Fórmulas para Física, Apuntes de Física

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1. MAGNITUDES

 Se llama magnitud a cualquier característica de un cuerpo que se puede medir y ex- presar como una cantidad. Así, son magnitudes la altura de un cuerpo, la tempe- ratura, y no son magnitudes el sabor de una fruta, la bondad de una persona, etc.

 Se llaman magnitudes derivadas las que pueden expresarse en función de otras mag- nitudes, y fundamentales las que se toman como base para definir las demás. La decisión de qué magnitudes se consideran fundamentales se tomó en un momento determinado, de forma que hoy tomamos como fundamentales la longitud [ L ], la masa [ M ], el tiempo [ T ], y adicionalmente otras como la temperatura, la intensidad de corriente eléctrica, etc.  Para saber la expresión de una magnitud derivada, en función de las fundamenta- les, se usan las llamadas ecuaciones de dimensiones. Tomando la ecuación con la que calcu- lamos una magnitud, sustituimos cada magnitud por las dimensiones correspondientes:

✎ Ejemplo:

✍ Obtener las ecuaciones de dimensiones de la velocidad, la aceleración y la fuerza.

Para la velocidad:

Para la aceleración:

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] 2

− (^1) − = = ⋅ = L ⋅ T T

L T

t

a v

[ ]

[ ]

= = =[ ] [ ] L ⋅ T −^1

T

L t

v e

Y en cuanto a la fuerza:

 Dentro de las magnitudes cabe distinguir entre MAGNITUDES ESCALARES, en las que sólo es necesario un número para caracterizarlas (el metal está a 300° C), y MAGNITUDES VECTORIALES, en las que es necesario conocer la dirección y el sentido asignado a la magnitud. Si digo: «El tren se mueve a 120 km/h», está claro que no es lo mismo que se dirija al sur, al norte o venga directamente hacia nosotros, con lo cual para caracterizar algunas magnitudes, como la velocidad, es imprescindible dar la can- tidad, la dirección y sentido.

2. UNIDADES DE MEDIDA

 Cuando decimos que una magnitud es algo que se puede medir, tenemos que pensar qué significa medir. MEDIR consiste en comparar algo con un patrón, que en principio podría ser la longitud de nuestro pie (la mesa mide cinco pies de ancha), el volumen de nuestra mano (he tomado tres puñados de tierra), etc. Así, cuando medi- mos, damos una cantidad, y la unidad que hemos tomado como patrón (el pie, el pu- ñado, etc.). El problema se presenta si otra persona tuviera que comparar nuestras me- didas y calzara un 47, mientras nosotros usamos un 39. Para evitar esos problemas un conjunto de países se reunieron y decidieron tomar unos patrones comunes de medi- da, el llamado Sistema Internacional de unidades (SI).

Magnitud Unidad Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Temperatura kelvin K Cantidad de materia mol mol Intensidad eléctrica amperio A

F = m ⋅ a = [ ] [ ] [ ] M ⋅ L ⋅ T −^2

3. PROCESOS DE MEDIDA: ERRORES

 Cuando se realiza una medida, es decir, cuando comparamos una magnitud con un patrón, no podemos dar un resultado completamente preciso, y ello puede ocurrir por varias razones, como ahora veremos.  Para expresar el resultado más correcto posible utilizamos el redondeo. Para re- dondear tomamos una cifra como última significativa, y si el valor de la cifra de la de- recha es mayor que cinco, la significativa se aumenta en una unidad.

✎ Ejemplo:

✍ Redondea el número 0,7803546.

 Sin decimales. La cifra a la derecha del 0 es un 7, luego queda como 1.  1 decimal. Sería 0,7, pero al ser un 8 el de la derecha se incremente, quedando 0,8.  2 decimales. En este caso, el cero no altera al número anterior, por lo que es 0,78.  4 decimales. Al ser un cinco el número siguiente a la última cifra significativa se incrementa en una unidad, 0,7804.

Una vez entendido el proceso de redondeo, vamos a estudiar los tipos de error que podemos encontrarnos:

 ERRORES SISTEMÁTICOS Ocurren siempre que se realiza la medida, por ejemplo por la precisión máxima del ins trumento de medida (en este caso, el error es la mitad de la precisión del instru- mento).

