Formulas de Derivadas e integracion, Apuntes de Matemáticas

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Calculo en una Variable

Fórmulas de Derivadas e Integrales

Carrera Profesional:

Autor: Ronald Bladimiro Ticona Méndez

Magister. En Matemática

jueves, 20 de abril de 2017

Mgt. Ticona Méndez, Ronald Bladimiro  1

ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS:

cos u senu

senu cos u

sen u cos u 2 2

2 2

2 2

1

2 2 2 2

• tan u=sec u; tanu=sec u−

2 2 2 2

• ctgu=cscu; ctgu=cscu−

2 1 cos^2 u sen u

2 1 cos^2 u cos u

cscusen u

senu

cscu

cscu

sen u 7.

 

secucos u

cosu

secu

secu

cosu

cosu

senu tan u= 9. senu

cosu ctg u=

10. sen(  ± )=sen cos±sencos  11. sen 2  = 2 sencos 

12. cos(  ± )=coscossensen  13.   

2 2 cos 2 =cos −sen

 

    tan tan

tan tan tan( ) 1 



  2 1

tan

tan tan( ) −

PROPIEDADES DE LOGARITMOS:

1. Log (A.B) LogA LogB b b b

= + 2. LogA LogB B

A

Log b b b

3. Log A nLogA b

n b

= 4. LogeA =lnA

5. ln( A.B)= lnA+lnB 6. lnA lnB B

A

ln (^) = − 

7. ln A nlnA

n = 8. lnA n

ln A

n 1

8. e N

ln N = 9. b N

LogN b (^) =.

FORMULAS ELEMENTALES DE DERIVADAS

Sea las funciones u = u(x); v=v(x). Entonces:

1. C= 0

dx

d , donde C es una constante

dx

du u nu dx

d (^) n n− 1 = , donde n ∈ IR 3.

− 1

n n x nx dx

d , donde n ∈IR

dx

dv

dx

du u v dx

d

• = +

5. ( ) dx

du ku k dx

d = , donde k es una constante

6. ( ) dx

du v dx

dv u.v u dx

d = + 7. 2 v

dx

dv u dx

du v

v

u

dx

d

Consecuencias particulares de la fórmula 2, esto es:

Mgt. Ticona Méndez, Ronald Bladimiro  3

RECTAS TANGENTES Y NORMALES

Recta Tangente.- La recta tangente a la gráfica de f en el punto P = (a ,f(a)), está dada por:

L : y f(a) f'(a)(x a )

T

Recta Normal.- La recta normal a la gráfica de f en el punto P = (a ,f(a)), está dada por:

: () x a

f a

L y fa

T

APLICACIONES DE LA DERIVADA:

Funciones crecientes y decrecientes

Teorema 1. Si f es continua sobre [a , b] y si f ' (x)> 0 ,∀x∈[a,b] , entonces f es creciente

(estrictamente) sobre [ a, b].

Teorema 2. Si f^ es continua sobre [a , b] y si f ' (x)< 0 ,∀x∈[a,b] , entonces f^ es decreciente

(estrictamente) sobre [ a, b].

Máximos y Mínimos

Definición 1. Sea f una función definida en I , se llaman punto crítico de f a aquellos puntos c del

intervalo I , y cumple:

i) f ' (c)= 0 ó

ii) f ' (c) no existe ó

iii) c es uno de los extremos. Si es que éstos estuvieron considerados en el intervalo I.

Criterio de la Primera derivada:

Teorema 3.- Sea c un punto crítico de f. Si existe un intervalo [a , b], donde f es continua tal que

c ∈ a, b , entonces:

i)

f x x c b

f x x ac y

⇒ f (c) es un Máximo relativo de f.

ii)

f x x c b

f x x ac y

⇒ f (c) es un Mínimo relativo de f.

iii)

f x x c b

f x x ac y

ó

f x x cb

f x x ac y

⇒ f (c) no es máximo y

mínimo de f.

