de los productos en aspa.
Ejemplo: x4n^ + 7x 2n^ + 12
x4n^ en dos factores: x 2n^. x2n
12 en dos factores: 4. 3
Se coloca los factores en la punta izquierda y derecha del aspa:
x2n^ +
x2n^ +
para x = 2
P(2) = 32 + 8 - 36 - 8 + 4 = 0
∴ Otro divisor o factor es: (x - 2)
Dividiendo P(x) sucesivamente entre los factores obtenidos por el método de Ruffini:
Despues de la división se obtiene:
P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x 2 + 3x - 2)
P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x - 1) (x + 2)
E. METÓDO DE ARTIFICIOS DE CÁLCULO
E.1) REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE
CUADRADOS
Consiste en sumar y restar una misma cantidad a la expresión dada para transformarla en una diferencia de cuadrados.
Ejemplo: Factorizar:
E = a 4 + 2a 2 b^2 + 9b 4
Sumando y restando 4a 2 b^2 :
E = a 4 + 6a 2 b^2 + 9b 4 - 4a 2 b^2
E = (a^2 + 3b 2 )^2 - 4a 2 b^2
E = (a^2 + 3b 2 )^2 - (2ab) 2
E = ( a^2 + 3b 2 + 2ab) (a 2 + 3b 2 - 2ab)
SUMAS Y RESTAS
Consiste en sumar y restar una misma cantidad de tal manera que se forme una suma o una diferencia de cubos y se presenta al factor x 2 + x + 1 o x^2 - x + 1.
Ejemplo: Factorizar:
P(x) = x 5 + x^4 + 1
1ra. Forma: Sumando y restando
x^3 + x^2 + x:
P(x) = x 5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 - x^3 - x^2 - x
P(x) = x 3 (x 2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) - x(x^2 + x + 1)
∴ P(x) = (x 2 - x + 1) (x^3 + 1 - x)
2da. Forma: Sumando y restando x 2 :
P(x) = x 5 - x^2 + x^4 + x^2 + 1
P(x) = x 2 (x 3 - 1) + (x^4 + x^2 + 1)
Sumando y restando x 2 al segundo paréntesis, factorizando y tambien factorizando el primer paréntesis.
P(x) = x 2 (x 3 - 1) + (x^2 + x + 1) (x^2 - x + 1)
P(x) = (x 2 + x + 1) (x^3 - x^2 + x^2 - x + 1)
∴ P(x) = (x 2 + x + 1) (x^3 - x + 1)
CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en cambiar una variable por otra, de man- era que se obtenga una forma de factorización cono- cida, o que tenga una forma más simple.
Ejemplo: Factorizar:
P(x) = 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3)
Agrupando así:
P(x) = 1 + [x(x + 3)][(x + 1) (x + 2)]
Efectuando:
P(x) = 1 + (x 2 + 3x) (x^2 + 3x + 2)
Haciendo x 2 + 3x = y
P(x) = 1 + y(y + 2)
P(x) = 1 + 2y + y 2
es el desarrollo de una suma al cuadrado:
P(x) = (1 + y) 2
sustituyendo la variable:
P(x) = (1 + 3x + x 2 )^2
FACTORIZACIÓN RECÍPROCA
POLINOMIO RECÍPROCO
Es aquel que cuyos coeficientes equidistantes de los extremos son iguales.
Ax^4 + Bx 3 + Cx 2 + Bx + A
Ejemplo: Factorizar el polinomio:
P(x) = 6x 4 + 5x 3 + 6x 2 + 5x + 6
PROCEDIMIENTO
Se factoriza x 2 :
P(x) = x (^2) (6x^2 + 5x + 6 + –– + ––) x x^2
Ordenando así:
P(x) = x 2 1 1 [^6 (x
x^2 )^ + 5^ (x + ––x^ )^ + 6]
Haciendo: x + –– = y^1 x
entonces:
x^2 + –– = y^12 - 2 x^2
sustituyendo:
P(x) = x 2 [6(y 2 - 2) + 5y + 6]
Efectuando:
P(x) = x 2 (6y 2 + 5y - 6)
Factorizando el paréntesis por el aspa simple:
3y -
2y +
∴ P(x) = x 2 (3y - 2) (2y + 3)
Reponiendo “x”:
P(x) = x 2 1 1 [ 3 (x + ––x )^ - 2][ 2 (x + ––x^ )^ + 3]
3x 2 + 3 - 2x 2x^2 + 2 + 3x P(x) = x (^2) [––––––––––] [–––––––––––] x x
∴ P(x) = (3x 2 - 2x + 3) (2x^2 + 3x + 2)
FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA ALTERNADA
POLINOMIO SIMÉTRICO
Un polinomio es simétrico, con respecto a sus vari- ables, cuando su valor no se altera por el intercambio de cualquier par de ellas, y además es homogéneo.
Ejemplo:
A (x 2 + y^2 + z 2 ) + B(xy + xz + yz)
Notar que las operaciones con expresiones simétricas dan como resultado también expre- siones simétricas.
POLINOMIO ALTERNO
Un polinomio es alterno, con respecto a sus vari- ables, cuando su signo se altera, pero no su valor absoluto, al intercambiar un par cualquiera de ellas, y además es homogéneo.
Ejemplo:
y^2 (z - y) + x 2 (y - z) + z 2 (x - y)
PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES Y DE
LOS POLINOMIOS SIMÉTRICOS Y ALTERNOS
1º No hay expresiones alternas que contengan más de 2 variables y sean de primer grado.
2º Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en forma de diferencia.
3º El producto de una expresión simetrica por una alterna da como resultado una expresión alterna.
4º Una expresión simétrica o alterna de variables x, y, z, si es divisible entre “x”, entonces también será divisible entre “y” y entre “z”.
5º En una expresión simétrica o alterna, de variables, x, y, z, si es divisible entre (x ± y), entonces tam- bién será divisible entre (x ± z) (y ± z).
F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O
A = (x^4 + 2x 2 y^2 + y^4 ) - z^4
A = (x^2 + y^2 )^2 - (z^2 )^2
A = (x^2 + y^2 + z 2 ) (x 2 + y^2 - z^2 )
Mientras que:
B = (x^4 + 2x 2 y^2 + z 4 ) - y^4
B = (x^2 + z 2 )^2 - (y^2 )^2
B = (x^2 + z 2 + y^2 ) (x 2 + z 2 - y^2 )
MCD (A, B) = x 2 + y^2 + z 2
mcm (A, B) = (x 2 + y^2 + z 2 ) (x 2 + y^2 - z^2 )
(x^2 + z 2 - y^2 )
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN
Se denomina fracción algebraica a toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el denominador.
Ejemplos:
2 i ) ––– 3x
2a + b ii ) –––––– 3c + 1
iii ) 2ax-2^ y^3 z-
CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN
1) CUANDO NO HAY PRODUCTOS INDICADOS
Se puede cambiar dos de sus tres signos y la fracción no se altera.
Ejemplo: +(m + 1) -(m + 1) F = + –––––––– = - –––––––– +(n + q) +(n + q)
+(m + 1) -(m + 1) = - –––––––– = + –––––––– -(n + q) -(n + q)
2) CUANDO LA FRACCIÓN TIENE PRODUCTOS
INDICADOS
En toda fracción, si se cambia de signo a un nú- mero par de factores, la fracción no cambia de sig-
no; si se cambia de signo a un número impar de factores, la fracción sí cambia de signo.
Ejemplo:
(a - b)(c - d) F = ––––––––––– (e - f)(g - h)
-(b - a)(c - d) (a - b)(c - d) F = –––––––––––– = –––––––––––
par -(f - e)(g - h) (e - f)(g - h)
-(b - a)(c - d) (a - b)(c - d) F = ––––––––––– ≠ –––––––––––
impar (f - e)(g - h) (e - f)(g - h)
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Para simplificar fracciones se factoriza.
Ejemplo: Simplificar:
x^3 + (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x + a^2 b P(x) = –––––––––––––––––––––––––––––– x^3 + ax 2 + 2bx 2 + b^2 x + 2abx + ab^2
Ordenando y factorizando:
x(x^2 + 2ax + a^2 ) + b(x^2 + 2ax + a^2 ) P(x) = ––––––––––––––––––––––––––––– x(x^2 + 2bx + b^2 ) + a(x 2 + 2bx + b^2 )
x(x + a)^2 + b(x + a)^2 (x + a) 2 (x + b) P(x) = ––––––––––––––––– = ––––––––––––– x(x + b)^2 + a(x + b)^2 (x + b)^2 (x + a)
P(x) = –––––x + a x + b
BINOMIO DE NEWTON
DEFINICIÓN
Es el desarrollo de un binomio elevado a la potencia “n”.
ANÁLISIS COMBINATORIO
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Factorial de un número “n” es el producto de los número consecutivos desde “1” hasta “n”. Se denota así: n
o así: n!
F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O
Ejemplos:
i ) 5 , se lee factorial de 5 = 1. 2. 3. 4. 5
ii ) n!, se lee el factorial de n = 1. 2. 3 …
. (n - 1)n
PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES
1º Si n existe, el valor de “n” es entero y positivo.
2º 0 = 1 y 1 = 1
3º Si el factorial de un número es igual al factorial de otro, entonces los números son iguales.
Sí: a = b
∴ a = b
4º Debe tenerse en cuenta que:
a ± b ≠ a ± b
a. b ≠ a. b
a a –– ≠ ––– b b
VARIACIONES
Cada una de las ordenaciones, coordinaciones o arreglos que puede formarse tomando algunos o todos de un número de objetos, se llama una variación diferenciándose entre ellas bien en un obje- to o bien en una diferente ordenación de los objetos.
De este modo, las variaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r” se puede hallar con la siguiente fórmula:
n n Vr = ––––– n - r
Ejemplo:
En un campeonato deportivo, participan los equi- pos a, b, c, d y e. Si los partidos son realizados tanto en la sede de cada uno (“casa o “local”), co- mo en la sede del otro equipo (“visitante”). ¿Cuántos partidos se jugara en total?.
Se trata de hallar cuantas variaciones se puede formarse de 2 en 2.
V 2 = –––––– = ––– = ––––––––––––– = 20
PERMUTACIONES
Se llama permutaciones de “n” objetos a los difer- entes grupos que con ellos se puede formar, de man- era que participando “n” objetos en cada grupo, difieren solamnente en el orden de colocación.
Pn = n
Ejemplo:
Hallar el número de permutaciones de las letras a, b, c, d.
P 4 = 4 = 24
COMBINACIONES
Se llama así a los diferentes grupos que se puede for- mar con “n” elementos tomándolos todos a la vez o de “r” en “r”, de manera que los grupos se diferen- cien por lo menos en un elemento. Para determinar el número de combinaciones de “n” elementos toma- dos de “r” en “r”, se usa la siguiente fórmula:
n n Cr = –––––––– r n - r
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se pueden combinar las vocales a, e, i, o, u tomadas de 2 en 2?
C 2 = –––––––– = –––––––––––– = 10
PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES
1º COMBINACIONES COMPLEMENTARIAS
Se dice que 2 combinaciones son complementarias cuando el número de combinaciones de “n” ele- mentos tomados de “r” en “r” es igual al número de combinaciones de “n” elementos tomados de “n - r” en “n - r”.
