Función lineal, Ejercicios de Matemáticas

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GUÍA PRÁCTICA N° 12

FUNCIÓN LINEAL

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

GUÍA PRÁCTICA N° 11

FUNCIÓN LINEAL

Competencia: Aplica fundamentos y estrategias del Pensamiento crítico y creativo para interpretar, comprender y proponer alternativas innovadoras a problemas o necesidades surgidas en el ámbito personal, académico, social y empresarial. Capacidad: Aplica e identifica la función lineal. Indicador de logro:  Aplica la definición de función lineal  Identifica las características de la función lineal representándola de manera gráfica.

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I. SABERES PREVIOS

I. FUNCIÓN LINEAL Una función lineales una función polinómica de primer grado.

En particular, una función lineal se expresa analíticamente a través de una ecuación de la forma f(x) = m x y gráficamente por una recta que pasa por el origen de coordenadas cartesianas y expresa las relaciones entre las variables y entre las constantes.

Donde:

 “m” es la pendiente ( m 0)  “b” es el punto de corte con el eje Y

La gráfica de la función lineal es una recta inclinada u horizontal, Su pendiente es o m = tan

El valor de la pendiente m es la medida del crecimiento o decrecimiento de la recta de la ecuación y =mx, nos indica la variación de la variable y por cada incremento de la variable x.

La pendiente de una recta nos proporciona su inclinación respecto al eje x (ángulo que forma la recta con dicho eje). En el siguiente ejemplo ilustramos que cuando mayor es la pendiente, mayor es la inclinación de la recta.

y = ( f x ) = mx

“m” es llamada pendiente “x” es la variable independiente y = f(x) es la variable dependiente

m=

IV. FUNCIÓN

IDENTIDAD

Es aquella que tiene como conjuntos de pares (x, y) cuya segunda componente, y es igual a la primera componente. Esta función es de la forma f(x)=x Su gráfica es una recta que pasa por el origen. Gráficamente;

EJEMPLO 1: Construya la gráfica de la función f ( x ) = 3 x

Solución: La tabla de valores para la función f ( x ) = 3 x es:

x (^) -2 -1 0 1 2

y = f( x) -6 -3 0 3 6 X

Y

Dom ( f) = lR Ran ( f) = lR

Dom (^ f) = lR Ran ( f) =

EJEMPLO 2: Construya la gráfica de la función f(x) = 2x – 3

Solución: La tabla de valores para la función f(x) = 2x – 3 es:

EJEMPLO 3: Construya la gráfica de la función f(x) = – 2x + 4

Solución: La tabla de valores para la función f(x) = – 2x + 4 es:

x -2^ -1^0 1 2 3 4

y = f(x) -7^ -5^ -3^ -1^1 3 5

x -2^ -1^0 1 2 3

y = f(x) 8 6 4 2 0 -2 -

X

Y

X

Y

Tantolasfuncioneslinealesylas funcioneslinealesafinespueden ser representadas gráficamente, siendo suficientedeterminardos pares ordenadosque correspondan a la función.Las gráficas ofrecen una mayor visión sobre la trayectoria o comportamientodelproceso que seestudia

VI. PENDIENTE DE

UNA RECTA

Se pueden distinguir cuatro casos:

Caso 1: m  0 Caso 3: m  0

Caso 2: m  0 Caso 4: m es indefinida

Caso 1: Si la recta forma un ángulo agudo con el eje X, la pendiente es positiva. (m  0)

Caso 2: Si la recta forma un ángulo obtuso con el eje X, la pendiente es negativa. (m  0)

La función es creciente La función es decreciente

b

Enlaexpresión f(x)=mx+b ,elvalorde“ m” esunaconstante diferentedecero, denominadapendiente.

Lapendientedeunarectaeslatangentedesu ángulodeinclinación.Tambiénse relacionaconlavariacióndeordenadasentrelavariacióndeabscisas.

Elsignodelapendientedeunarectadependedelángulodeinclinacióndedicha rectaconrespectoalejex.

Delmismomodo,tambiénpodemosobservarelcomportamientodelapendiente, analizandolavariacióndeordenadas entrelavariacióndeabscisas.

VII. DOMINIO Y

RANGO:

DOMINIO: Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x).

RANGO: Es el conjunto de valores que puede tomar y, los cuales son imagen de algún valor x.

Ejemplo 1: Determina el dominio y rango de la función y = 2x – 3

Cuando no se especifica el dominio de la función, se sobreentiende que el dominio es todo R.