Observaciones: Sí c un punto crítico de f. De teorema se desprende:

1. Si cambia de “ + ” (antes de c) a “ − ” (después de c ), entonces se tiene un máximo relativo.

2. Si cambia de “ − ” (antes de c ) a “ + ” (después de c), entonces se tiene un mínimo relativo.

Criterio de la Segunda derivada:

Teorema 4.- Sea f una función diferenciable en el entorno de c. Si f ' (c)= 0 y si f ' '(c) , entonces:

i) f ' '(c)< 0 ⇒ f (c) es un máximo relativo.

ii) f ' '(c)> 0 ⇒ f (c) es un mínimo relativo.

Fórmulas de Derivadas e Integrales (^) 12

Mayo del 2011.

R.B.T.M

.

Mgt. Ticona Méndez, Ronald Bladimiro  11

dx ax bx c

Ax B .... ax bx c

Ax B

ax bx c

Ax B dx Q(x)

P(x)

n n n

n n

∫ ∫ 

2 2 2

2 2

2 2

1 1

2 1

1 1

Luego se determina las constantes

A 1 ,A 2 ,....,An ,B 1 ,B 2 ,....,B n

Caso IV .- Si Q( x) (ax bx c); n IN

n = + + ∈

2 , entonces:

dx (ax bx c)

Ax B .... (ax bx c)

Ax B

(ax bx c)

Ax B dx Q(x)

P( x) n

n n

∫ ∫ 

2 2 2 1

1 1

Luego se determina las constantes

A 1 ,A 2 ,....,An ,B 1 ,B 2 ,....,B n

B. Si el grado^ (^ P(x))^ >^ grado(^ Q(x)) , entonces se procede a dividir, para luego

aplicarlos casos anteriores.

INTEGRACION DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES

A. Integrales de la forma:

dx; n,...,n I N cx d

ax b ,...., cx d

ax b R x, k

m /n m/n k k ∈ 

∫

1

1 1

Para evaluar éste tipo de integral, hacemos el siguiente cambio de variable:

cx d

ax b t

n

= , donde { } k n M.C.M.n,n ,..., n 1 2

B. Integrales de la forma:

;n I N

(x a) px qx r

dx

n

∫ 2

Para evaluar éste tipo de integral, hacemos el siguiente cambio de variable:

2

t

dt dx t

x −a= ⇒ =−

C. Integrales de la forma:

∫

x a bx dx; a ,b

m np (Integrales del binomio diferencial)

Esta integral se reduce a la integral de función racional de una variable solamente en los

siguientes casos:

Caso I.- Si p ∈ ZZ , hacemos la sustitución:

k x = t ,

donde k = M.C.M.[denominador de m y n]

Caso II.- Si ZZ n

m ∈

, hacemos la sustitución:

n s a + bx =t ,

donde “ s = es el denominador de p ” ( s

r p = ; siendo r y s son primos entre si).

Caso III.- Si p ZZ n

m

• ∈

hacemos la sustitución:

n ns a + bx =xt ó

n s ax +b=t

− ,

donde “ s = es el denominador de p ” ( s

r p = ; siendo r y s son primos entre si).

Fórmulas de Derivadas e Integrales (^) 4

FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

Primer Grupo de Fórmulas:

∫

du = u+C 2. 1 1

1

• ≠

∫

C; n n

u udu

n n , n ∈IR

∫

= ln u +C u

du

4. = + > 0 ≠ 1 ∫

C;a ,a lna

a adu

u u

∫

e du= e +C

u u

Segundo Grupo de Fórmulas

∫

sen udu= −cosu+C 7. ∫

cosudu= senu+C

∫

tan udu= lnsecu+C=−lncosu+C 9. ∫

ctgudu= lnsenu+C

∫

sec udu= lnsecu+tanu+C 11. ∫

cscudu= lncscu−ctgu+C

∫

sec udu= tanu+C

2 13. ∫

csc udu= −ctgu+C

2

14. tanu secudu=tanu+C ∫

∫

cscuctgudu= −cscu+C

Tercer Grupo de Fórmulas:

16. ( 0 ) 2 2

∫

C; a a

u arcsen

a u

du

17. ( ) ∫

2 2 C; a a

u arctan a u a

du

18. ( 0 )