 ERRORES ACCIDENTALES Ocurren accidentalmente, es decir, pueden producirse en una medida y no en otra (por ejemplo, por un error de la persona que realiza la medida). Se corrigen tomando varias medidas y calculando la media.

 El proceso de medida consistirá entonces en:

 Realizar varias medidas y calcular la media de ellas.

 Hallar la media del valor absoluto de la diferencia entre las medidas y la media calculada. El mayor entre este número y la incertidumbre de la medida (la mitad de la precisión del instrumento) es el error absoluto de la medida.  Dividir el error absoluto entre el resultado de la medición y multiplicar por cien. (Éste es el error relativo.)

✎ Ejemplo:

✍ Con un metro de 1 mm de precisión, se toman cinco medidas de la anchura de una tabla, obteniéndose los siguientes resultados: 389, 392, 375, 385 y 382 mm. Calcula la medida, el error absoluto y el error relativo.

 El error introducido por la precisión del instrumento es 0,5 mm.

 La medida será la media de las lecturas:

 El error, calculado como media de las diferencias entre las lecturas y el valor me- dio, en valor absoluto, es:

 Así, como 5 es mayor que la precisión 0,5, la medida se escribe como 385±5 mm (hemos redondeado el valor medio sin decimales, debido al error obtenido). El error relativo cometido es:

100 1 , 3 % 385

(^5) ⋅ =

5 5

5 8 9 1 2

5

389 384 392 384 375 384 385 384 382 384

• • • • =

=

=

− + − + − + − + −

384, 5

389 + 392 + 375 + 385 + (^382) =

1. CONCEPTOS BÁSICOS

 P OSICIÓN

La posición de un cuerpo responde a la pregunta: ¿Dónde está? Para ver cómo res- pondemos a esta pregunta, consideremos un tesoro escondido en un páramo como se ve en la figura:

Para indicar dónde está enterrado podríamos decir, según el primer dibujo: desde el árbol, 7 metros hacia la piedra y 3 metros hacia la derecha, o, según vemos en el se- gundo: 2 metros hacia el norte y 7,3 metros hacia el este. Si pensamos bien, para es- pecificar la posición del tesoro hemos necesitado:

 Tomar un origen, en nuestro caso el árbol.  Marcar unas direcciones, árbol-piedra y perpendicular, o norte y este.  Señalar las distancias (coordenadas) del tesoro en esas direcciones.

Está claro que podemos tomar cualquier par de direcciones o cualquier origen. Pues bien, cuando elegimos un origen y unas direcciones, decimos que hemos optado

3 metros

7 metros

N E 7'30 metros

2 metros

por un sistema de referencia, porque será a partir de él de donde determinemos la po- sición de cualquier cuerpo, mediante sus coordenadas.  En el caso de un cuerpo en el espacio, ne- cesitaremos un sistema de referencia de tres dimensiones, y la posición del cuerpo vendrá señalada por un vector (es como el caso del mapa, pero hemos de añadir una tercera mag- nitud, la altura desde el suelo a la que se en- cuentra el cuerpo).

 Si el cuerpo está en movimiento, este vec- tor irá variando en función del tiempo; es decir, en cada instante t , el cuerpo tendrá un vector de posición diferente r ( t ). Esta expresión re- cibe el nombre de ecuación de movimiento.

 Se llama trayectoria a la curva que describe el cuerpo al moverse por el espa- cio, y desplazamiento en un intervalo de tiempo, a la diferencia de las posiciones en- tre dichos instantes.

 En el dibujo de la izquierda, la mos- ca estaba en el instante t = 0 en el punto marcado por el vector , y en el ins- tante t = 10 se encontraba en el punto marcado por el vector. El despla- zamiento entre dichos puntos lo da el vector. Sin embargo, la mosca no se ha movido en línea recta entre ambos pun- tos, ha seguido la trayectoria que puedes ver dibujada. Esta trayectoria está for- mada por las «puntas» de los vectores posición en cada instante.

d^ r r^ r(^10 ) r

r (0)

r

r (10)

d

r = r

r (10) − r (0)

r

r xi yj z k r r r r = + +

d

r

r^ r( 0 ) tray

ectoria

Z

X

Y

Si el vector velocidad media nos daba el desplazamiento del cuerpo en el interva- lo, la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada punto de ésta y nos dice hacia dónde se está moviendo el cuerpo en ese instante.  La velocidad media está asociada al desplazamiento, y la instantánea, a la tra- yectoria.

