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Formulario de integrales
© c2001-2005 Salvador Blasco Llopis
Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia
Creative Commons Atribuci´on 2.1 Espa˜na.
S´eptima revisi´on: Febrero 2005 Sexta revisi´on: Julio 2003 Quinta revisi´on: Mayo 2002 Cuarta revisi´on: Mayo 2001 Tercera revisi´on: Marzo 2001
1. Integrales indefinidas
1.1. Funciones racionales e irracionales
1.1.1. Contienen ax + b
(ax + b)
n dx =
a(n + 1)
(ax + b)
n+
dx
ax + b
a
ln |ax + b| + C
dx
x(ax + b)
a
ln
x
ax + b
+ C
dx
(1 + x) 2
1 + x
+ C
xdx
(1 + bx) 3
2 b
(1 + bx) 2
2 b
1 + bx
+ C
1.1.2. Contienen
ax + b
x
a + bxdx =
2(3bx − 2 a)(a + bx) 3 / 2
15 b 2
+ C
x √ a + bx
dx =
2(bx − 2 a)
a + bx
3 b 2
+ C
dx
x
a + bx
√^1 a ln
√ a+bx−
√ a √ a+bx+
√ a
∣ + C, a > 0
2 √ −a
arctan
a+bx −a
a + bx
x
dx = 2
a + bx + a
dx
x
a + bx
+ C
1.1.3. Contienen x 2 ± a 2
dx
a 2
a
arctan
x
a
xdx
(x 2 ± a 2 ) 3 / 2
x 2 ± a 2
+ C
1.1.4. Contienen a
2 − x
2 , x < a
(a
2 − x
2 )
3 / 2 dx =
x
a 2 − x 2
a
2
arc sen
x
a
dx
a^2 − x^2
2 a
ln
a + x
a − x
+ C =
a
arctanh
x
a
dx
(a 2 − x 2 ) 3 / 2
x
a 2
a 2 − x 2
+ C
1.1.5. Contienen
x 2 ± a 2
x 2 ± a 2 dx =
x
a 2 ± x 2
2 ln
∣x +
a 2 ± x 2
(15) + C =
1 2
x
a 2
a 2
2
arcsenhx + C (+)
1 2
x
a^2 − x^2 + a 2
2
arccoshx + C (−)
x
x 2 ± a 2 dx =
(x
2 ± a
2 )
3 / 2
x
3
x 2
x
2 −
a
2 )(a
2
2 )
3 / 2
x 2 − a 2
x
dx =
x 2 − a 2 − a · arc cos
a
|x|
+ C
dx √ x 2
= a · arcsenh
x
a
+ C
dx √ x 2 − a 2
= ln
∣x +
x 2 − a 2
∣ + C = arccosh
x
a
dx
x
x 2 − a 2
a
arc cos
a
|x|
x
ax 2
dx =
2 a
ln
ax
2
b
2 a
dx
ax 2
+ C
x · dx
(ax 2
bx + 2c
(b 2 − 4 ac)(n − 1)(ax 2
b(2n − 3)
(b^2 − 4 ac)(n − 1)
dx
(ax^2 + bx + c)n−^1
, n 6 = 0, 1 , b
2 < 4 ac
dx
(ax 2
2 ax + b
−(b 2 − 4 ac)(n − 1)(ax 2
2 a(2n − 3)
−(b 2 − 4 ac)(n − 1)
dx
(ax 2
, n 6 = 0, 1 , b
2 < 4 ac
1.1.8. Contienen
ax 2
ax 2
2 ax + b
4 a
ax 2
4 ac − b 2
8 a
dx √ ax 2
a 0 + a 1 x +... + anx
n
√ ax 2
dx Ver §3.5, p´ag. 11: m´etodo alem´an
dx √ ax 2
a
ln
∣ 2 ax + b +
a
ax 2
∣ + C =
1 √ a
arcsenh
2 ax+b √ 4 ac−b^2
1 √ a
ln | 2 ax + b| + C, ∆ = 0, a > 0;
1 −
√ −a
arc sen
2 ax+b √ b^2 − 4 ac
, ∆ = b
2 − 4 ac
x √ ax 2
dx =
ax 2
a
b
2 a
dx √ ax 2
dx
x
ax 2
−√ 1 c ln
2
√ c
√ ax^2 +bx+c+bx+2c x
∣ +^ C,^ c >^0
1 √ −c
arc sen
bx+2c |x|
√ b^2 − 4 ac
1.2. Funciones trigonom´etricas
1.2.1. Contienen sen ax
dx
sen ax
a
ln
∣tan
ax
∣ + C
sen
2 axdx =
ax − cos ax · sen ax
a
+ C =
x
sen 2ax
4 a
+ C
sen
n axdx = −
sen n− 1 ax · cos ax
a · n
n − 1
n
sen
n− 2 axdx, n 6 = 0, −1;
sen ax sen bxdx = −
cos(a + b)x
a + b
cos(a − b)x
a − b
2 6 = b
2
x
n sen axdx = −
a
x
n cos ax +
n
a
x
n− 1 cos axdx
sen ax
x
dx =
∞ ∑
ν=
(ax)
2 ν− 1
(2ν − 1) · (2ν − 1)!
