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Repaso de álgebra
Enteros
{... , -4, -3, -2, -1, O,1,2,3,4, ... }
Enteros positivos (números naturales)
{l, 2, 3, 4, 5, ... }
Enteros no negativos (números enteros)
{O, 1,2,3,4,5, ... }
Números racionales
Un número racional es un número en la forma p/q, donde p
y q *" O son enteros.
Números irracionales
Un número irracional es un número que no puede escribirse
en la forma p/ q, donde p y q *" O son enteros.
Números reales
El conjunto R de números reales es la unión de los conjun-
tos de números racionales e irracionales.
Leyes de exponentes
(e")" = a'", (ab)" = a'b"
(%)" = ~~, aO = 1, a *" O
Exponente negativo
_1/ 1
a = a" n>O
Radical
alln^ = %, n > O un entero
Exponentes racionales y radicales
amln = (am)lln = (alln)m amln = -xyam = (%)m ...:ya¡; = %..;y¡; J~ % \j b = ..;y¡;
Fórmula cuadrática
Las raíces de una ecuación cuadrática ax^2 + bx + e = O,
a -=1= O, son
x=
-b ± Vb^2 - 4ae
2a
Expansiones binomiales
(a + bf = a^2 + 2ab + b^2 (a + b)3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 (a + b)4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 (a + b)5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + lOa^2 b^3 + 5ab^4 + b^5
Triángulo de Pascal
Los coeficientes en la expansión de (a + bY' siguen el
patrón:
Cada número en el interior de este arreglo es la suma de los
dos números directamente arriba del mismo:
1 '\¡ ¡¿' 4 '\¡ ¡¿' 6 '\¡ ¡¿' 4 '\¡ ¡¿' 1
El último renglón son los coeficientes en la expansión de
(a + b)5.
Fórmulas de factorización
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2 ) a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 ) a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2 )
Definición del valor absoluto
lal = {a-a
si a es no negativo (a 2: O)
si a es negativo (a < O)
Propiedades de desigualdades
Si a > b Y b > e, entonces a > e. Si a < b, entonces a + e < b + e. Si a < b, entonces ae < be para e > O. Si a < b, entonces ae > be para e < O.
FM-'
Fórmulas de geometría
Área A, circunferencia C, volumen V, área superficial S
RECTÁNGULO PARALELO GRAMO TRAPEZOIDE a
b b
A = lw, C = 2/ + 2w A =bh A=~(a+b)h
TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULO TRIÁ GULO EQUILÁTERO
b ~^ b s
Teorema de Pitágoras:
e^2 = a^2 + b^2 A=~bh.^ C=a+b+e
CÍRCULO ANILLO CIRCULAR SECTOR CIRCULAR
<J(js
ELIPSE ELIPSOIDE ESFERA
A = ttab v =j 'Trabe
FM-
Gráficas y funciones
Para encontrar intersecciones
Intersecciones y: sea x = O en la ecuación y resolvemos
para y
Intersecciones x: sea y = O en la ecuación y resolvemos
para x
Funciones de polinomios
donde n es un entero no negativo.
Función lineal
f(x) = ax + b, a * O
La gráfica de una función lineal es una recta.
Formas de ecuaciones de rectas:
Punto pendiente: y - Xo = m(x - xo),
Pendiente ordenada al origen: y = mx + b,
donde m es la pendiente.
Función cuadrática
f(x) = ax^2 + bx + e, a * O
La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Vértice (h, k) de una parábola
Complete el cuadrado en x para f(x) = ax: + bx + e para obtener f(x) = a(x - h)2 + k. De manera alterna, calcule
las coordenadas
Funciones par e impar
Par: f( - x) = f(x); simetría de la gráfica: el eje y
Impar: f( -x) = -f(x); simetría de la gráfica: el origen
FM-
Transformaciones rígidas
La gráfica de y = f(x) para e > O: y = f(x) + e, desplazada hacia arriba e unidades
y = f(x) - e, desplazada hacia abajo e unidades
y = f(x + e), desplazada hacia la izquierda e unidades y = f(x - e), desplazada hacia la derecha e unidades
y = f( - x), reflexión sobre el eje y
y = -f(x), reflexión sobre el eje x
Función racional
p(x) anxn^ + + a,x + ao f(x) = q(x) = bmxm^ + + b,x + bo'
donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales.
Asíntotas
Si las funciones polinomiales p(x) y q(x) no tienen ningún
factor en común, entonces la gráfica de la función racional
p(x) anxn^ + + a,x + ao f(x) = q(x) = bmxm^ + + b.x + bo
tiene una
asíntota vertical:
x = a cuando q(a) = O,
asíntota horizontal:
y = a.] b.; cuando n = m y y = O cuando n < m,
asíntota oblicua:
y = ax + b cuando n = m + 1. La gráfica no tiene una asíntota horizontal cuando n > m.