2 2

∫

C; a a

u arcsec a u u a

du

19. ( ) ∫

2 2

C; a u a

u a ln u a a

du

20. lnu u a C

u a

du = + ± +

±

∫

2 2

2 2

21. (^ ) ∫

C; a a

u a udu u a u aarcsen

∫

u ± adu= u u ±a ±a ln u+ u ±a C

2 2 2 2 2 2 2

2

Mgt. Ticona Méndez, Ronald Bladimiro  9

Para evaluar éste tipo de integrales se usa la identidad trigonométrica siguiente:

sen( Au)cos(Bu)= (sen (A+B)u+sen(A.−B)u) 2

∫

I = cos(Au)cos(Bu)du 2

Para evaluar éste tipo de integrales se usa la identidad trigonométrica siguiente:

cos( Au)cos(Bu)= (cos( A−B)u+cos(A+B)u) 2

∫

I = sen(Au)sen(Bu)du 3

Para evaluar éste tipo de integrales se usa la identidad trigonométrica siguiente:

 

sen( ) ( ) cos( ) cos( )

Au sen Bu  A  B u  A B u

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

A. Si la integral contiene:

2 2 a −u

Entonces se hace la sustitución:

u = asen  ⇒ du =acos d 

Se elimina el radical:

a − u = a( −sen )=a cos=acos 

2 2 2 2 2 1

Para retornar a la variable “ u ” construimos el triángulo: a

u

sen =

2 2 a − u

u

a

B. Si la integral contiene:

2 2 a +u

Entonces se hace la sustitución:

u = atan  ⇒ du asec d 

2

Se elimina el radical:

a + u = a( +tan )=a sec=asec 

2 2 2 2 2 1

Para retornar a la variable “ u ” construimos el triángulo: a

u

tan =

2 2 u a^

u

a

C. Si la integral contiene:

2 2 u −a

Entonces se hace la sustitución:

u = asec  ⇒ du =asec tand 

Fórmulas de Derivadas e Integrales (^) 6

METODO DE INTEGRACION POR PARTES

∫ ∫

udv= u.v− vdu

Para aplicar esta fórmula, se debe descomponer el integrando en dos factores u i dv de los

cuales debe elegirse que “ u ” se tenga que derivar y “ dv ” integrar de manera que sea

posible la integración.

INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS EN LAS FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS

A. Integrales de la forma:

∫

I = senudu

n 1

∫

I = cos udu

n 2

donde n ∈IN

Para evaluar éste tipo de integrales se presentan dos casos:

Caso I .- Si n = Número IMPAR , entonces:

n = 2 k + 1 ,∀k= 0 , 1 , 2 , 3 , ...

* ( ) ( ) ∫ ∫ ∫

I = senudu= senu senudu= −cos u senudu n 2 k 2 k 1

1 , luego para

calcular hacemos el cambio variable: w = cosu_._

* ( ) ( ) ∫ ∫ ∫

I = cos udu= cos u cosudu= −senu cosudu

n 2 k 2 k 2

1 , luego para

calcular hacemos el cambio variable: w = senu_._

Caso II .- Si n = Número PAR , entonces:

n = 2 k , ∀k= 1 , 2 , 3 , ...

* ( ) ∫ ∫ ∫

= = = du

cos u I senudu senu du

k n k 2

1

* ( ) ∫ ∫ ∫

= = = du

cos u I cos udu cos u du

k n k 2

2

Luego se desarrolla en los integrandos la potencia k , de donde se requerirá de nuevo el

uso de los casos I y II.

B. Integrales de la forma:

∫

I = sen ucos udu

n m

Para evaluar éste tipo de integrales se presentan dos casos:

Caso I .- Si “n” ó “m” es un número entero positivo IMPAR , de ser así el otro puede ser

cualquier número, esto es:

Por ejemplo si: n = Número entero positivo Impar y

m = cualquier número.

Entonces: n = 2 k + 1 ,∀k= 0 , 1 , 2 , 3 ,...

* ( ) ( ) ∫ ∫

I = senu cos usenudu= −cos u cos usenudu

2 k^ m 2 k m 1 , luego para

calcular hacemos el cambio variable: w = cosu_._

Por ejemplo si : m = Número entero positivo Impar y

n = cualquier número.

Mgt. Ticona Méndez, Ronald Bladimiro  7

Entonces: m = 2 k + 1 ,∀k= 0 , 1 , 2 , 3 ,...

* ( ) ( ) ∫ ∫

I = senucos u cosudu= senu −senu cosudu

n 2 k n 2 k 1 , luego para calcular

hacemos el cambio variable: (^) w = senu_._

Caso II .- Si “n” y “m” son números enteros positivos PARES , entonces para calcular dicha

integral se utiliza las identidades siguientes:

2 1 cos^2 u sen u

2 1 cos^2 u cos u

C. Integrales de la forma:

∫

I = tan usec udu

n m 1

∫

I = ctgucsc udu

n m 2

Para evaluar éste tipo de integrales se presentan los siguientes casos:

Caso I .- Si n = Número entero positivo IMPAR y

m = Cualquier número.

Entonces:

n = 2 k + 1 ,∀k= 0 , 1 , 2 , 3 , ...

* ( ) ∫ ∫

− I = tan usec udu = tan u sec u(tanusecudu)

n m 2 k m 1 1

( ) ∫

− = sec u − sec u(tanusecudu)

2 k^ m 1 1 , luego para calcular hacemos el cambio

variable: w = secu_._

* ( ) ∫ ∫

− I = ctgusec udu = ctgu csc u(ctgucscudu)

n m 2 k m 1 2

( ) ∫

− = csc u − csc u(ctgucscudu)

2 k^ m 1 1 , luego para calcular hacemos el cambio

variable: w = cscu_._

Caso II .- Si m = Número PAR y

n = Cualquier número.

Entonces:

n = 2 k ,∀k= 1 , 2 , 3 , 4 ...

* ( ) ∫ ∫

− I = tan usec udu = tan usec u sec udu

n m n 2 (m^2 )/^22 1

( ) ∫

− = tan u +tan u sec udu

n 2 (m^2 )/^22 1 , luego para calcular hacemos el cambio

variable: w = tanu.

* ( ) ∫ ∫

− I = ctgucsc udu = ctgu csc u csc udu

n m n 2 (m^2 )/^22 2

( ) ∫

− = ctg u +ctgu csc udu

n 2 (m^2 )/^22 1 , luego para calcular hacemos el cambio

variable: w = ctgu_._

Fórmulas de Derivadas e Integrales (^) 8

Caso III .- Si m = Número entero positivo IMPAR y

n = Número entero positivo PAR.

Entonces la solución se determina mediante el método de integración por partes

D. Integrales de la forma:

∫

I = tan udu

n 1

∫

I = ctgudu

n 2

donde n ZZ

∈

Si “ n ” es un número entero positivo PAR o IMPAR , procedemos de la siguiente manera:

∫ ∫ ∫

− − I tan udu tan utanudu tan u(sec u )du

n n n 1

2 2 2 2 1

∫ ∫

− − = tan usec udu− tan udu

n 2 2 n 2

∫

−

− − −

= tan udu n

tan u n

n 2

1

Este proceso repetimos cuantas veces sea necesario, hasta obtener la solución.

Análogamente tenemos:

∫ ∫ ∫

− − I ctg udu ctg uctg udu ctg u(csc u )du

n n n 1

2 2 2 2 2

∫ ∫

− − = ctg ucsc udu− ctg udu

n 2 2 n 2

∫

−

− − −

= − ctg udu n

ctg u n

n 2

1

E. Integrales de la forma:

∫

I = sec udu

n 1

∫

I = csc udu

n 2

donde n ZZ

∈

Para evaluar éste tipo de integrales se presentan los siguientes casos:

Caso I .- Si n = Número positivo PAR.

Entonces:

n = 2 k , ∀k= 1 , 2 , 3 , ...

* ( ) ∫ ∫

− I = sec udu = sec u sec udu

n 2 (n^2 )/^22 1

( ) ∫

− = +tan u sec udu

2 (^ n^2 )/^22 1 , luego para calcular hacemos el cambio variable:

w = tan u_._

* ( ) ∫ ∫

− I = csc udu = csc u csc udu

n 2 (n^2 )/^22 1

( ) ∫

− = +ctg u csc udu

2 (^ n^2 )/^22 1 , luego para calcular hacemos el cambio variable:

w = ctgu_._

Caso II .- Si n = Número positivo IMPAR , entonces la solución se determina mediante el

método de integración por partes.

F. Integrales de la forma:

∫

I = sen(Au)cos(Bu)du 1