FORMULARIO ESTRUCTURAS 1
1
ESTADO TENSIONAL.
ESTADO PLANO DE TENSIONES
σ τ
α
= =
τ σ α
x xy
x
yxy y
t
cos
t ·
t
sen
Ec. Característica σ
2
- σ·I
1
+ I
2
= 0
I
1
= σ
x
+ σ
y
; I
2
= σ
x
·σ
y
- τ
yz2
Orientación α
σ = σ α + σ α + τ α
2 2
x y xy
cos sen sen2
·
σ + σ σ − σ
σ = + α + τ α
x y x y
xy
cos2 sen2
· ·
2 2
σ − σ
τ = α − τ α
x y
xy
sen2 cos2
· ·
2
2 2
t
= σ + τ
Círculo Mohr
Centro:
x y
,0
2
σ + σ
;
σ − σ
= + τ
2
x y
2
xy
R2
σ = ±
1,2
C R
;
( )
xy
x y
2·
tan 2
τ
α =
σ − σ
ESTADO TENSIÓN 3D
x xy zx
xy y yz
zx yz z
X cos
Y · cos
Z cos
σ τ τ
α
σ = = τ σ τ β
γ
τ τ σ
Direcciones principales
x xy zx
xy y yz
zx yz z
cos
· cos 0
cos
σ − σ τ τ α
τ σ − σ τ β =
γ
τ τ σ − σ
Ec. Característica
σ
3
- σ
2
·I
1
+ σ·I
2
- I
3
= 0
I
1
=
σ
x
+
σ
y
+
σ
z
I
2
=
σ
x
·
σ
y
+
σ
y
·
σ
z
+
σ
z
·
σ
x
-
τ
yz2
-
τ
zx2
-
τ
xy2
I
3
=
|
T
|
Resolución ecuación cúbica x
3
+ a·x
2
+ b·x + c =0
2
a 3·b
Q9
−
=
;
3
2a 9·a·b 27·c
R54
− +
=
;
3
R
arccos Q
θ =
si R
2
<Q
3
las tres raices serán reales de valor:
1
2
3
a
x 2 Qcos 3 3
2 a
x 2 Q cos
3 3
2 a
x 2 Q cos
3 3
θ
= − −
θ + π
= − −
θ − π
= − −
ESTADO DEFORMACIONAL
ESTADO PLANO DE DEFORMACIONES
ε γ
δ
α
δ = =
δ
γ ε α
xxy
x
yy
xy
/2
/2
cos
·
sen
Ecuación característica
δ
2
- δ·I
1
+ I
2
=0
I
1
=
ε
x
+
ε
y
;
I
2
=
ε
x
·
ε
y
- ¼·
γ
xy2
Orientación
α
ε = ε α + ε α + γ α
2 2
x y xy
cos sen sen2
1
· · ·
2
ε + ε ε − ε
ε = + α + γ α
x y x y
xy
cos 2 sen2
1
· ·
2 2 2
ε − ε
γ
= α − γ α
x y
xy
sen2 cos 2
1
· ·
2 2 2
2 2
2
( )
γ
δ = ε +
Círculo de Mohr:
Centro x y
,0
2
ε + ε
;
( )
= ε − ε + γ
2
2
x y xy
1
R2
ε = ±
1,2
C R
;
xy
x y
tg(2 )
γ
α =
ε − ε
ESTADO DEFORMACIÓN 3D
xxy zx
y
xy yz
z
zx yz
/2 /2
/2 / 2
/2 / 2
X cos
Y · cos
Z cos
ε γ γ
α
δ = = γ ε γ β
γ
γ γ ε
Tensor
[ ]
u 1 u v 1 u w
x 2 y x 2 z x
1 v u v 1 v w
D
2 x y y 2 z y
1 w u 1 w v w
2 x z 2 y z z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Direcciones principales
xxy zx
y
xy yz
z
zx yz
/2 / 2
/2 / 2
/2 / 2
cos
· cos 0
cos
ε − ε γ γ α
γ ε − ε γ β =
γ
γ γ ε − ε
Ecuación característica
δ
3
- δ
2
·I
1
+ δ·I
2
- I
3
=0
I
1
=
ε
x
+
ε
y
+
ε
z
I
2
=
ε
x
·
ε
y
+
ε
y
·
ε
z
+
ε
z
·
ε
x
-
¼
·
γ
xy2
-
¼
·
γ
yz2
- ¼
·
γ
zx2
I
3
=
|
D
|
RELACIÓN TENSIÓN - DEFORMACIÓN
LEY GENERALIZADA DE HOOKE
( )
( )
( )
x x y z
y y z x
z z x y
1
· · t
E
1
· · t
E
1
· · t
E
ε = σ − µ σ + σ + α ∆
ε = σ − µ σ + σ + α ∆
ε = σ − µ σ + σ + α ∆
xy
xy
yz
yz
zx
zx
G
G
G
τ
γ =
τ
γ =
τ
γ =
LAMÉ:
x v x
y v y
z v z
E· t
·e 2·G· 1
E· t
·e 2·G· 1
E· t
·e 2·G· 1
·
·
·
∆
σ = λ + −
+ µ
∆
σ = λ + −
+ µ
∆
σ = λ + −
+ µ
α
α
α
ε
ε
ε
xy xy
yz yz
zx zx
G·
G·
G·
τ = γ
τ = γ
τ = γ
siendo:
( )( ) ( )
·E E
; G
1 2 1 2 1
µ
λ = =
− µ + µ + µ
GEOMETRIA DE AREAS
C.D.G.
i i
G
i
A ·y
Y
A
Σ
=Σ
; Rectang.:
3
xg
b·h
I
12
=
;Círculo:
4
xg
·R
I
4
π
=
Steiner:
2
x xG
I ' I A·d
= +
;
xy xy G x y
P ' P A·d ·d
= +