Una asíntota oblicua se encuentra mediante una división.
Función potencia
f(x) = x",
donde n es cualquier número real.
Revisión de trigonometría
Definición de seno y coseno de acuerdo
con el círculo unitario
y
y = sen ()
x x = eos ()
Otras funciones trigonométricas
tan () = ~ = sen () eot () = ~ = eos ()
x eos ()' y sen ()
see () = -^1 = -- 1 ese () = -^1 = --^1
x eos ()' y sen ()
Fórmulas de conversión
1 grado = 1;0 radianes
(^1) fa diáJan (^) = -:;;:- (^180) gra dos
Definición de seno y coseno de acuerdo
con el triángulo recto
hip
(J
opu
sen () = hip
opu ady
eos () = -hoJp
ady
Otras funciones trigonométricas
opu ady
tan () = -d'a y eot () = -OpU
hip hip
see () = -d'a y ese () = -OpU
Signos de seno y coseno y
--r----r---~x
lJI IV
Valores de seno y coseno para ángulos especiales
Límites para las funciones seno y coseno
- 1 ::5 sen x ::5 1 Y - 1 ::5 eos x ::5 1
Periodicidad de las funciones trigonométricas
sen(x + 2'TT) = senx, eos(x + 2'TT) = eosx see(x + 2'TT) = see x, ese(x + 2'TT) = ese x tan (x + 'TT) = tan x, eot(x + 'TT) = eot x
Identidades de cofunción
sen (; - x) = eos x
eos(; - x) = sen x
tan (; - x) = eot x
Identidades pitagóricas
sen^2 x + eos^2 x = 1
- tarr' x = sec'' x 1 + cof x = ese? x
Identidades par/impar
Par
eos(-x) = eos x see(-x) = see x
Impar
sen(-x) = -senx
ese ( - x) = - ese x
tan(-x) = -tan x
eot( - x) = -eot x
Funciones exponencial y logarítmica
El número e
e = 2. ...
Funciones hiperbólicas
eX - e-X eX + e-X
senh x = 2 ' cosh x = 2
Definiciones del número e
e = lím (1 + .!.)X X---1'OO X e = lím (l ,,~O + h)l/h
senhx
tanh x = --h-'cos x h^ cot x = cosh--h-^ x
sen x
sech x = --h-'^1
cos x
csch x = --h-^ I
sen x
Función exponencial
f(x) = b', b > O, b "* 1
Funciones hiperbólicas inversas como logaritmos
senh-I^ x = In(x + V?""+l) cosh-I^ X = In(x + w-=-l), x 2:: 1
tanh " x = ~lnC ~ ~), Ixl < 1
coth " x = ~In(~ ~ ~), Ixl > I
sech _^ I x = In (1^ +~) x ' O < x :S 1
csch _ IX^ = In ~(1~) + Ixl ' x "* O
Identidades par/impar
Par
cosh( - x) = cosh x
Función exponencial natural
f(x) = e'
Función logarítmica
f(x) = log, x, X > O
donde y = IOgbX es equivalente a x = b-v
Función logarítmica natural
f(x) = log,» = In x, x > O donde y = In x es equivalente a x = el'
leyes de logaritmos
IOgbMN = log, M + IOgbN
M
Iog, N = logbM - IOgbN
IOgbMC = e IOgbM
Impar
senh(- x) = - senh x
Propiedades de logaritmos
IOgbb = 1, log, 1 = O logbbX^ = x, blogbX = X
Identidades adicionales
cosh? x - senh? x = 1
1 - tanh? x = sech? x
coth? x - 1 = csch? x
senhtx, ± X2) = senh XI cosh X2 ± cosh XI senh X
coshíx¡ ± X2) = cosh XI cosh X2 ± senhx, senh X
senh 2x = 2 senh x cosh x
cosh 2x = cosh/ X + senh? x senh? x = ~(-l + cosh 2x) cosh 2X = ~(l + cosh 2x)
