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MÉTODOS NUMÉRICOS
Los métodos numéricos son técnicas que permiten resolver problemas matemáticos mediante aproximaciones. Forman parte del análisis numérico, que se encarga de crear algoritmos para obtener soluciones cuando no existe una forma analítica o es muy difícil resolverlas manualmente. Se basan en cálculos repetitivos que generan una secuencia de valores cada vez más cercanos a la solución real.
Suma y resta El resultado debe expresarse con el mismo número de cifras decimales que el dato que tenga menos decimales. Ejemplo: 92.396 + 2.1 = 94.496 → se expresa como 94. 102.061 − 1.03 = 101.031 → se expresa como 101.
Multiplicación y división El resultado debe tener tantas cifras significativas como el número que tenga menor cantidad de cifras significativas. Ejemplo: 12.234 × 20.0 = 244.68 → se expresa como 245
Reglas de redondeo ● Si el dígito siguiente es mayor que 5, se aumenta en uno la cifra anterior. Ejemplo: 53.6501 → 53. ● Si el dígito siguiente es menor que 5, se mantiene la cifra. Ejemplo: 53.649 → 53. ● Si el dígito siguiente es 5, se redondea hacia arriba. Ejemplo: 3.7500 → 3.
Incertidumbre en mediciones Toda medición tiene un margen de error debido a la limitación del instrumento. Se expresa como: valor ± incertidumbre Ejemplo: (6.0 ± 0.5) ml Esto significa que el valor real está entre 5.5 ml y 6.5 ml. Si se requiere mayor precisión, se debe usar un instrumento con mejor resolución.
Precisión y exactitud ● Precisión: cantidad de cifras con las que se expresa un número. Ejemplo: 3.141592 tiene mayor precisión que 3. ● Exactitud: cercanía del resultado al valor real. Un valor puede ser preciso pero no exacto, o viceversa.
Tipos de errores en métodos numéricos ● Error absoluto (EA): EA = |r − r| ● Error relativo: ER = |r − r| / r ● Error relativo porcentual: ERP = ER × 100
Definición de algoritmo
Un algoritmo es una secuencia ordenada de pasos lógicos y finitos que permite resolver un problema o realizar una tarea. En informática, es el paso previo a la programación , ya que luego se traduce a un lenguaje como Excel, Visual Basic o Matlab.
Aspectos para elaborar un algoritmo ● Definir las operaciones básicas (primitivas). ● Elegir un lenguaje simbólico (pseudocódigo, diagramas, etc.). ● Representar adecuadamente los datos. ● Establecer datos de entrada y salida. ● Definir la relación entre entradas y resultados.
Condiciones que debe cumplir ● Finito: debe terminar en un número limitado de pasos. ● Bien definido: con los mismos datos de entrada, siempre produce el mismo resultado.
Algoritmo vs Programa ● Un algoritmo es la idea o lógica de solución. ● Un programa es esa solución escrita en un lenguaje que la computadora puede ejecutar.
Formas de representar algoritmos ● Pseudolenguaje (pseudocódigo): Describe el algoritmo con palabras clave y estructura lógica, fácil de traducir a programación. ● Diagramas de flujo: Representación gráfica mediante símbolos.
Características para elegir un buen algoritmo ● Legibilidad (fácil de entender) ● Eficiencia (rápido y con pocos recursos) ● Portabilidad ● Modularidad ● Facilidad de modificación ● Buena estructura
Programación estructurada Es un conjunto de técnicas que mejora la calidad del programa y reduce el tiempo de desarrollo. Se basa en tres estructuras (teorema de Bohm-Jacopini): ● Secuencial ● Selectiva (decisiones) ● Repetitiva (bucles)
Reglas de diagramas de flujo ● Flujo de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha. ● Uso de símbolos estándar: ○ Óvalo: inicio/fin ○ Rectángulo: proceso ○ Paralelogramo: entrada/salida ○ Rombo: decisión ● Líneas rectas con flechas, evitando cruces. ● Texto claro y breve dentro de cada símbolo. ● Un solo inicio y un solo fin. ● Las decisiones deben tener al menos dos salidas (sí/no).
Precauciones ● Si f(xi)⋅f(xs)<0: hay al menos una raíz (o un número impar de raíces). ● Si f(xi)⋅f(xs)>0: no se garantiza la existencia de raíz (puede haber cero o un número par de raíces). ● Si existe una raíz doble, el método puede fallar porque no hay cambio de signo.