Si te suena la expresión de la velocidad instantánea de matemáticas, no es ni más ni menos que la derivada de la función. Al ser un vector, la derivada es otro vec- tor que se obtiene derivando sus componentes. O sea:

✎ Ejemplo:

✍ Si un mosquito se mueve con la siguiente ecuación de movimiento:

¿Cuál es el desplazamiento entre los instantes t = 0 y t = 2 s?  Calculamos primero los vectores de posición en cada instante:

r i k r i j k

r r r r r r r ( 0 )= − 4 + ; ( 2 )= 20 + 4 + 3

Velocidad instantánea en t 0

Velocidad media en el intervalo t 0 , t

Trayectoria

t

t 0

r t t i t j t k r r r r ( )=( 12 − 4 ) +^2 +( 1 + )

k dt

dzt j dt

dyt i dt

dxt dt

dr v t

r r ()r ()r ()r ( )= = + +

r ( t )

r

 Ahora el desplazamiento será la diferencia de ambos vectores:

¿Cuál es la velocidad media entre dichos instantes?  Según la fórmula de la velocidad media:

¿Y la velocidad instantánea en t = 0 y t = 2?  Para la velocidad instantánea, hemos de derivar:

 Sustituyendo t = 0 y t = 2;

 Si piensas un poco, te darás cuenta de que cuando hablamos de la velocidad de un cuerpo solemos decir algo como «el coche iba a 110 kilómetros por hora», sin ha- blar de direcciones o sentidos; es decir, sin considerar que la velocidad es un vector. Lo que queremos expresar es que el módulo de la velocidad del coche era de 110 ki- lómetros por hora.

✎ Ejemplo:

✍ Un coche se ha desplazado del punto , hasta el punto , con las coordenadas expresadas en kilómetros, en 2 horas. ¿A qué velocidad ha he- cho el recorrido?

 En primer lugar, como no tenemos la expresión de la trayectoria, estamos hablan- do de velocidad media. Esa velocidad media será:

v (^) m r B r A i j i j

r r r r r r^ r 15 10 2

30 20 2

= − = − = −

rA i j r r^ r = 20 + 30 rB i j r r^ r = 50 + 10

v i k v i j k r r r r r r r ( 0 )= 12 + ( 2 )= 12 + 4 +

k i tj k dt

j dzt dt

i dyt dt

dxt dt

v r^ ( t )= dr r= ()r+ ()r+ ()r= 12 r+ 2 r+r

i j k i j k t t

v r r m

r r r r r r r r^ r = + + = + + −

= − 12 2 2

( 2 ) ( 0 ) 24 4 2 2 1

d r r i j k

r (^) r r r r r = ( 2 )− ( 0 )= 24 + 4 + 2

✎ Ejemplo:

✍ Calcula el vector aceleración de un cuerpo que se mueve según la trayectoria dada por el vector posición:

 Lo único que tenemos que hacer es derivar el vector posición dos veces:

, nos da la velocidad, y derivando otra:

Hemos visto que la aceleración se encarga de modificar el vector velocidad. Esto se puede hacer cambiando el módulo, la dirección o ambas cosas. Cuando cambiamos sólo el módulo, estamos incrementando la velocidad del cuer- po o frenándolo. Si sólo modificamos la dirección, hacemos que el cuerpo gire apar- tándose de una trayectoria en línea recta. Esto quiere decir que hay dos «tipos» de aceleración: una encargada de modificar el módulo de la velocidad (llamada aceleración tangencial ), y otra que se encarga de cambiar la dirección ( aceleración normal , radial o centrípeta ).

El módulo y dirección de cada una de estas aceleraciones se calcula de esta forma:

donde R es el radio de giro de la curva que se origina al cambiar de dirección.

t t n R u n u a^ v dt

dv a r r r

r r (^) = ⋅ =^2 ⋅

r t t t i tk

r 2 r 6 r 6

( 4 3 1 )^1 3

( )=^5 − + +

a t i t k r r 4 r 5 3

v r^ t ( 8 t 3 ) i r t^5 k r ( )=^40 + 3

( )=^5 − +

an

at a

v

El vector unitario tiene la dirección del vector velocidad (la aceleración tangencial actúa cambiando el módulo de este vector, recuérdalo). El vector es perpendicular al anterior, y apunta hacia el centro de la curva que se produce al cambiar la dirección de movimiento del cuerpo. Como los vectores unitarios son perpendiculares, y la aceleración total del cuer- po es la suma de las dos componentes, se podrá calcular su módulo mediante el teore- ma de Pitágoras:

✎ Ejemplo:

✍ Un cuerpo sigue la trayectoria dada por el vector posición. Calcula la aceleración tangencial y la aceleración total del cuerpo.  La aceleración total, la calculamos derivando dos veces el vector posición:

 Para hallar la aceleración tangencial, calculamos la derivada del módulo de la ve- locidad:

 Por tanto:

 Si quisiéramos escribirlo como un vector, necesitaríamos el vector unitario de la velo- cidad (recuerda que la aceleración tangencial y la velocidad tienen la misma dirección) :

Esta expresión es un poco más complicada, ¿no te parece? Lo importante es que entiendas la diferencia entre el módulo de la aceleración tangencial a t , y el vector aceleración tangencial a → t , que es el módulo más la componente vectorial (dirección y sentido del vector).

u t

r u n

r

( (^) i tj tk ) t

a t t

r r r^ r 5 2 2 25 8

2 2 25 82

5 2 2 25 8

8 25 8

5 2 2 t

i tj tk t

a t t

i tj tk v

u v t t

− +

→ =

= = − +

r r r r

r r r r

r r

25 82

8 t

a t t

=

2 25 82

16 t

t dt

dv

=

a t j k

r r r ( )=− 2 + 2

v t i tj t k r r r r ( )= 5 − 2 + 2

r t t i t j t k r r 2 r 2 r ( )=( 5 − 2 ) − +

v ( t )= v r( t )= 25 + 4 t^2 + 4 t^2 = 25 + 8 t^2

 La relación que hay entre las coordenadas de un punto, medidas por observa- dores en cada uno de los sistemas de referencia es: (el vector que une los orígenes va cambiando con el tiempo OO' = V · t ).

 Respecto al tiempo medido por ambos observadores, debe coincidir, pues los relojes se sincronizan en t = 0, y ambos funcionan correctamente: t' = t  Si ambos observadores miden la distancia entre dos puntos A y B, se cumple que:

 Esto quiere decir que las distancias medidas por los dos coinciden, que es lo que nos parece «sensato». Además, derivando respecto al tiempo: (la velocidad V no cambia, es cte.)

Ésta es la relación que existe entre las velocidades.  Si volvemos a derivar respecto al tiempo, como la velocidad es constante, ob- tenemos la relación entre las aceleraciones medidas por ambos observadores.

z z

y y

x x

z z

y y

x x

a a

a a

a a

dt

dv dt

dv

dt

dv dt

dv

dt

dv dt

dv

|

|

|

|

|

| ⎪

z z

y y

x x

v v

v v

v v

|

|

| V

dt

z dz dt

d

dt

dy dt

dy

V

dt

dx dt

dx^ '

'

| | |

| A B A B B B

A A r r r r r OO r

r OO r r r r r r r

r r → − = − ⎪⎭

=^ '+

z z

y y

x x V t r r OO^ ' r r' r r r r OO

✎ Ejemplo:

✍ Una barca sale de un embarcadero con la intención de cruzar el río. La velocidad que el motor puede desarrollar es de 20 km/h. El río baja a una velocidad de 5 km/h. ¿Llegará la barca al otro lado del río, frente al embarcadero? ¿Qué deberá hacer el patrón para conseguirlo?

 Un observador en el río se movería con una velocidad horizontal de 5 km/h debi- do a la corriente del río. Para otro observador en la orilla, la velocidad de la barca se calcu la mediante la transformación de Galileo:

 Esto quiere decir que si la barca se mueve a toda potencia hacia la otra orilla, con velocidad sólo vertical, respecto del río, se desplazará respecto de la orilla con una velocidad:

y no llegará al otro embarcadero, justo enfrente, sino un poco a la derecha.

 Si quisiera llegar, la barca debería moverse respecto al observador de la orilla con velocidad sólo vertical.

orillay r oy

xorilla xr o orillay r oy

xorilla r ox v v

v v v v

v v

= + → ⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

= í+ V 5 í

í í

Y

V = 5 km/h

Emb. A X

Emb. B

v orilla^ i j

r r r = 5 + 20