Cambio de la base b a la base e
In x
log,.» = In b
FM-
Diferenciación
Reglas
- Constante: dx^ d e = O
d
2. Múltiplo constante: dx cf(x) = cf'(x)
- Suma:! [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)
- Producto: !f(x)g(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
. d f(x) g(x)f'(x) - f(x)g'(x)
5. Cociente: dx g(x) = [g(x)] 2
- Cadena: !f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
- Potencia:.^ dxxd"^ = nx,,-
- Potencia:! [g(x)r = n[g(x)r-Ig'(x)
Funciones
Trigonométricas:
9. dxsenx^ d = cos x
- !tan x = sec? x 10. dxd cos x = -sen x 12. dx^ d^ cot x = -csc^2 x
13. -sec^ d x = sec x tan x
dx
- -csc d x = -csc x cot x
dx
Trigonométricas inversas:
d -1 _ 1
15. -d sen x - • ¡-;---;;
x vi - ~
16. dxcos^ d^ -1x =^1 Logarítrnicas: ~ (^) 35. dxln d (^) 111 x = ~ (^) 36. dxd^ log, x = x(ln^1 b)
FM-
d _ 1 d 1
17. dx tan 1 x = 1 + ~ 18. dx coCI^ x = - 1 + ~
d _ 1 d -1 _ 1
- sec 1 x = • ¡-;;---; 20. dx ese x - • ~ dx Ixl V ~ - 1 Ixl v x: - 1
Hiperbólicas:
21. -^ d senh x = cosh x
dx
23. dx^ d tanh x = sech? x 22. dxd cosh x = senh x 24. dxd^ cot h^ x = -csc h^2 _x
- dx_^ d sech x = - sech x tanh x
- -csch^ d x = -csch x coth x
dx
Hiperbólicas inversas:
d 1 d -1 1
- -senh-I^ x = • r=:": 28. dxcosh x = dx v~+1 w-=l
- ~tanh-I x = __ 1_ 30. ~coth-I x = 1
dx l-~ dx 1-~
d _1 _ 1
31. dxsech^ x - x~
d -1 _ 1
32. dxcsch x - • ~
Ixl v x: + 1
Exponenciales:
d
33. dxex^ = e'
FM-10 Fórmulas matemáticas
36. f du = __ 1_Ya2^ - u2^ + e
u^2 Ya^2 - u^2 a^2 u
37. f (a^2 - u^2 )3/2du = -~(2u2 - Sa^2 )Ya^2 - u^2
+ 3a 4 gsen -1^ ~ u^ +^ e
38. f du = u + e
(a^2 - u^2 )3/2 a2Ya2^ _ u
Formas que implican Y u^2 - a^2
39. f y u^2 - a^2 du = ~ y u^2 - a^2
a^2 ~.,-----:-
- 2lnlu + Yu^2 - a^21 + e 40. f u^2 Yu^2 - a^2 du = ~(2u2 - a^2 )Yu^2 - a^2 4
- ~lnlu + Yu^2 - a^21 + e
f
41. Yu2 -^ a^2 du = Yu^2 - a^2 - acos-I- a + e
u u
f
y u2 - a2^ y u2 - a
42. du =
u^2 U ,------
43. f ~/ du = lnlu + Yu^2 - a^21 + e y u^2 - a^2
44. f u
du = !!'-Yu2^ - a
Yu^2 _ a2 2 a^2 ~---::-
f
45. du^ = Yu^2 -^ a^2 + e
u^2 Yu^2 - a^2 a^2 u
46. f (u2 !Ua2)3/2- a2yu~ _ a2 + e
Formas que implican a + bu
47. f //~u = :2 (a + bu - alnla + bul) + e
f
u2 du 1
48. a + bu = 2b3 [(a + bu)2 - 4a(a + bu)
49. f u(a ~ bu) = ~lnla: bul + e 50. f du - _---.L + ~lnla + bul + e u^2 (a + bu) au a^2 u
f
51. u^ du^ = a^ + -In^1 la + bu I + e (a + bu)2 b^2 (a + bu) b^2 52. f du = 1 - 1.-ln I a + bu I + e u(a + bu)2 a(a + bu) a2^ u 53. f u
du 2 = ~(a + bu - +a
(a + bu) b a b u-^ 2alnla +^ bul)+^ e
54. fuv'a + bu du = ~(3bu - 2a)(a + bu)3/2 + e
lSb
f
55. v' au du +^ bu = 3b2 (bu -^2 2a) v'li+bUa + bu + e 56. f ~ = ~(8a2 + 3b^2 u^2 - 4abu)v'a + bu + e a + bu lSb 57. f (^) uvu+bu ~==~~lnl~-~I+c va a+bu+ a ' sia>O
= • ¡--:tan^2 I~a^ -- +^ bu^ + e, SI. a_ < O
y-a -a
58. f Va+bU du = 2 Va+bU + a f du
u uv'li+bU
59. f Va+bU du = Va+bU + !!. f du u2^ U 2 uv' a + bu
f
2 - 2u"(a + bu)3/
60. u v' a + bu du - b(2n + 3) - b(2n^ 2na +^ 3) f^ u ,,-l. va^ ~b^ + ou du
f
u" du 2u"v'li+bU 2na f U,,-I du
61. v'a + bu = b(2n + 1) - b(2n + 1) Va+bU
f
du Va+IJü
62. u"v'a + bu = a(n - l)u,,-I b(2n - 3) f du
2a(n-l) u,,-Iv'a+bu
Formas trigonométricas
63. f sen? u du = ~u - ¡sen 2u + e 64. f cos^2 u du = ~ u + ¡sen 2u + e 65. f tan^2 u du = tan u - u + e 66. f cot^2 u du = -cot u - u + e 67. f sen ' u du = -t(2 + sen^2 u)cos u + e 68. f cos ' u du = t(2 + cos? u)sen u + e 69. f tarr' u du = ~tan2 u + lnjcos ul + e 70. f cof u du = -~cot2 U - lnlsen ul + e 71. f sec' u du = ~sec u tan u + ~lnlsec u + tan ul + e
- (^) fese3 u du = -lese 2 u eot u + llnlese 2 u - eot ul + e
f sen" u du = -;;:^1 sen?" 1 u eos u + n --n-^1 f^ sen n-2^ u du
f cos" U du = ;;:eos I^ n-^1 U sen U + -n-n -^1 f^ eos n-O -^ U dU
f
tan" U du = -l-tan"-1 n - 1 U - ftann-^2 U du
f
eot" U du = ---1 eot n-I^ U - f^ eo t,,-2^ U dU
n - 1
f
see" U du = -- 1 tan U see 11-2^ U + ---=-1 n -^^2 f^ see n-2^ U dU
n - 1 n
f
ese" U du = ---1 eot U ese ,,-2^ U + ---=-1 n -^^2 f^ ese ,,-2^ U dU
n - 1 n
f
- sen(a - _b)u __ sen(a + b)u + e sen au sen bu du - 2(a - b) 2(a + b)
f
sen(a - b)u sen(a + b)u e eos au eos bu du = 2(a _ b) + 2(a + b) +
f
eos(a - b)u eos(a + b)u e sen au eos bu du = 2(a _ b) - 2(a + b) +
f U sen U du = sen U - U eos U + e
f u eos u du = eos u + u sen u + e
f u" sen u du = - u" eos u + n f U"-I^ eos u du
f un eos u du = un sen u-n f U"-I^ sen u du
f
sen,,-I U eoslll+ 1 U
sen" U cos" u du = n + m
n+m
sen"+lu eoslll-I^ u
n+m
+ m - 1 fsenll u cos'"? u du
n+m
f
du = ltan(1T + au) + e
1 - sen au a 4 2
(^) f 1 + ~~nau = -~tan(; - a;) + e
f -1-_-
U =:=e U -=--n-a-u = ~ tan (; + a;)
Fórmulas matemáticas FM-
Formas trigonométricas inversas
90. f sen -1 u du = usen -1 u + ~ + e
- feos -1 u du = u eos -1 u - ~ + e
- ftan-' udu = utan-I^ u - ~ln(1 + u^2 ) + e
f
2U2 - 1 -1 u~
- usen -1 u du = 4 sen u + 4 + e
f
94. u eos -1 u du = 2u2 - 4^^1 eos -1^ u - u~^ 4 +e
f
95. u tan -^ 1 u du = --2- u^2 +^1 tan -1^ u - "2 u + e 96. f u"sen-I^ u du = n! 1 [un+^1 sen " u - f u"+ 1 du o], n '* - ~ f u"eos-I^ u du = n! 1 [un+^1 eos-I^ u
+ f3], n,*-
1 - u^2
f
u" tan -1^ u du = -- 1 [n+1 u^ tan -1 u
n + 1
- fu
n +
,
dU], n,*-l
1 + u^2
Formas exponenciales y logarítmicas
99. f ue" du = ~2 (au - 1)eaU + e 100. f ««: du = ~uneau - ; f U,,-Ie,," du
fe
au (^) sen bu du = eau^ (a sen bu - b eos bu) + e a^2 + b^2
f
eaueos bu du = e"u (a eos bu + b sen bu) + e a^2 + b^2
f In u du = u In u - u + e
