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FORMULARIO - TRIGONOMETRIA
π
o . )
2 π
o . )
π
o . )
π
o . )
π
o . )
3 π
o . )
5 π
o . )
π (
o . )
7 π
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5 π
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4 π
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3 π
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5 π
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7 π
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11 π
o . )
o . )
(− A , B ) ( A , B )
(− A , − B )
( A , − B )
II cuadrante
III cuadrante IV cuadrante
I cuadrante
(sen y csc positivas)
(todas positivas)
(cos y sec positivas)
(tg y ctg positivas)
A) B´asicas
1.- cos α · sec α = 1
2.- sen α · csc α = 1
3.- tg α · ctg α = 1
4.- tg α =
sen α
cos α
5.- ctg α =
cos α
sen α
B) Pitag´oricas
1.- cos
2 α + sen
2 α = 1
2.- 1 + tg
2 α = sec
2 α
3.- 1 + ctg
2 α = csc
2 α
C) Suma y Resta de ´angulos
1.- sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β
2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β
3.- tg (α ± β ) =
tg α ± tg β
1 ∓ tg α · tg β
D) Angulos dobles
1.- sen 2α = 2 sen α cos α
2.- cos 2α = cos
2 α − sen
2 α
= 2 cos
2 α − 1
= 1 − 2 sen
2 α
3.- tg 2α =
2 tg α
1 − tg
2 α
A) B´asicas
1.- cos α · sec α = 1
2.- sen α · csc α = 1
3.- tg α · ctg α = 1
4.- tg α =
sen α
cos α
5.- ctg α =
cos α
sen α
B) Pitag´oricas
1.- cos
2 α + sen
2 α = 1
2.- 1 + tg
2 α = sec
2 α
3.- 1 + ctg
2 α = csc
2 α
4.- sen α =
1 − cos 2α
5.- cos α =
1 + cos 2α
E) Angulos medios
1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)
2.- cos α = cos
2
(α/2) − sen
2
(α/2)
3.- sen
2 (α/2) =
1 − cos α
4.- cos
2 (α/2) =
1 + cos α
5.- tg (α/2) =
sen α
1 + cos α
1 − cos α
sen α
2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β
3.- tg (α ± β ) =
tg α ± tg β
1 ∓ tg α · tg β
D) Angulos dobles
1.- sen 2α = 2 sen α cos α
2.- cos 2α = cos
2
α − sen
2
α
= 2 cos
2
α − 1
= 1 − 2 sen
2
α
3.- tg 2α =
2 tg α
1 − tg
2 α
4.- sen α =
1 − cos 2α
5.- cos α =
1 + cos 2α
E) Angulos medios
1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)
2.- cos α = cos
2 (α/2) − sen
2 (α/2)
3.- sen
2
(α/2) =
1 − cos α
4.- cos
2
(α/2) =
1 + cos α
5.- tg (α/2) =
sen α
1 + cos α
1 − cos α
sen α
F) de Producto a Suma
1.- sen A · cos B =
[sen ( A + B ) + sen ( A − B )]
2.- cos A · cos B =
[cos ( A + B ) + cos ( A − B )]
X + Y
· cos
X − Y
2.- sen X − sen Y = 2 sen
X − Y
· cos
X + Y
3.- cos X + cos Y = 2 cos
X + Y
· cos
X − Y
4.- cos X − cos Y = −2 sen
X + Y
· sen
X − Y
F) de Producto a Suma
1.- sen A · cos B =
[sen ( A + B ) + sen ( A − B )]
2.- cos A · cos B =
[cos ( A + B ) + cos ( A − B )]
3.- sen A · sen B = −
[cos ( A + B ) − cos ( A − B )]
G) de Suma a Producto
1.- sen X + sen Y = 2 sen
X + Y
· cos
X − Y
2.- sen X − sen Y = 2 sen
X − Y
· cos
X + Y
3.- cos X + cos Y = 2 cos
X + Y
· cos
X − Y
4.- cos X − cos Y = −2 sen
X + Y
· sen
X − Y
H) Periodicidad
Si k ∈ ZZ ,
1.- sen (α ± 2 k π) = sen α
2.- cos (α ± 2 k π) = cos α
3.- tg (α ± k π) = tg α
4.- ctg (α ± k π) = ctg α
5.- sec (α ± 2 k π) = sec α
6.- csc (α ± 2 k π) = csc α
I) Formulas de Reducci´on (Ley del Burro)
Sea f cualesquiera de las funciones trigonom´etricas y c f su
co-funci´on. Si s denota el signo que tiene la funci´on f en el
cuadrante correspondiente, se cumple que:
1.- f
π
2 π
± θ
= s f (θ) 24 f´ormulas.
