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ECUACIONES DIFERENCIALES
INGENIERÍA AERONÁUTICA
D EPARTAMENTO DE CIENCIAS B ÁSICAS
Elaboró: Ing. Saraí Becerril Jiménez Semestre 2020-^1
Ejemplo 1. Encontrar la solución de la ED usando trasnformada de Laplace.
^ − 6 ^ + 9 = ^
(0) = 2, ^ (0) = 6
Paso 2. Trasformando la ED al plano
ℒ{ ^ − 6 ^ + 9 } = ℒ{ ^ ^ }
ℒ{ ^ }− 6ℒ{ ^ } + 9ℒ{ } = ℒ{ ^ ^ }
Primer teorema de traslación.
ℒ{ ^ ^ } =
^ ( ) − (0) − ^ (0) − 6 ( ) − (0) + 9 ( ) =
Paso 3. Sustituir las condiciones iniciales dadas.
^ ( ) − 2 − 6 − 6( ( ) − 2) + 9 ( ) =
^ ( ) − 2 − 6 − 6 ( ) + 12 + 9 ( ) =
Paso 4. Se realiza por medio de algebra valida, el despeje de ( )
^ ( ) − 6 ( ) + 9 ( ) − 2 − 6 + 12 =
( ) ( ^ − 6 + 9) − 2 − 6 + 12 =
( ) ( ^ − 6 + 9)^ − 2 + 6 =
factorizando,
( ) −( 3 ) ^ =
( − 3) ^ + 2 ^ − 6
Despejando a ( )
( )^ =
( − 3 ) ^ ( − 3) ^ +
( − 3) ^ +^
ECUACIONES DIFERENCIALES
INGENIERÍA AERONÁUTICA
D EPARTAMENTO DE CIENCIAS B ÁSICAS
Elaboró: Ing. Saraí Becerril Jiménez Semestre 2020-^1
Paso 4. Buscar la solucion de la ED con el agebra necesaria.
ℒ ^ ( ) =
( − 3) ^
ℒ ^ { ( )} = 2ℒ ^
( − 3) ^
+ 2ℒ ^
^ ^ + 2
^ ^ + 2
Inversa del primer teorema de traslación,
1 24
ℒ ^
( − 3) ^
=
^
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INGENIERÍA AERONÁUTICA
D EPARTAMENTO DE CIENCIAS B ÁSICAS
Elaboró: Ing. Saraí Becerril Jiménez Semestre 2020-^1
( + 1)( ^ + 4 + 6)
( + 1)( ^ + 4 + 6) + ( ^ + 4 + 6) + ( + 1)( + )
( + 1)( ^ + 4 + 6)
2 + 1 = ( + 1)( ^ + 4 + 6) + ( ^ + 4 + 6) + ( + 1)( + )
Igualando a cero,
Cuando + 1 = 0 ; = −
2(−1) + 1 = (−1 + 1)(−1 ^ + 4 − 1 + 6) + −1 (−1 ^ + 4(−1) + 6) + (−1 + 1)( + ) 2(−1) + 1 = − (−1 ^ + 4(−1) + 6)
−2 + 1 = − (1 − 4 + 6) ; −1 = −3 ∴ =
Cuando = 0
2(0) + 1 = (0 + 1)(0 ^ + 4(0) + 6) + (0)( ^ + 4 + 6) + (0)( + 1)( + )
1 = (1)(6)^ ; 1 = 6 ∴ =
Desarrollando,
2 + 1 = ( + 1)( ^ + 4 + 6) + ( ^ + 4 + 6) + ( + 1)( + ) 2 + 1 = ^ + 5 ^ + 10 + 6 + ^ + 4 ^ + 6 + ^ + ^ + ^ +
Agrupando terminos semejantes,
^ : 0 = + +
0 =
^ : 0 = 5 + 4 + +
3 + ^ ∴^ = −
^ : 1 = 6 ∴ =
( + 1)( ^ + 4 + 6) =
( + 1) +^
−^12 −^53
( ^ + 4 + 6)
Sustituendo en ( )
( + 1)(^ ^ + 4 + 6)
( + 1) +^
−^12 −^53
( ^ + 4 + 6)
ℒ ^ ( ) =
−^12 −^53
( ^ + 4 + 6)
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INGENIERÍA AERONÁUTICA
D EPARTAMENTO DE CIENCIAS B ÁSICAS
Elaboró: Ing. Saraí Becerril Jiménez Semestre 2020-^1
( ) = ℒ ^
+ ℒ^
( + 1) + ℒ^
( ^ + 4 + 6)
factorizando, el denominador, usando completar un binomio cuadrado perfecto,
−^12 −^53 ( ^ + 4 + 6)
−^12 −^53
( + 2 ) ^ + 2
De alguna manera requerimos aparezca un valor semejante al que aparece en en
denominador ( + 2), para aplicar teorema de traslación.
( ) = ℒ ^
+ ℒ ^
( + 1) + ℒ^
( + 2 ) ^ + 2
por lo tanto, terminando de aplicar linealidad,
( ) = ℒ ^
+ ℒ ^
ℒ ^
( + 2 ) ^ + 2
ℒ ^
( + 2 ) ^ + 2
( ) = ℒ ^
+ ℒ^
( + 1) ^ −
2 ℒ^
( + 2 ) ^ + 2 −^
3 ℒ^
( + 2 ) ^ + 2
Paso 5. Pasando al plano
( ) = ℒ ^
+ ℒ^
( + 1) ^ −
2 ℒ^
( + 2 ) ^ + 2 ^ +
3 ℒ^
( + 2 ) ^ + 2
^ −
ℒ ^
( + 2) ^ + 2
ℒ ^
( + 2) ^ + 2
