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VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN
1.- INTRODUCCIÓN
En este tema se tratará de formalizar numéricamente los resultados de un fenómeno aleatorio. Por tanto, una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un teléfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente eléctrica, etc.
El estudio que se hará en este tema será análogo al que se hace con las variables estadísticas en descriptiva. Así retomaremos el concepto de distribución y las características numéricas, como la media y varianza. El papel que allí jugaba la frecuencia relativa lo juega ahora la probabilidad. Esto va a proporcionar aspectos y propiedades referentes a fenómenos aleatorios que permitirán modelos muy estudiados en la actualidad.
2.- VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Dado un experimento aleatorio y asociado al mismo, un espacio probabilístico
(E, Ą ,P), una variable aleatoria es una aplicación Χ : Ε→ R , a cada valor de X, del
espacio muestral le hace corresponder un número real. Se dice que X es una variable aleatoria si para cualquier x perteneciente a R , el conjunto de los sucesos elementales le hace corresponder un valor que verifica:
∀Χ ∈ R X ( S )≤ X
Ejemplo : Consideramos un experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire tres veces y anotamos el resultado. Se define la variable aleatoria X como número de caras aparecidas en los tres lanzamientos.
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a) Calcular el espacio muestral y comprobar que es una variable aleatoria.
b) Calcular los subespacios: { X ≤ 2 , 75 } { 0 , 5 ≤ X ≤ 1 , 75 }
a) La solución es la siguiente,
E= (C,X,X),(X,C,X),(X,X,C),(C,C,X),(C,X,C),(X,C,C),(C,C,C),(X,X,X)
0 / X ≤ 0
(X,X,X) 0 ≤ X ≤ 1
X ( S ) ≤ X (C,C,C)(X,C,X)(X,X,C) 1 ≤ X ≤ 2
(C,C,X)(C,X,C)(X,C,C) 2 ≤ X ≤ 3
(C,C,C) X ≥ 3
b) { X ≤ 2 , 75 } X<0, 0 ≤ X < 1 , 1 ≤ X < 2
{ 0 , 5 ≤ X ≤ 1 , 75 } es lo mismos que decir x=1, 1 ≤ X ≤ 2.
3.-TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas:
o DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son puntos aislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo, supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0,1,2,3). o CONTINUA: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos intervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, si consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.
4.- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se clasifican como discretas o continuas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. En la continua, llamada función de
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Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, cuya distribución de probabilidad era:
(0 caras, 1/8); (1 cara, 3/8); (2 caras, 3/8); (3caras, 1/8), Calcula la probabilidad de obtener menos dos caras?.
Para resolver el problema lo que debemos de calcular es la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores inferiores a dos. Esto viene dado por la expresión
F (1) = Prob [ X ≤ 1] = ∑ Pi 1= Prob [ X =0] + Prob [ X = 1] = 1/8 + 3/8= 4/ **_xi Variable aleatoria y función de distribución 29
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por f (X) , calcula su función de distribución:
X/2 0 ≤ x ≤ 2 f (x )= 0 en otro caso
Calculamos la función de distribución, obteniendo
0
0
2 ∫ ∫ ∫ ∫ − ∞ −∞
+∞
−∞
x x x F X f xdx f xdx dx x dx
por tanto, la función de distribución será:
2
X
X
x
X
F X
6.- PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
En esta sección estudiaremos, de manera análoga a las variables estadísticas, algunos parámetros de que van a resumir numéricamente las distribuciones de las variables aleatorias, distinguiendo como siempre, para el caso discreto y continuo.
6.1.- Esperanza matemática para una variable aleatoria discreta
Dada una variable aleatoria X que toma valores x 1 ,x 2 ,x 3 ....xn con distribución de probabilidad , se define la esperanza matemática de una variable
aleatoria como:
Ρ ( x = xi ) = Pi
[ ] ( ) (^) i n i i i
n Ε x =∑ i (^) = 1 xi Ρ X = x =∑= 1 x Ρ.
Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, cuya distribución de probabilidad era: (0 caras, 1/8); (1 cara, 3/8); (2 caras, 3/8); (3caras, 1/8), calcula la esperanza matemática.
El resultado será: (^) ∑
3
0
[ ] 0 ·
i
EX xi pi
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o E [ ] Y = aE [ X ] + b
o V^ [ ] Y^ a V [^ Xx ]
=^2
o Si X e Y son independientes, entonces E [ XY ] = E [ X ] E [ Y ].
6.4.- Covarianza
Sean X e Y dos variables aleatorias, se define la covarianza entre estas dos variables como,
Cov = E [ XY ] − E [ X ] E [ Y ],
donde el cálculo de las esperanzas dependerá de si las variables son discretas o continuas. De esta definición surge el siguiente resultado. Cuando X, Y son independientes la covarianza es igual a 0.
E [ X · Y ] = E [ X ] E [ Y ], entonces
Cov = E [ XY ] − E [ X ] E [ Y ] = E [ X ]· E [ Y ]− E [ X ]· E [ Y ]= 0.
6.5.- Momentos de una variable aleatoria
Dada una v.a X, se define su momento de orden k (k = 0, 1, 2,...) respecto a la media o momento central de orden k como la esperanza de (X − μ)k^ :
μ k = E [( X − μ) k ]
Del mismo modo se define su momento de orden k (k = 0, 1, 2, ...) respecto al origen o momento no central de orden k como la esperanza de Xk^ :
α k = E [ XK ]
De las definiciones se deduce que: o αo = 1 o α 1 = μ o μo = 1 o μ 1 = 0 o El segundo momento central se llama también varianza, y se denota por V(X) o σ^2.