2.- f
π/ 2
3 π/ 2
± θ
= s c f (θ) 24 f´ormulas.
J) Teorema del Seno
En cualquier tri´angulo, si L 1
representa la medida del lado op-
uesto al ´angulo 1
y L 2
es la medida de cualquier otro lado op-
uesto de un cierto ´angulo 2
, siempre se cumple que:
sen ( 1
L
1
sen ( 2
L
2
Esto quiere decir que en el siguiente tri´angulo, se cumplen las
f´ormulas:
sen α
a
sen β
b
sen β
b
sen γ
c
sen α
a
sen γ
c
K) Teorema del Coseno
Si L 1
, L
2
y L 3
representan las medidas de cada uno de los lados de un
tri´angulo cualquiera, y si 1
es la medida del ´angulo opuesto al lado L 1
siempre se cumple que:
L
2
1
= L
2
2
+ L
2
3
− 2 L
2
L
3
cos ( 1
Es decir, en el siguiente tri´angulo se cumplen las f´ormulas:
A
B
C
a
b
c
1.- a
2
= b
2
2
− 2 b c cos α
2.- b
2 = a
2
2 − 2 a c cos β
3.- c
2
= a
2
2
− 2 a b cos γ
B
C
A
a
c
b
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
L) Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo
En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que:
1.- sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
CO
HIP
2.- cos α =
cateto adyacente
hipotenusa
CA
HIP
3.- tg α =
cateto opuesto
cateto adyacente
CO
CA
4.- ctg α =
cateto adyacente
cateto opuesto
CA
CO
5.- sec α =
hipotenusa
cateto adyacente
HIP
CA
6.- csc α =
hipotenusa
cateto opuesto
HIP
CO
L) Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo
En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que:
1.- sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
CO
HIP
2.- cos α =
cateto adyacente
hipotenusa
CA
HIP
3.- tg α =
cateto opuesto
cateto adyacente
CO
CA
4.- ctg α =
cateto adyacente
cateto opuesto
CA
CO
5.- sec α =
hipotenusa
cateto adyacente
HIP
CA
6.- csc α =
hipotenusa
cateto opuesto
HIP
CO
A
C
B
α
β
γ
CA
CO
HIP
recordar el: cocacoca-hiphip
CO
HIP
CA
HIP
CO
CA
CA
CO
HIP
CA
HIP
CO
J) Teorema del Seno
En cualquier tri´angulo, si L 1 representa la medida del lado opuesto
al ´angulo 1 y L 2 es la medida de cualquier otro lado opuesto de un
cierto ´angulo 2 , siempre se cumple que:
sensen sen coscoscos tgtg tg ctgctgctg secsecsec csccsccsc
A) B´asicas
1.- cos α · sec α = 1
2.- sen α · csc α = 1
3.- tg α · ctg α = 1
4.- tg α =
sen α
cos α
5.- ctg α =
cos α
sen α
B) Pitag´oricas
1.- cos
2 α + sen
2 α = 1
2.- 1 + tg
2 α = sec
2 α
3.- 1 + ctg
2 α = csc
2 α
A) B´asicas
1.- cos α · sec α = 1
2.- sen α · csc α = 1
3.- tg α · ctg α = 1
4.- tg α =
sen α
cos α
5.- ctg α =
cos α
sen α
B) Pitag´oricas
1.- cos
2 α + sen
2 α = 1
2.- 1 + tg
2 α = sec
2 α
3.- 1 + ctg
2 α = csc
2 α
[cos ( A + B ) − cos ( A − B )]
3.- sen A · sen B = −1/