f
-1-dU = lnlln ul + e
u In u
f
u" In udu = u
n +
1 [en + 1)ln u - 1] + e (n + 1f
f
um+1 In" u
u" In" u du = m + 1
- __ n f um_^ Inn-I^ u du,
m+
m'* -]
Respuestas a la evaluación diagnóstica
Evaluación diagnóstica, página xv
- falso
- falso
- 12 3XJ + 8x
v~ + 4
9. a) 0, e) 1 10. a) (5x + 1)(2x - 3)
e) (x - 3)(~ + 3x + 9)
- falso
verdadero -a + 5 a), b), d), e), g), h), i), l) i)d); ii)c), iii)a); iv)b) a) -2 < x < 2; b) Ixl < 2
-) 3
- (-00, -5]U[3,00)
- cuarto
- -12; 9 26. a) (1, -5) b) (-1, 5)
- (-2, O),(0, -4), (0, 4) 29. x = 6 o x = -
- verdadero
- verdadero
- 8. 2(x + ~y+ ~ b) - 1 + \16, - 1 -
d)l b) ~(x + 3)(x - 5) d) (x - 2)(x + 2)(~ + 4)
- falso
- 6; - 6
- (-00, -2)U(t 00)
- (-00,-2)U[0,1]
- (5, -7)
c)(-I,-5)
28. segundo y cuarto
- ~ + l = 25 31. d(Pt. P2) + d(P2, P3) = .ur; P3) 32. e) 33. falso
- -27 35. 8
- 3;^2 (-9, O); (0, 6) 37. Y = -5x + 3 38. Y = 2x - 14 39. Y = -3x^1 + 3 40. Y = -gX^5
- i) g); ii) e); iii) h); iv) a); v) b); vi)j); vii) d); viii) e)
- falso 45. 41T/
- sen e = ~; cos e = t tan e = i; cot e = t sec e = ~; ese e = i
50. b = 10 tan e, e = 10 sec e
- 4 = 641 /^3
- aproximadamente 2.
- verdadero 41. x - v'3y + 4 v'3 - 7 = °
- falso
- 15
48.cos t = --3-^20
51. k = 10 In 5
- log, 125
- 1000
Respuestas de los
problemas impares
Problemas 1.
- 3 + 6 + 9 + 12 + 15 3. 2 T^ + 222 + 2 "3^3 + "4^24 1111111111
- -7 + "9- TT + 13 - 15 + 17 - 19 + 2T - 23 + 25
- (2^2 - 4) + (3^2 - 6) + (4^2 - 8) + (52 - lO)
7
- ,L (2k + 1) k~ 5 (_I)k+ 15. ,L-- k~1 k
12
- ,L (3k + 1) k~O
4 (_ 1 )kk+ 1 k7T
19.,L ~ cos-x
k~ 1 P
- 420
- 109
- 18
- 83
- 136
- 252
- 9
- 3"
- ¡^1 77 25
- 60; 12 47. y
+---t--~x
Problemas 1.
- 2;^33 1 3 ~.^3 . 256' (^4)
- ¡(3^1 - V2)7T; 7T 7. 5
- (^) [V9+7dX 11. f(l + x) dx
- -4 (^15). ~ 6
- 34 21.^4
- 12 25. -
- 40 29. (^283)
37. O
b) 3.9 e) -1.2 d) 1.4 e) 2.7 f) 0. 47 ••
43. a) -2.
-1 -,
Problemas 1.
- 3x + e
(^5). lX2/3 2^ +^ e
9. x^3 + ~ - x + e 13. 3X3^16 + 4x^2 + X + e
- 16w^4 - 16w^3 + 6w^2 - W + e
- In Irl + IOr-^1 - 2r-^2 + e (^19). -"2^1 x^ -2^ +^ 3"x^1 -3^ - ¡X^1 -4^ +^ e
- -4 cos x - x - 2x-^4 + e
- -2 cot x + 3x + e 29. x^2 - x + 5 tan-I^ x + e 41. x^2 - 4x + 5 45. -x-I^ + e 49. y = ~ - x + 1
51. ¡7T^9
7T
- 2 5
- " 3. iX6 + e 7. t - ~~t0.48 + e 11. ~X7/2 - ~~/2 + e
- -cot x + ese x + e 27. 4x^2 + x - gex^ + t
- tan x - x + e
- ~ + 9x + e 47. x - ~ - cos x + e
RES-4 Respuestas de los problemas impares
- (^) /otan-{~x) + e 11. 20 InI^ 12x -2x +^515 +C
- 10 I^ In [sen 10xl + e 15.^ (3 -^ 5t)-L2^ +^ e
- 31nlsee^ I^ 3x + tan 3xl + e 19.^ ~(sen-I^ X)2^ +^ e
- (^) -tan -I(eos x) + e 23. ¡tanhI x^4 + e
- 2seeI^ 2x + e 27.^ ese (eos^ x)^ +^ e
- 3(1^ I^ + tan X)3 + e 31. 21n(lI + e2x) + e
Problemas 2.
- t(x + 1)5 - ¿(x + 1)4 + e 3. ~(X - 5)5/2 + 232 (x - 5)3/2 + e 5. ~(x - 1)3/2 + 2(x - 1)1/2 + e 7. ~(3x - 4)1/2 - 296 (3x - 4)-1/2 + e 9. 2v'X - 2 tan-1v'X + e 11. (\Ít + 1)2 - 10(\Ít + 1) + 8 In (\Ít + 1) + e
- 130 (¿ + 1)5/3 - ~(¿ + 1)2/3 + e
- ---^.^ I^ - I^ - I + e x-I (X-I)2 3(x-I)
- 2w-=! - 2 tan-1w-=! + e
- ~(I - v'v)5/2- ~(I - v'vr + e
- ~(I + \Ítl/^2 + e
- In(¿ + 2x + 5) + %tan-<x: 1) + e
- -2\1'16 - 6x - ¿ - sen-{x; 3) + e
- 2x1/2 + 3XI/3^ + 6XI/6 + 6 In IXI/6- II + e
- 506375 31. 6 + 20 In 14 II
- 17 2
7 35. 1
I
- -3-327T - 47T In 3
- 3 + 3 In 32
- -~ + 3 In 2 232
- 15
Problemas 2.
- ~x(x + 3)3/2 - ~ (x + 3)5/2 + e 3. x In 4x - x + e 5. 2.rI^2 In 2x - ¡X^1^2 + e 9. t(ln t)2 - 2t In t + 2t + e 13. 3xe3X -^ I^ 9"e^1 3x^ + e
- -x-I^ Inx - x-I^ + e
(^15). -¡X I (^) (^3) e -4x (^) - 16 (^3) x e (^2) -4x (^) - 32xe (^3) -4x (^) - T28 (^3) e-4x + e
19. st^ I^ sen 8t + 64 eosI 8t + e
- x2^ eos x + 2x sen x + 2 eos x + e 23. 3x-^ I^ ,^ ser. 3,,( + 3¿I^ eos 3x - 9"x^2 sen 3x - 27 eos^2 3x + e
- 117 ¿(sen 4x - 4 eos 4x) + e 27. te-28(sen e - 2eos e) + e 29. e see e - In [sec e + tan el + e
- 3 eos^1 x eos 2x + 23 sen x sen 2x + e
- ~ X^2 (X^2 + 4)3/2 - 125 (x^2 + 4)5/2 + e 35. 2x^ I^ sen (In x) - 2x I eos(ln x) + e
- -2 I^ ese x eot x + 21 In [ese x - eot x] + e 39. x tan x + In lcos x] + e 41. 21n3^3 7T I 43. -12e-2^ + 8e-^1 45. '4 - 21n (^2)
- 3 In 3 + e-I
- 57T(ln 5)2 - 107T In 5 + 87T
- 27T^2 53. 7T'4 -^2 I In 2 55. v(t) = -te-t^ - e'" + 2; s(t) = te-t^ + Ze " + 2t - 3 8(7T - 2)
- (124.8)· 2 = 115.48 lb 7T
- 4 tan " 2 - 7T/2 - In%
- -2vX+2eosvX+2 + 2 sen vX+2 + e
- _1. 3 sen? x eos x - ~ 3 eos x + e
- 30 cos?^ I^ 10x sen lOx + T5 I sen 10x + e
- 357T 256 83. b) 1:7T
Problemas 2.
- ~(sen x)3/2 + e 3. sen x - 3 sen^13 x + e
- -eos t + ~ 3 cos ' t - 1. 5 cos" t + e (^7) ·461. sen" x - 1. sen? x + e 9. st^3 - ¡I sen 2t + 32 senI 4t + e 11. J...x - J... sen 4x + J... sen' 2x + e 16 64 48
3 I I
- T28x - T28 sen 4x + l024 sen 8x + e
- S^1 tan" 2t + 121 tan" 2t + e
- ¡^1 tan x sec? x - S sec^1 x tan x - SIn^1 [sec x + tan xl + e
- ~(sec X)3/2 + 2(sec X)-1/2 + e 21. t sec? x - t sec" x + e
- ¡^1 tan x sec ' x + S sec^3 x tan x + S^3 In [sec x + tan xl + e
- In [sen xl + 21 cos? X + e
- _--.L cot!' x - --.L cotl3 x + e 11 13
- 71 + 1 + e 7 tan (1 - t) 5 tarr'( 1 - t)
- 21 sec x tan x + 2 sec x + 21 In [sec x + tan xl + e
- 3"^1 tarr' x - tan x + x + e
- l 5 tarr' x - l 3 tarr' x + e 25V
- ¡^3
- -^1 sen 2x - -^1 sen 6x + e 4 12
SS. 167T 3
- -2^1 ese? t - In [sen ti + e
- _l cos ~ + l COS3~ + e
- o
- -6^1 cos 3x + 21 cos x + e
SI. 125
57. 5-yz
Problemas 2.