Observaciones ● Es un método que siempre converge, aunque puede ser lento. ● Generalmente es más rápido que el método de bisección. ● Es recomendable analizar o graficar la función antes de aplicar el método para elegir bien el intervalo inicial.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO Este método consiste en reescribir la ecuación original en una forma equivalente: f(x) = 0 ⇒g(x)=x Es decir, se transforma la función en: f(x)=g(x)−x
Idea clave La raíz se encuentra cuando: g(x)=x Esto representa el punto donde: ● la función g(x) ● y la recta y=x se intersectan
Fórmula de iteración xi+1=g(xi)
Procedimiento
- Se elige un valor inicial x
- Se calcula: x1=g(x0)
- Luego: x2=g(x1)
- Se repite el proceso: xi+1=g(xi)
- Se detiene cuando: xi+1=xi
Condición de convergencia Para que el método funcione, debe cumplirse: ∣g′(x)∣< Esto significa que la pendiente de g(x) debe ser menor que 1 en valor absoluto cerca de la raíz.
Interpretación del error Si x∗ es la raíz verdadera, el error es: Ei=xi−x∗ Aplicando el teorema del valor medio: Ei+1=g′(ξ)Ei donde ξ\xiξ está entre xi y x*.
Comportamiento ● Si: ∣g′(x)∣<1 → los errores disminuyen → converge
● Si: ∣g′(x)∣>1 → los errores aumentan → diverge
Observaciones importantes ● No siempre converge (a diferencia de métodos cerrados) ● Depende mucho de: ○ la elección de g(x) ○ el valor inicial x ● Puede ser muy rápido si está bien planteado
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON :
Idea básica Quieres encontrar la raíz de: f(x)= Newton dice: “En vez de aproximar con rectas entre dos puntos (como regla falsa), uso la recta tangente en un punto”.
Fórmula principal
¿Qué significa eso? ● Empiezas con un valor inicial xi ● Calculas: ○ f(xi) → valor de la función ○ f′(xi) → pendiente (derivada) ● Con eso obtienes un nuevo valor xi+
Intuición (clave para entender)
- Tomas un punto en la curva
- Dibujas la recta tangente ahí
- Ves dónde esa recta corta el eje xxx
- Ese punto es una mejor aproximación
Pasos simples
- Elegir un valor inicial x
- Aplicar la fórmula
- Obtener x
- Repetir: x2,x3,x4...
- Parar cuando ya no cambie mucho
Ejemplo rápido Sea: f(x)=x2− Su derivada: f′(x)=2x Si empiezas con x0=3:
Luego: x=2. Ya estás casi en la raíz x=
Resumen ● Empiezas con dos valores ● Calculas uno nuevo ● Vas reemplazando y avanzando ● Te acercas a la raíz iterativamente
Ejemplo Resolver: f(x)=x2− Sabemos que la raíz es 2, pero vamos a encontrarla con la secante.
Paso 1: Valores iniciales Elegimos: x0=1, x1= Calculamos:f(1)=−3,f(3)=
Paso 2: Calcular x
Paso 3: Actualizar Ahora: x0=3, x1=1. Calculamos: f(1.75)=(1.75)2−4=−0.
Paso 4: Calcular x
Paso 5: Siguiente iteración Ahora: x0 = 1.75, x1=1. Se repite el proceso y obtienes valores como: ● x4≈1. ● x5≈1.
Resultado Los valores se acercan a: x≈
INTEGRAL
Cualquier fenómeno físico puede representarse inicialmente como el área de un rectángulo: A=x⋅y donde x es la base y y la altura. En cálculo, se trabaja con elementos muy pequeños, por lo que la base se expresa como dx (una cantidad infinitesimal) y la altura como f(x). Así, se obtiene un elemento diferencial de área: dA=f(x) Para representar un fenómeno real, no basta con un solo elemento, sino que es necesario sumar una cantidad infinita de estos. Esto se expresa mediante la integral: ∫f(x) dx Sin embargo, esta expresión es indefinida, ya que no especifica el intervalo. Para representar correctamente un área o fenómeno físico, se deben establecer límites de integración [a,b]:
Esta expresión se conoce como integral definida y representa el área bajo la curva de la función entre los puntos a y b. El área bajo la curva puede aproximarse mediante sumas de rectángulos (usando extremos izquierdo o derecho), el método del punto medio o trapecios. En esencia, la integral corresponde al límite de una suma infinita de áreas de rectángulos de base muy pequeña.
REGLA DE SIMPSON ⅓
REGLA DE SIMPSON ⅜
Al igual que el método del trapecio y la regla de Simpson 1/3, el método de integración de Simpson 3/8, parte de aproximar a una función por el polinomio interpolante de Lagrange, pero ahora de grado tres, es decir que se requieren cuatro puntos. Deduciremos las expresiones para este método de integración, para ello escribimos el polinomio de interpolante de Lagrange que pasa por cuatro puntos de una función f(x), cuyas abscisas son equidistantes (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), como se muestra en la siguiente figura:
