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Estad´ıstica I
Formulario de Intervalos de Confianza y Contraste de hip´otesis
NOTACI ON:´
Sea (X 1 , X 2 ,... , Xn) una m.a.s. de tama˜no n de X:
X = (^1) n
∑^ n i=
Xi S^2 = (^) n −^1
∑^ n i=
(Xi − X)^2 α ≡ nivel de significaci´on.
x = (^1) n
∑^ n i=
xi s^2 = (^) n −^1
∑^ n i=
(xi − x)^2 H 0 ≡ hip´otesis nula
N(0,1)
α zα
tn
α tn,α
χ^2 n
α χ^2 n,α
Fn 1 ,n 2
α Fn 1 ,n 2 ,α
INTERVALOS DE CONFIANZA
(1) X ∼ N (μ, σ).
- Intervalos de confianza para μ al nivel de confianza 1 − α: a) σ conocida: IC 1 −α(μ) =
[
x ¯ ∓ zα/ 2 √^ σn
]
b) σ desconocida: IC 1 −α(μ) =
[
¯x ∓ tn−1;α/ 2 √^ sn
]
- Intervalo de confianza 1 − α para σ^2 :
IC 1 −α(σ^2 ) =
[
(n − 1)s^2 χ^2 n−1;α/ 2 ,^
(n − 1)s^2 χ^2 n−1;1−α/ 2
]
(2) X ∼ B(1, p)(muestras grandes).
- Intervalo de confianza para p al nivel de confianza 1 − α:
IC 1 −α(p) =
[̂
p ∓ zα/ 2
p(1 − p̂) n
]
, donde p̂ = ¯x.
(3) X ∼ P oisson(λ)(muestras grandes).
- Intervalo de confianza para λ al nivel de confianza 1 − α:
IC 1 −α(λ) =
[̂
λ ∓ zα/ 2
λ/n
]
, donde ̂λ = ¯x.
(4) Xcon distribuci´on desconocida y E[X] = μ, V ar[X] = σ^2 (muestras grandes).
- Intervalos de confianza para μ al nivel de confianza 1 − α: a) σ conocida: IC 1 −α(μ) =
[
x ¯ ∓ zα/ 2 √^ σn
]
b) σ desconocida: IC 1 −α(μ) =
[
x ¯ ∓ zα/ 2 √^ sn
]
(5) Dos poblaciones normales e independientes. X ∼ N (μ 1 , σ 1 ); (X 1 ,... , Xn 1 ) m.a.s. de X; se calcula ¯x y s^21. Y ∼ N (μ 2 , σ 2 ); (Y 1 ,... , Yn 2 ) m.a.s. de Y ; se calcula ¯y y s^22.
s^2 p = (n^1 −^ 1)s
(^21) + (n 2 − 1)s (^22) n 1 + n 2 − 2
- Intervalos de confianza para μ 1 − μ 2 al nivel de confianza 1 − α: a) σ 1 y σ 2 conocidas: IC 1 −α(μ 1 − μ 2 ) =
[
x ¯ − ¯y ∓ zα/ 2
σ 12 /n 1 + σ^22 /n 2
]
b) σ 1 , σ 2 desconocidas y σ 1 = σ 2 : IC 1 −α(μ 1 − μ 2 ) =
[
¯x − y¯ ∓ tn 1 +n 2 −2;α/ 2 sp
1 /n 1 + 1/n 2
]
c) σ 1 , σ 2 desconocidas y σ 1 6 = σ 2 : IC 1 −α(μ 1 − μ 2 ) =
[
¯x − y¯ ∓ tf ;α/ 2
s^21 /n 1 + s^22 /n 2
]
donde f es el entero m´as pr´oximo a (^) (s( 21 s/n^21 /n 1 )^12 +s^22 /n^2 )^2 n 1 − 1 +^ (s (^22) /n 2 ) 2 n 2 − 1
- Intervalo de confianza para σ^21 /σ^22 al nivel de confianza 1 − α:
IC 1 −α(σ^21 /σ^22 ) =
[ (^) s 2 1 /s^22 Fn 1 − 1 ,n 2 −1;α/ 2 ,
s^21 s^22 Fn^2 −^1 ,n^1 −1;α/^2
]
(6) Comparaci´on de proporciones (muestras grandes e independientes). X ∼ B(1, p 1 ); (X 1 ,... , Xn 1 ) m.a.s. de X. Y ∼ B(1, p 2 ); (Y 1 ,... , Yn 2 ) m.a.s. de Y.
- Intervalo de confianza para p 1 − p 2 al nivel de confianza 1 − α:
IC 1 −α(p 1 − p 2 ) =
̂p 1 − p̂ 2 ∓ zα/ 2
p 1 (1 − p̂ 1 ) n 1 + ̂p^2 (1^ −^ ̂p^2 ) n 2
(^) , donde p̂ 1 = ¯x y p̂ 2 = ¯y.
a) Contrastes para μ 1 −μ 2 con σ 1 y σ 2 conocidas (H 0 : μ 1 −μ 2 = d 0 , H 0 : μ 1 −μ 2 ≤ d 0 y H 0 : μ 1 −μ 2 ≥ d 0 ):
Z = X^ √^ −^ σ^2 Y^ −^ d^0 n^11 +^ σ n^222
H ∼ 0 N (0, 1).
b) Contrastes para μ 1 − μ 2 con σ 1 = σ 2 y desconocidas (H 0 : μ 1 − μ 2 = d 0 , H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ d 0 y H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ d 0 ): t = X^ −^ Y^ −^ d^0 sp
n 1 +^ n^12
H ∼ (^0) tn 1 +n 2 − 2.
c) Contrastes para μ 1 − μ 2 con σ 1 6 = σ 2 y desconocidas (H 0 : μ 1 − μ 2 = d 0 , H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ d 0 y H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ d 0 ): t = X^ √^ −^ S^2 Y^ −^ d^0 n^11 +^ S n^222
H ∼ (^0) tf ,
donde f = entero m´as pr´oximo a (^) (s( 21 s/n^21 /n 1 )^12 +s^22 /n^2 )^2 n 1 − 1 +^ (s
(^22) /n 2 ) 2 n 2 − 1
d) Contrastes para σ^21 /σ^22 (H 0 : σ 1 = σ 2 , H 0 : σ 1 ≤ σ 2 y H 0 : σ 1 ≥ σ 2 ):
F = S 12 S 22
H ∼ (^0) Fn 1 − 1 ,n 2 − 1.
(6) Comparaci´on de proporciones (muestras grandes e independientes). X ∼ B(1, p 1 ); (X 1 ,... Xn 1 ) m.a.s. de X. Y ∼ B(1, p 2 ); (Y 1 ,... Yn 2 ) m.a.s. de Y.
- Contrastes para p 1 − p 2 (H 0 : p 1 − p 2 = d 0 , H 0 : p 1 − p 2 ≤ d 0 y H 0 : p 1 − p 2 ≥ d 0 ):
Z = √ (^) ̂p 1 ̂p(1^1 −^ −p̂ 1 p)̂^2 −^ d^0 n 1 + ̂p^2 (1−p̂^2 ) n 2
H ∼ 0 N (0, 1),
donde ̂p 1 = X y p̂ 2 = Y.