- -sen -1^ x - ~ + e x 3.^ 1nlx+^ ~I^ +^ e S. l(x2 3^ +^ 7)3/2 +^ e
- _l(1 3^ -^ X2)3/2^ +^ l(1 5 -^ X2)5/2^ +^ e
9. 4-Vx2--=4 x^ +c
11. -ixR+4 + 2 In xlVX2^ ~ 4 + xl +c
- (^) sen-I(~) + e
15. ±lnl4^ -^ V:6^ -^ x
(^1) +c
17. Inl V^ x
: 1 - 1 I + e (^) 19.
(1 - X2)3/
+c 3x^3
- ~ - sen-I(~) + e 9 - x^2 3
(^23). 2 (^1) tan -1 (^) x + (^) 2(1 X + ~) (^) +e
3
25. x _ x + e 16~ 48(4 + X2)3/
- In IVx
Respuestas de los problemas impares RES-
29.--.Ltan-l(x+3)+ 2 x+^3 +c 16 2 8(x + 6x + 13) 31.-5x^ - 1 + e 33. In(x2^ + 4x + 13) + e 9\15 - 4x - x^2
35. x - 4 tan-I^ ~)+ e
- 2 sen-I(x - 3 3) + l(x 2 - 3)\19 - (x - 3)2 + e
- :327T + ,Mv 3 41. 50 V
- 2V3 - 1 8
45. ~x3 sen " x + ~~ - ~(1 - x2)3/2 + e
- V3^ 11(V2-1) n 2 - V
53. 127TV2 - 47T In (V2 + 1)
SS. 2 - V2 - In (\1'6 - /3)
57. b) Y = -101nCO^ - ~OO - x
2 ) - V100 - x^2
- 15.67T = 49.01 lb
Problemas 2.
- i+B x x + 1 3. A + ~2 + e 2 + D 3 X - 1 x + (x + 2) (x + 2) S. i + B 2 + C 3 + DX 2 + E x x x x+
- Ax ---+^ +^ B^ ...:C=-=,x,---+---=D=-:- x^2 + 9 (x^2 + 9)
- --i In Ixl + -i In Ix - 21 + e
- -2 In Ixl + 25 In 12x - 11 + e
- S^5 In Ix - 41 + S^3 In Ix + 41 + e
- -6 1 In 12x + 11 + 3"^2 In Ix + 21 + e
- 6 In Ixl - 27 In Ix + 11 - 23 In Ix - 11 + e
- 21 In Ix + II - In Ix + 21 + 21 In Ix + 31 + e
- -2 In Itl - t-I^ + 6 In It - II + e
- Inlxl-Inlx + 11 + (x + 1)-1 + e 25. -2(x + 1)-1 + ~(x + 1)-2 + e
27. -3^12 ln ]» + 11 - 116 (x + 1)-1 + 31 2 ln ]» + 51
- :: In Ixl - 1: x-I^ + 181 x-^2 - ~X-3 + ~~ In Ix + 21 + e
- 3 tan x + sec x + e
- "2x^1^2 (1 + In X)2 - "2x^1^2 (1 + In x) + 4X2^1 + e 73. e'' + e 75. t^2 - In(1 + el') + e
- -k sen-I(5x + 2) + e (^) 79. (sen x) In [sen xl - sen x + e
Problemas 3.
- s(t) = 6t - 7 3. s(t) = 3t3^1 - 2t^2 + 15 5. s(t) = -"2^5 sen^ (4t + 7T/6) + 5 " 7. v(t) = -5t + 9; s(t) = -"2t2^5^ + 9t -^9 " 9. v(t) = (3 - 2t^2 + 5t - 3; s(t) = 4t4 -^1 3t3^2 + "2t2 -^5 3t + 10 11. v(t) = 'i" -^21 t - 26; s(t) = 4(7/3^9 - "2t2 -^1 26t - 48
- 17 cm 15. 34 cm
- 24 cm (^) 19. 3~ mi = 176 pies
- 30.625 m
- -80 pies/s
- 256 pies
- 400 pies; 6 s
Problemas 3.
1. 3^4
- " I
(^3) · 4-ª.l
(^7) · 2.!l
11.!l
- ~ (2^4 /^3 + 34 /^3 )
- 27T
- 2;
- ~I
- 130
- 1~
49. 4"\1'3 - 47T/
55. 97T/
- 3
- 2V2 - 2
- 7 + 3 In 4^3 = 6.
