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52. AXIOMAS.
1. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. 2. Si a cantidades iguales se multiplican o dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales. Este axioma no se aplica cuando el divisor es cero. 3. Si a cantidades iguales se elevan a una misma potencia, o si a ambas se les extrae una misma raíz, los resultados son iguales. Cuando este axioma se aplica a la extracción de raíces, es preciso tomar estas con un mismo signo, pues una raíz puede tener más de uno. 4. Si en los dos miembros de una desigualdad se ejecuta una misma operación con números positivos, el sentido de la desigualdad no se altera. Si, por ejemplo, a>b, y x e y son cantidades positivas iguales, se tiene: a+x>b+y, a-x>b-y, ax>by, a/x>b\y 5. Si se suman dos desigualdades de un mismo sentido, los resultados son desiguales en el mismo sentido. 6. Si los dos miembros de una desigualdad se restan de los dos de una igualdad, los resultados son desiguales en sentido opuesto al de la desigualdad dada. 7. Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre si. 8. Toda cantidad puede reemplazarse con su igual. 9. Si una cantidad es mayor que otra y ésta es mayor que un a tercera, la primera es mayor que la tercera. 10. El todo es mayor que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.
- POSTULADOS. 1. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta, y sólo una. 2. Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos. 3. El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une . 4. Es siempre posible describir una circunferencia de centro y radio dados. 5. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma ni sus dimensiones. 6. Todos los ángulos de lados colineales son iguales. 54. Corolario 1. Dos puntos determinan una recta. 55. Corolario 2. Dos rectas no pueden cortarse en más de un punto. 56. Corolario 3. Todos los ángulos rectos son iguales. Porque un recto es la mitad de un ángulo de lados colineales. 57.° Corolario 4. En un punto cualquiera de una recta puede levantarse una perpendicular a esa recta, y solo una.
En efecto si en el punto O pudiesen levantarse dos perpendiculares OC y OB en DA, los ángulos AOB y AOC serían rectos y por tanto iguales, lo cual es imposible
58. Corolario 5. Ángulos iguales tienen complementos iguales, suplementos iguales y conjugados iguales. 59. Corolario 6. Un ángulo mayor que otro tiene menor complemento, suplemento y conjugado que ese otro. PROPOSICIÓN I. TEOREMA 60. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. 67. Corolario. Las partes homólogas de dos figuras congruentes son iguales. PROPOSICIÓN II. TEOREMA 68. Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, los dos triángulos son iguales. 69. Corolario. Dos triángulos rectángulos son iguales si los dos lados que forman el ángulo recto en el uno son iguales a los correspondientes del otro. PROPOSICIÓN III. TEOREMA 72. Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado. PROPOSICIÓN IV. TEOREMA 74. En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a lo lados iguales son iguales. 75. Corolario. Todo triángulo equilátero es equiángulo. PROPOSICIÓN V. TEOREMA 76. Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos son iguales, y el triángulo es por tanto isósceles. 77. Corolario. Todo triángulo equiángulo es equilátero PROPOSICIÓN VI. TEOREMA 80. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son iguales. PROPOSICIÓN VII. TEOREMA 81. Si de un punto situados en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados, la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros lados del triángulo PROPOSICIÓN VIII. TEOREMA 82. De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular. PROPOSICIÓN IX. TEOREMA
96. Corolario 2. Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. PROPOSICIÓN XV. TEOREMA 97. Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras. PROPOSICIÓN XVI. TEOREMA 100. Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. PROPOSICIÓN XVII. TEOREMA 101. Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una transversal ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas. PROPOSICIÓN XVIII. TEOREMA 102. Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son iguales. 103. Corolario 1. Si dos rectas situadas en un plano forman con una transversal ángulos correspondientes iguales, esas dos rectas son paralelas. 104. Corolario 2. Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos externos situados de un mismo lado de la transversal, así como los internos, son suplementarios. 105. Corolario 3. Si una transversal corta dos rectas de tal modo que los ángulos externos y por tanto los internos de un mismo lado de una transversal son suplementarios, las rectas son paralelas. 106. Corolario 4. Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. PROPOSICIÓN XIX. TEOREMA 107. La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos. 108. Corolario 1. Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos de otro, el tercer ángulo del uno es igual al tercer ángulo del otro. 109. Corolario 2. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso. 111. Corolario 3. Todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los internos opuestos, y por tanto mayor que cada uno de los dos. PROPOSICIÓN XX. TEOREMA 112. La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado; y la diferencia, menor. PROPOSICIÓN XXI. TEOREMA 113. Si dos lados de un triángulo son desiguales, al mayor lado se opone el mayor ángulo. PROPOSICIÓN XXII. TEOREMA 114. Si dos ángulos de un triángulo son desiguales, al mayor ángulo se opone mayor lado.
