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REVISIÓN 5 – 75636.
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Transformada de Laplace
L
Definiciones Integrales
Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace
0
lim
b
st
b
F s f t e f t dt
L
s es en realidad una variable compleja pero se considera
como constante durante la integración
σ
1
σ
1
lim
2π
iR
st
R
iR
f t F s e F s ds
i
L
σ es un número real elegido de tal forma que todos los polos
de
F s queden a la izquierda de la recta vertical que pasa por σ
Tabla de Transformadas
f t
f t
L
s
n
t
n es un entero positivo
1
n
n
s
t
3
4 s
t
π
s
at
e
s a
n at
t e
n es un entero positivo
1
n
n
s a
7 sen kt
2 2
k
s k
8 cos kt
2 2
s
s k
9 senh kt
2 2
k
s k
10 cosh kt
2 2
s
s k
sen
at
e kt
2 2
k
s a k
cos
at
e kt
2 2
s a
s a k
13 t sen kt
2
2 2
2 ks
s k
14 t cos kt
2 2
2
2 2
s k
s k
15 sen kt kt cos kt
3
2
2 2
2 k
s k
16 sen kt kt cos kt
2
2
2 2
2 ks
s k
f t
f t
L
17 senh kt sen kt
3
4 4
2 k
s k
18 cosh kt cos kt
2
4 4
2 k s
s k
19 1 cos kt
2
2 2
k
s s k
20 kt sen kt
3
2 2 2
k
s s k
2 2
a sen bt b sen at
ab a b
2 2 2 2
s a s b
2 2
cos bt cos at
a b
2 2 2 2
s
s a s b
23 ln t
γ ln s
s
γ es la constante de Euler
( γ 0.5772156 )
2
ln t
2
γ ln π
s
s s
25
γ ln t
ln s
s
2
2 π
γ ln
t
2
ln s
s
at bt
e e
t
ln
s b
s a
3
4π
at bt
e e
t
s b s a
2
/
3
4π
a t
a
e
t
a s
e
30
erf t
2
/
1
2
1 erf
s
e
s
s
sen t
t
arctan
s
REVISIÓN 5 – 75636.
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Teoremas y Propiedades Diversas
1 Linearidad
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
c f t c f t c f t c F s c F s c F t
L
donde
1
c ,
2
c , …
n
c son constantes
2 Primer teorema de traslación
1 1
at
s s a
s s a
at at
e f t f t F s F s a
F s a e F s e f t
L L
L L
3 Segundo teorema de traslación
donde la función escalón unitario es
t a
t a
t a
U
as as
f t a t a e f t e F s
L L U
1 1
as
t t a
e F s F s t a f t a t a
L L U U
Función multiplicada por
n
t
(derivada de transformada)
n
n n
n
d
t f t F s
ds
L
5 Función dividida entre t
(integral de transformada)
s
f t
F s ds
t
L
6 Transformada de derivada
0
df
sF s f
dt
L
2
2
2
d f
s F s sf f
dt
L
1 2 2 1
n
n n n n n
n
d f
s F s s f s f sf f
dt
L
7 Transformada de integral
0
t
F s
f t dt
s
L
8 Teorema de convolución
donde la integral de convolución es
0
t
f g f g t d
f * g f t g t F s G s
L L L
1
F s G s f * g
L
9 Transformada de una función
periódica con periodo T tal que
f t T f t
0
T
st
sT
f t e f t dt
e
L
10 Transformada de una función
periódica con periodo T tal que
g t T g t
0
T
st
sT
g t e g t dt
e
L
11 Función delta de Dirac
0
0
δ
st
t t e
L
donde
0
0
0
δ
t t
t t
t t
12 Derivada de la función delta
(función doble impulso)
0
0
δ
st
d
t t se
dt
L
13 Teorema del valor inicial
0
lim lim
t s
f t sF s
14 Teorema del valor final
0
lim lim
t s
f t sF s