dx
1 ± sen ax
a
tan
ax
π
+ C
1.2.2. Contienen cos ax
cos
2 axdx =
ax + cos ax · sen ax
a
+ C
dx
cos ax
a
ln
∣tan
ax
π
∣ + C
cos ax
x
dx = ln |ax| +
∞ ∑
ν=
ν (ax) 2 ν
(2ν) · (2ν)!
+ C
cos
n axdx =
cos n− 1 ax · sen ax
a · n
n − 1
n
cos
n− 2 axdx+C, n 6 = 0, −1;
cos ax cos bxdx = −
sen(a − b)x
a − b
sen(a + b)x
a + b
2 6 = b
2
x
n cos axdx =
a
x
n sen ax −
n
a
x
n− 1 sen axdx + C, n 6 = − 1
dx
1 ± cos ax
a
tan
ax
+ C
1.2.3. Contienen tan ax o cot ax
tan axdx = −
a
ln cos ax + C
tan
2 xdx = tan x − x + C
tan
n axdx =
tan
n− 1 ax
a(n − 1)
tan
n− 2 axdx, n 6 = 1, 0;
cot axdx =
a
ln sen ax + C
cot
n axdx = −
cot
n− 1 ax
a(n − 1)
cot
n− 2 axdx + C, n 6 = 1, 0;
1.3. Funciones exponenciales y/o logar´ıtmicas
x
n e
ax dx =
x n e ax
a
n
a
x
n− 1 e
ax dx
e
ax sen bx · dx =
e
ax (a sen bx − b cos bx)
a 2
+ C
e
ax cos bx · dx =
e
ax (b sen bx + a cos bx)
a^2 + b^2
+ C
dx
a + be nx
x
a
ln(a + be
nx )
an
+ C
log a xdx = x log a x −
x
ln a
x ln xdx =
2 x
2 ln x − x
2
+ C
x
n ln ax · dx = x
n+
[
ln ax
n + 1
(n + 1) 2
]
+ C
x
n (ln ax)
m dx =
x n+
n + 1
(ln ax)
m −
m
n + 1
x
n (ln ax)
m− 1 dx, n, m 6 = − 1 , x > 0;
ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0;
e ax
x
dx = ln |x| +
∞ ∑
i=
(ax) i
i · i!
+ C
e
ax ln x · dx =
a
e
ax ln |x| −
a
e
ax
x
dx + C
dx
ln x
= ln | ln x| +
∞ ∑
i=
ln
i x
i · i!
dx
x ln x
= ln | ln x| + C, x > 0;
ln
n x
x
dx =
x + 1
ln
n+ x, n 6 = − 1 , x > 0;
1.4. Funciones hiperb´olicas
senh axdx =
a
cosh ax + C
senh
2 xdx =
senh 2x −
x + C
cosh axdx =
a
senh ax + C
cosh
2 xdx =
senh 2x +
x + C
tanh axdx =
a
ln | cosh ax| + C
coth axdx =
a
ln | senh ax| + C
sechxdx = arctan(senh x) + C
sech
2 xdx = tanh x + C
cschxdx = ln
∣tanh^
x
∣ =^ −^
ln
cosh x + 1
cosh x − 1
+ C
senh x · tanh x · dx = −sechx + C
cschx · coth x · dx = −cschx + C
1.4.1. funciones hiperb´olicas inversas
arcsenh
x
a
dx = x arcsenh
x
a
a 2
arccosh
x
a
dx =
x arccosh
x a
x 2 − a 2
x a
0 , a > 0;
x arccosh
x a
x 2 − a 2
x a
< 0 , a > 0;
arctanh
x
a
dx = x arctanh
x
a
a ln(a
2 − x
2 ) + C
arccoth
x
a
dx = x arccoth
x
a
a ln(x
2 − a
2 ) + C
arcsenh
x
a
dx = x arcsech
x
a
− a arc sen
x 2
a 2
+ C
arcsech
x
a
dx = x arccsch
x
a
x 2
a^2
+ C
∫ (^) x
0
dx
ax^2 + bx + c
a(p − q)
ln
q
p
x − p
x − q
, b
2
4 ac; p, q son las ra´ıces;
∫ (^) x
0
a + bx
c + gx
dx =
bx
g
ag − bc
g 2
ln(c + gx)
- M´etodos de integraci´on
3.1. Integraci´on por partes:
u · dv = u · v −
v · du
3.2. Integraci´on por sustituci´on:
si x = g(t) es un funci´on que admite derivada cont´ınua no nula y funci´on
inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g ′ (t) se tiene que:
f (x)dx = F (h(x)) + C
3.3. Integraci´on de funciones racionales:
Queremos hallar
F (x) Q(x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes
reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la divisi´on para obtener ∫ F (x) Q(x) dx =
C(x)dx +
R(x) Q(x) dx. La primera integral es inmediata. Para la
segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:
Q(x) = a 0 (x − a) p
... (x − a) q [(x − c) 2 + d 2 ] r ... [(x − e) 2 + f 2 ] s y es ´unica. En
tal caso, el integrando del segundo t´ermino se puede descomponer como sigue:
R(x) Q(x)
A 1 (x−a)p^
A 2 (x−a)p−^1
Ap x−a
B 1 (x−b)q^
B 2 (x−b)q−^1
Bq x−b
M 1 x+N 1 ((x−c)^2 +d^2 ) r− 1 +^...^ +^
Mr x+Nr (x−c)^2 +d^2
H 1 x+K 1 ((x−e)^2 +f 2 )s^
Hs x+Ks (x−e)^2 +f 2
. Todas
las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se
obtienen integrales del siguiente tipo:
dx x−a
= ln |x − a| + C
dx (x−a)p^
1 (1−p)(x−a)p−^1
+ C
M x+N (x−c)^2 +d^2 dx =
M 2 ln |(x − c)
2
2 | +
M c+N d arctan
x−c d
+ C
M x+N [(x−c)^2 +d^2 ]r^ dx ⇒ Llamemos Ir =
M x+N [(x−c)^2 +d^2 ]r^ dx y Jr =
dx [(x−c)^2 +d^2 ]r^ dx
operando se obtiene
Ir =
M 2(1−r)
1 ((x−c)^2 +d^2 ) r− 1 + (M c^ +^ N^ )^ ·^ Jr
Jr =
1 d^2
Jr− 1 +
x−c d^2 2(1−r)((x−c)^2 +d^2 )r−^1
1 d^2 2(1−r)
Jr − 1
3.4. M´etodo de Hermite
Si Q(x) = (x − a)
m
... (x − b)
n ·
[
(x − c)
2
2
]
[
(x − e)
2
2
]
entonces
R(x)
Q(x)
dx =
U (x)
(x − a) m− 1
... (x − b) n− 1 ... [(x − c) 2 + d 2 ]
p− 1
... [(x − e) 2 + f 2 ]
q− 1
K
dx
x − a
+... + L
dx
x − b
Cx + D
(x − c) 2
dx +... +
Ex + F
(x − e) 2
dx
donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las
constantes se determinan derivando la expresi´on e identificando coeficientes.
3.5. Integraci´on de funciones irracionales algebraicas
Integrales del tipo
R
x,
ax + b
cx + d
) m 1 n 1 ,... ,
ax + b
cx + d
) ms ns
dx | a, b, c, d ∈ R; ni, mi ∈ Z; ni 6 = 0
y c y d no se anulan simult´aneamente. Se transforma en integral racional
mediante el cambio
ax+b cx+d = t
m siendo m el m´ınimo com´un m´ultiplo de las
ni.
Integrales del tipo
R
x,
ax 2
dx se consideran los siguientes
casos:
- a > 0 →
ax 2
a · x + t
- c < 0 →
ax^2 + bx + c = ±
c + x · t
- a, c < 0 →
ax^2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del
polinomio.
M´etodo Alem´an:
P (x) √ ax^2 +bx+c
dx = Q(x) ·
ax 2
√ dx ax^2 +bx+c Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes
se obtienen derivando la expresi´on e identificando t´erminos.
Series bin´omicas:
x
m (a + bx
n )
p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas inte-
grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios
indicados.
- p ∈ Z → x = t
q donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.
m+ n ∈ Z → a + bx
n = t
q siendo q el denominador de p.
m+ n
a+bx n
xn^
= t q siendo q el denominador de p.
En cualquier otro caso se puede expresar como funci´on elemental.
3.6. Integraci´on de funciones trascendentes
Si R(u) es una funci´on racional y u = f (x) es una funci´on que admite funci´on
inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una
integral racional mediante el cambio f (x) = t ′′ .
