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UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO SEGMENTOS Y ÁNGULOS CEPU CICLO II- 2021
TRIGONOMETRÍA^ GEOMETRÍA Y
ÁNGULO GEOMÉTRICO A
O B
q Notación: ∡AOB Medida: m∡BAC = q
q
Ángulo agudo
Ángulo recto
Ángulo obtuso
q
0° < q< 90°
q
q = 90°
90° < q<180°
q
Ángulos adyacentes
Ángulos consecutivos
Ángulos opuestos por un vértice
A
O
B
C
(AOB y BOC)
(AOB, BOC y COD) A
O
B (^) C
D
q O
Ángulos adyacentes complementarios
Ángulos adyacentes suplementarios
A
O
B
C
a q
a + q =180°
a + q=90°
Según la medida de sus ángulos
Según la posición de sus lados
Según la relación entre sus medidas
Clasificación
q Bisectriz q
A O C
B a q
Nota: : q q
q ^ − q (^) − q m C = 90° S =180°
q q
q q
CCC ... C =
SSS ... S =
q q q q
CCC ... C =C
SSS ... S =S
N° PAR de veces
N° IMPAR^ de veces
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 01
ÁNGULO ENTRE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
a
a
a
a
q q q q
L 1
L 2
L
L 1 y L 2 rectas paralelas y L recta secante. Notación:L 1 L 2
a
n
m
a
a
n
m
a
Ángulos alternos
internos
Ángulos conjugados
internos
Ángulos
correspondientes
q
n
m
a
a +q =180°
m n
m n
m n
n
m
n
m
n
m
a
a+b+c+d+e =180°
m n
m n
m n b
d
e
c
z
c
y
b
x
b
a+b+c = x+y+z
x
a
x = a+b
a
Según su posición y su
relación entre sus medidas,
tenemos.
Algunas propiedades de
ángulos entre paralelas de uso
frecuente.
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 02
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
CLASIFICACIÓN
Triángulo acutángulo
, y son agudos
Triángulo rectángulo
Un ángulo interior es recto
Triángulo obtusángulo
Un ángulo interior es obtuso
Triángulo escaleno
Sus tres lados son diferentes
Triángulo isósceles
Dos de sus lados son iguales
Triángulo equilátero
Sus tres lados son iguales
HIPOTENUSA
CATETO CATETO BASE
b c
a
b c
a
: agudo : obtuso
a
b c
a <b +c^2 2 2 a =b +c^2 2 2 a >b +c^2 2
Según la medida de sus
ángulos
Según la longitud de sus
lados
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 02
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
LÍNEAS NOTABLES
Mediana BM
A
B
M^ C
A
B
D^ C
Interior
Exterior
Bisectriz
Intersección de medianas=BARICENTRO
BD
B
A
C
D
Intersección de bisectrices interiores=INCENTRO
Intersección de dos bisectrices exteriores=EXCENTRO
Altura BH
Intersección de alturas=ORTOCENTRO
A H C
B
Mediatriz L
A C
L B
Intersección de mediatrices=CIRCUNCENTRO
x =
90 o
x
x
x
x
^
circuncentro
Nota:
x = 90 o− 2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 02
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
De 30 ° y 60 ° De 45 ° y 45 ° De 37 ° y 53 ° De 53 °/ 2 y 127 °/ 2
45 ° k (^2) k
k
De 37 °/ 2 y 143 °/ 2 De 14 ° y 76 ° De 8 ° y 82 ° De 16 ° y 74 °
k 2 k
k 5
De 28 ° y 62 °
k 3 k
k 1 0 8 ° k 7 k
7 k 24 k
5 2 k^25 k
2 k 60 °k
k 3
17 k 62 ° 8 k
15 k
k 4 k
k 17
De 23 ° y 67 ° De 31 ° y 59 ° De 15 ° y 75 °
4 k ( 6 + 2)k
− (^ 6
2)k 5 k 31 °
59 ° (^3) k
5 k
34 k
De 20 ° y 70 ° De 40 ° y 50 ° De 36 ° y 54 ° De 18 ° y 72 °
13 k^67 ° 12 k
5 k 53 ° 3 k
4 k
50 ° (^5) k
6 k
11 k
4 k (^18) °^72 ° ( 10 + 2 5 )k
− (^
5 4 k 1)k
BH= AC 4
4 k 54 °
( 5 +1)k
− ( 10
2
5 )k
A 15 °^
75 °
B
4 k H^ C
k
2 k
k
f
2
f = 120 °−
f 2
f = 120 °− 2
UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS CEPU CICLO II- 2021
TRIGONOMETRÍA^ GEOMETRÍA Y
POLÍGONOS I
Clases de polígonos Nombre de algunos polígonos Polígono Convexo
Polígono no convexo
Polígono equilátero a
Polígono regular
a
a aa a
a
a a a a
a
a a a a
a a
a a
a a
a
a a a
N° de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Nonágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono
N° de lados Nombre 13 Tridecágono 14 Tetradecágono 15 Pentadecágono 16 Hexadecágono 17 Heptadecágono 18 Octadecágono 19 Nonadecágono 20 Icoságono 30 Triacontágono 40 Tetracontágono
Polígono equiángulo
N°D1vertice =n − 3
N°D = n(n^ −3)
Diag. trazadas de 1 vértice
N° total de diagonales
N°DM1pto medio =n − 1
M N°D = n(n^ 1)
Diag. medias trazadas de 1 pto medio
N° total de diagonales medias
Diag. trazadas de k vértice consec. N°D =nkk −^ (k +1)(k^ +2) 2 Diag. medias traz. de m ptos medios consec. + N°Dm =nm −^ m(m 2 1)
A
B
C
D
P^ E
Q
e
i
Vértices: A, B, C, D y E Lados: AB, BC,CD,DE y EA Medida de un ángulo interior: i Medida de un ángulo exterior: e Diagonal:BE Diagonal media:PQ
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 03
CUADRILÁTEROS I
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
TRAPEZOIDE TRAPECIO PARALELOGRAMO
Tiene un par de lados
opuestos paralelos
No tiene lados opuestos
paralelos
Sus dos pares de lados
opuestos son paralelos
Pueden ser:
Simétrico
Asimétrico
Pueden ser:
Isósceles
Escaleno
Rectángulo
Pueden ser:
Rectángulo
Rombo
Cuadrado
a
b^ a
q^ b
q
BASE MENOR
BASE MAYOR
h
a a
a a
a a
a b a b
a a a
a
E mediana F
a
b q
g
a
b
q
g
a + b + q + g = 360 a + b + q + g = 360 EF es paralelo a las bases
A
B C
D A
B
C
CONVEXO CONCAVO^ D Vértices: A, B, C y D Lados:AB, BC,CD y AD Diagonales: AC y BD
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 03
CUADRILÁTEROS II
Mediana de un trapecio x = a^ +b 2
Segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio x = a^ −b 2
x a
b
Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes
D
AC =BD
En todo trapecio rectángulo EL =EN
PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
A
B C
a a b b
E
L
N
a
a
b x a
E F
A
B C
D
EF AD
x
b
a
x = a^ −b 2
En todo paralelogramo o romboide
En todo trapecio
a (^) k
2 k (^2) an n
a
a+r a+ 2 r a+ 3 r
a
O
E
L
a
a
Si O es centro del paralelogramo o romboide
En todo trapezoide asimétrico
PERU es un paralelogramo
P
E
R
U
b a (^) m n c d
Si 2 p=a+b+c+d
p <m+n< 2p
O:^ centro del cuadrado
a
2 a (^) O
AP+PB es el menor recorridoxxxxxxxxxxx a = q
a x (^) b
x = a^ +b (^2) A B
L P
a q
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 04
IV. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Se llama CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE al cuadrilátero convexo que puede inscribirse en una circunferencia. Caso 1. Si a + b = 180 ABCD es inscriptible
A
B
C
D
a
b
Los siguientes cuadriláteros son inscriptibles. a
a
Caso 2. Si a = b ABCD es inscriptible
A
B
C
D
a b
Los siguientes cuadriláteros son inscriptibles.
Trapecio isósceles
V. PROPIEDADES ADICIONALES (T, P, Q y L son puntos de tangencia)
T
q
q
a
a
T P
L Q
q q q (^) q
T
P
T
T
P
Q n m
m n
p es semiperímetro del ABC
A C
B x
P
Q
T x^ = p
UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA CEPU CICLO II- 2021
TRIGONOMETRÍA^ GEOMETRÍA Y
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
I. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES ( L 1 L 2 L 3 )
L (^1) L 2 L 3 a
b
c (^) d
a c (^) (a)(d)=(b)(c) b^ = d
COROLARIOS DE THALES ( L 1 L 2 )
L 1
a
b
m n
L 2 L^1
L 2
a
b
m
n
a m b^ = n
a m b^ = n
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
a (^) b
m n
q (^) q
a m b^ = n
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
q
m
a m b^ = n
n
a (^) b
q
TEOREMA DEL INCENTRO Y CUATERNA ARMÓNICA
a m b d n^ I c m a+b n^ = c
a d b^ = c
(I: incentro)
Cuaterna armónica
a (^) b c
Teorema del incentro
TEOREMA DE MENELAO
a
m
b
n
c
p (a)(b)(c) = (m)(n)(p) TEOREMA DE CEVA
(a)(b)(c) = (m)(n)(p)
a
b
c
m
n
p
UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO RELACIONES MÉTRICAS CEPU CICLO II- 2021
TRIGONOMETRÍA^ GEOMETRÍA Y
RELACIONES MÉTRICAS
I. EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA DE LAS CUERDAS
A
B
D
C
P
a b x
y
CALCULO DE LA SEMICUERDA
m n
h
TEOREMA DE LA TANGENTE
a
b
x
TEOREMA DE LAS SECANTES
a
b
y
x
II. EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
a (^) h b
m n c
H a^2 = c m. b^2 = c n.
h^2 =( m )( ) n 2 2 a m b^ = n III. EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO TEOREMA DE LAS PROYECCIONES
a b
x (^) y
CÁLCULO DE LA CEVIANA
a b
m n
x
A Q C
B
c a^2 ( n ) + b^2^ ( m ) = x^2 ( c ) +( m n c )( )( )
h^2^ =( m )( ) n
a^2 + b^2 = c^2
2 2 2 1 1 1 h^ =^ a + b ( )( ) a b =( )( ) c h
( )( ) a b =( )( ) x y
x^2^ =( )( ) a b
( )( ) x y =( )( ) a b
a^2 − b^2^ = x^2 − y^2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 06
CÁLCULO DE LA MEDIANA
c
a b
m
x
A Q^ C
B
m
CÁLCULO DE LA BISECTRIZ
a b
m n
x
A Q C
B q q
CÁLCULO DE LA ALTURA
a b
c
h
A Q C
B
h = (^2) c p p ( − a )( p − b )( p − c )
2 p =^ a^ +^ b^ + c
IV. EN EL CUADRILÁTERO Teorema de Euler En la figura, AM=MC y BN=ND.
A
B
C
D
M a N
b c
d
x
TEOREMA DE MARLEN (I)
A
B (^) C
D
P a
m b
n
(II)
A
B (^) C
D
P
a
m b
n
TEOREMA DE TOLOMEO
A
B C
D
a b
c
d
m n
2 2 2 2
a + b = 2 x +^ c 2
x^2 =( a b )( ) −( m n )( )
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = AC^2 + BD^2 +4x^2
a^2 + b^2 = m^2 +n^2
a^2 + b^2 = m^2 +n^2
mn = ab +cd
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 07
III. ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
a b a
b q q
ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR Y CUADRADA
Rectangular Cuadrada
A = ab A = a^2
a
b
a
a
ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBOIDAL Y ROMBAL
Romboidal Rombal
b
h a
b
A = bh A^ =^ ab 2
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
( ) A = ab 2 A = a^^ + b h
h
b
a
a b
ÁREA EN FUNCIÓN DEL INRADIO
Cuadrilátero circunscrito circunscrito^ Polígono
r r p : semiperimetro RELACIÓN DE ÁREAS Trapezoide Trapecio
A B
N
M
A B
A .B = M .N A = B
IV. ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
r (^) r
r
Lc = 2 r
2 = r (^) 360 q A
A = r^2
q
CORONA CIRCICULAR Y LÚNULAS DE HIPOCRATES T: punto de tangencia
r r
R
T^ a
A
C
A B
A = ( R^2^ − r^2 ) A = a^2
A = B + C
2 A = absen q A = p r.
UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO GEOMETRÍA DEL ESPACIO CEPU CICLO II- 2021
TRIGONOMETRÍA^ GEOMETRÍA Y
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
RECTAS Y PLANOS TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
ÁNGULO DIEDRO
q
medida del ángulo diedro : q
SÓLIDOS POLIEDRICOS TEOREMA DE EULER
C + V = A + 2
: : :
C n caras V n vértices A n aristas
Donde :
PRISMA RECTO
A L = (2pbase )h
V Prisma (^) = ( A base ) h
h A^ T^ =^ A^ L^ +^2 A base
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR (Rectoedro u Ortoedro)
b
a c
d V Rectoedro = abc
A T = 2 (ab+bc+ ac)
d 2 = a +b +c^2 2
HEXAEDRO REGULAR O CUBO (Caras= 6 regiones cuadradas iguales)
a
a a
d V Cubo = a^3
A T = 6 a^2
d 2 = 3 a^2
Prisma regular : Base = Región poligonal regular PIRÁMIDE
A L = ( pbase ) ap
(^1) ( ) V (^) Pirámide = (^) 3 A Base h
A (^) T = A (^) L + A Base
h ap
Pirámide regular : Base = Región poligonal regular TETRAEDRO REGULAR (Caras= 4 regiones triangulares equiláteras)
a
a a
h a A T^ = a^2
(^3 ) Tetraedro 12 V =^ a
6 3 h =^ a