- 4 + 27T
- 5 3
59. tt ab^2
Respuestas de los problemas impares RES-
63. A = (In _\ex __ 1) dx + (In 2(2 _ e') dx, Jo j'n ~
A= r[lnY-ln~(y+l)]dY;
In 27 = 0.
Problemas 3.
1. 256"\1'3^ 3. 128
5. 107T/3 7. 9
9. 7T/2 11. 47T/
13. 7T/6 15. 1 2967T/
17. 7T/2 19. 327T/
21. 327T 23. 77T/
25. 2567T/15 27. 37T/
29. 367T 31. 5007T/
- 167T/105 (^35). 7T(2 e -1^ -"2^1 e^ -2^ -"21)
- 7T^2 39. 4(47TI - 7T^2 )
Problemas 3.
1. 47T/
5. 87T/
9. 36\Í?J7T/
13. 167T
- 2i7T/
- 2437T/1O
- 6257T/
- "2(7T- -^1? 27T)
3. 7T/
7. 2507T/
11. 37T/
15. 87T/
19. 7T/
23. 47T
27. 2487T/
- 37Trh^ I
33 ±7Tr3 35.^4 37Tab^2
Problemas 3.
- 2V2 (^) 3. 21 7(13^3 /^2 - 8) = 1.
(^7) • 1.2 3
- 9
- 288 = 16.
- rVI + 4~ dx
- 2~ (40^3 /^2 - 8) = 9.
- 7T/
- 1"VI + cos? xdx
19. b) 6
Problemas 3.
- 2087T/3 3. ;; (10^3 /^2 - 1) = 3.
- 3 tan x + sec x + e 71. 2x2(l^ I^ + In X)2 - 2x\1 I^ + In x) + ¡X2 I + e 73. e" + e 75. (2 - In(1 + e") + e (^77). "5I (^) sen -1 (5x + 2) + e 79. (sen x) In [sen xl - sen x + e
Problemas 3.
- s(t) = 6t - 7 3. s(t) = ~t3 - 2(2 + 15 5. s(t) = -2^5 sen(4t^ + 7T/6) + 25 7. u(t) = -5t + 9; s(t) = -2(2 +^5 9t - 29 9. u(t) = t^3 - 2t^2 + 5t - 3; S(/) = ¡t^1^4 - 3"t^2^3 + 5 2t2 - 3t + 10 11. u(t) = 4t4/3^21 - t - 26; s(t) = 9 ¡t^^7 /^3 - 2t2^1 - 26t - 48
- [7 cm 15. 34 cm
- 24 cm (^) 19. 3~ mi = 176 pies
- 30.625 m
- -80 pies/s
- 256 pies
- 400 pies; 6 s
Problemas 3.
- 3" 9
- 2
(^9). 4 II
(^7) · 2 II
(^1111) · 6
- ~ (2^4 /^3 + 34 /^3 )
- 27T
- 2}
- ~[
- 130
- 1~
- 2
49. 4\13 - 47T/
55. 97T/
- 3"
- 2V2 - 2
- 7 + 3 In ¡^3 = 6.
- 4 + 27T
- 5 3 59. trab^2
Respuestas de los problemas impares RES-
A = f[In y - In ~(y + 1)] dy;
Problemas 3.
256\
5. 107T/
9. 7T/
13. 7T/
17. 7T/
21. 327T
25. 2567T/
29. 367T
33. 167T/I
37. 7T^2
Problemas 3.
1. 47T/
5. 87T/
9. 36V?J7T/
13. 167T
17. 217T/IO
21. 2437T/IO
25. 6257T/
29. -(7T 2 I^2 - 27T)
- 4 -7Tr^3 3 2 4
37. V^ =^ 7Tr^2 h^ _^ 7TW 4gr
Problemas 3.
1. 2V
- 288 = 16.
- rVI + 42 dx
- 2~ (40^3 /^2 - 8) = 9.
- 7T/
Problemas 3.
1. 2087T/
In 27 = 0.
11. 47T/
15. 1 2967T/
19. 327T/
23. 77T/
27. 37T/
31. 5007T/
(^35). 7T(2 e -1^ - 2 I^ e -2^ - 2 1)
- ¡(47T^1 - 7T^2 )
3. 7T/
7. 2507T/
11. 37T/
15. 87T/
19. 7T/
23. 47T
27. 2487T/
- 3"7Trh^1
35.^4 3"7Tab^2
- 2~ (I 33 /^2 - 8) = 1.
(^7). lQ 3
- 9
- rVI + cos? _xdx
- b) 6_
- ;; (10^3 /^2 - [) = 3.