PROPOSICIÓN XXIII. TEOREMA
115. Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados del otro, y el ángulo comprendido por los dos primeros es mayor que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo. PROPOSICIÓN XXIV. TEOREMA 116. Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados del otro, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer del segundo, el ángulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triángulo que en el segundo. CUADRILÁTEROS PROPOSICIÓN XXV. TEOREMA 123. Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a los del otro, los dos ángulos son o iguales o suplementarios. 124. Corolario. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, y los adyacentes a un mismo lado son suplementarios. PROPOSICIÓN XXVI. TEOREMA 125. En todo paralelogramo, cada lado es igual a su opuesto. 126. Corolario 1. Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales. 127. Corolario 2. Los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son iguales. 128. Corolario 3. Dos paralelas cualesquiera se hallan a una misma distancia en todos sus puntos. PROPOSICIÓN XXVII. TEOREMA 129. Si cada lado de un cuadrilátero es igual a su opuesto, el cuadrilátero es un paralelogramo. PROPOSICIÓN XXVIII. TEOREMA 130. Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos, los otros dos también lo son, y por tanto el cuadrilátero es un paralelogramo. PROPOSICIÓN XXIX. TEOREMA 131. Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales. PROPOSICIÓN XXX. TEOREMA 132. Si dos lados adyacentes de un paralelogramo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a los del otro, los dos paralelogramos son iguales. 133. Corolario. Si dos rectángulos tienen las bases y las alturas respectivamente iguales, los dos rectángulos son iguales. PROPOSICIÓN XXXI. TEOREMA 134. Si los segmentos determinados en una transversal por tres o más paralelas son iguales, también
170. En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales son subtendidos por cuerdas iguales, y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda.
171. Corolario. En un mismo círculo o en círculos iguales, el mayor de dos arcos mayores es subtendido por menor cuerda que el menor PROPOSICIÓN IV. TEOREMA 172. En un mismo círculo o en círculos iguales, cuerdas iguales subtienden arcos iguales, y la mayor de dos cuerdas desiguales subtiende el mayor arco. 173. Corolario. En un mismo círculo o en círculos iguales, la mayor de dos cuerdas desiguales subtiende menor arco mayor que la menor. PROPOSICIÓN V. TEOREMA 174. La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda bisecta la cuerda y los arcos subtendidos. 175. Corolario 1. Todo diámetro bisecta la circunferencia. 176. Corolario 2. Toda recta que pasa por el centro y que bisecta una cuerda es perpendicular a esa cuerda. 177. Corolario 3. La perpendicular bisectriz de una cuerda pasa por el centro del círculo y bisecta los arcos que la cuerda subtiende. PROPOSICIÓN VI. TEOREMA 178. En un mismo círculo o en círculos iguales, las cuerdas iguales equidistan del centro, y recíprocamente, las cuerdas equidistantes del centro son iguales. PROPOSICIÓN VII. TEOREMA 179. De dos cuerdas desiguales de un mismo círculo o de círculos iguales, la mayor dista menos del centro que la menor PROPOSICIÓN VIII. TEOREMA 180. Si dos cuerdas de un mismo círculo o de círculos iguales no equidistan del centro, la que menos dista es mayor que la otra 181. Corolario. El diámetro es la mayor cuerda. PROPOSICIÓN IX. TEOREMA 184. Si una recta es perpendicular a un radio en la extremidad del radio, la recta es tangente al círculo. 185. Corolario 1. Toda tangente a un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia 186. Corolario 2. La perpendicular a una tangente en el punto de contacto pasa por el centro del círculo 187. Corolario 3. La perpendicular bajada del centro de un círculo a una tangente pasa por el punto
de contacto. PROPOSICIÓN X. TEOREMA
189. En todo circulo, dos paralelas interceptan arcos iguales. PROPOSICIÓN XI. TEOREMA 190. Por tres puntos no situados en línea recta puede trazarse una circunferencia, y solo una. 191. Corolario. Dos circunferencias no pueden cortarse en más de dos puntos. PROPOSICIÓN XII. TEOREMA 192. Si de un punto exterior a un círculo se trazan dos tangentes al círculo las tangentes son iguales y forman ángulos iguales con la recta trazada del mismo punto al centro del círculo. PROPOSICIÓN XIII. TEOREMA 195. La línea de los centros de dos circunferencias que se cortan es la perpendicular bisectriz de la cuerda común. PROPOSICIÓN XIV. TEOREMA 197. Si dos círculos son tangentes, la línea de los centros pasa por el punto de contacto. PROPOSICIÓN XV. TEOREMA 212. En un mismo circulo o en círculos iguales, dos ángulos centrales son entre sí como los dos arcos que los subtienden. PROPOSICIÓN XVI. TEOREMA 214. Todo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados. 215. Corolario 1. Todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto. 216. Corolario 2. Un ángulo inscrito en un arco mayor que un semicírculo es agudo; en uno menor, obtuso. 217. Corolario 3. Todos los ángulos inscritos en un mismo arco o en arcos iguales son iguales, 218. Corolario 4. Los ángulos opuestos de todo cuadrilátero inscrito en un círculo son suplementarios; y recíprocamente, si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementaros, el cuadrilátero es inscriptible. PROPOSICIÓN XVII. TEOREMA 219. El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de un circulo tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados. PROPOSICIÓN XVIII. TEOREMA 220. El ángulo formado por una tangente y una cuerda tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda. PROPOSICIÓN XIX. TEOREMA