D (^) f = R R (^) f = R

Caso 3: Si la recta es horizontal (paralela el eje X), la pendiente es cero. (m  0)

Caso 4: Si la recta es vertical (paralela al eje Y), se dice que la pendiente no está definida. (m es indefinida)

La función es constante No es una función

b

^23 ;^0 

 0 ;  3 

y = 2 x – 3

Solución:

Veamos qué valores puede tener “x” Si: ^1  x ^4  x  ^1 ,^4

Además sabemos que la gráfica es una recta paralela al eje “x” que pasa por la ordenada –2.

De la gráfica obtenemos el dominio y rango:

D (^) f =  (^1) , 4 R (^) f = {–2}

VIII. CÁLCULO DE

LA PENDIENTE DE UNA RECTA

Si P ( x 1 ; y 1 ) y Q ( x 2 ; y 2 ) son dos puntos distintos de dicha recta, la pendiente se calcula mediante las expresiones:

EJEMPLO 1: Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(6;3) y B(4;7).

Solución: Si se consideran: A(6;3) = (^ x 1^ ; y 1 ) y B(4;7) = (^ x 2^ ; y 2 ) al remplazar en la fórmula anterior, se obtiene:

2 1

x x

m y y

m = tg 

X

Y

X 1 X 2

Y 1

Y 2

X 2 - X 1

Y 2 - Y 1

P

Q

( 0 , 2 )

EJEMPLO 2: Encuentre la función lineal cuya gráfica pasa por el punto (3; 2) y su pendiente es 4.

Solución:

Dado que m = 4 y (x; y) = (3; 2) al remplazar dichos valores en la expresión: f(x) = mx

• b se obtiene:

y = mx + b

2 = 4(3) + b

2 = 12 + b

• 10 = b

Por tanto, la función pedida es: f(x) = 4x – 10

EJEMPLO 3: Halle la función lineal cuya gráfica pasa por los puntos A(2;3) y B(3;5).

Solución: Se determina la pendiente de la recta según la fórmula:

2 1

x x

m y y

Luego, se toma la pendiente m = 2 y la coordenada de cualquiera de los puntos conocidos

(3;5). Estos valores se remplazan en la expresión f(x) = mx + b se obtiene:

f(x) = mx + b

5 = 2(3) + b

5 = 6 + b

• 1 = b

Por tanto, la función pedida es: f(x) = mx + b

f(x) = 2x – 1

2. Indica cuales de los siguientes puntos pertenecen a la gráfica de la función: x-^5 2

• 1 y  **A (-1,-9/2) B (-3,4) C (1,11/2) D (-7/2,-1) E (-2,-4)

3. Indi cen a** **A (3 (0, -2)
4. Enc on los**

lineal

Intersección: ¨y¨ = b=

X

X

f(x) = x – 2 #210-1-2y0.5-1.25-2-2.75-3. Pendiente= m = 3/ Intersección= ¨y¨ = b=- Intersección= ¨x¨= (y=0)

$= ¾x - 0= ¾x – 2 ¾ x = 2 #= 2.

f(x) = x + 3 X-2-1012 Y4.33.32.31. Pendiente= m = -2/ Intersección= ¨y¨ = b=- Intersección= ¨x¨= (y=0)

Y= -2/3 x + 3 0= -2/3x + 3 2/3x= 3 X= 4.

f(x) = x + 2 #-2-1012y0.81.422.63. Pendiente= m = 3/ Intersección= ¨y¨ = b= Intersección= ¨x¨= (y=0)

Y= 3/5x + 2 0= 3/5x + 2 3/5x= - X= -3.

X

Y

X

Y

X

Y

a) La gráfica pasa por el punto (-1; 2) y su pendiente es 4.

b) La gráfica pasa por el punto (7; -4) y su pendiente es -1.

c) La gráfica pasa por el punto (3; 5) y su pendiente es -2/3.

d) La gráfica pasa por el origen y su pendiente es -1/3.

7. Determine la función lineal af í n cuya gráfica pasa por dos puntos.

F($) = mx + b $ = mx + b 2 = 4(-1) + b 2 = -4 + b 2 – 4 = b -2 = b

F(X) = 4x - 2

F(X) = -1/3x + 0

m = -1/ (x, y) = (0, 0) F(X) = mx + b Y = mx + b 0 = -1/3(0) + b 0 = b*

F(X) = -2/3X + 7

F(Y) = mx + b Y = mx + b 5 = -2/3(3) + b 5 = -2 + b 5 + 2 = b 7 = b*

F(X) = - X + 3

F(Y) = mx + b Y = mx + b -4 = -1(7) + b -4 = -7 + b -4 + 7 = b 3 = b

a) La gráfica pasa por los puntos: (1; 5) y (3; 3).

b) La gráfica pasa por los puntos: (2; 3) y (6; 5).

c) La gráfica pasa por los puntos: (-2/3; 1/6) y (1/2; 1).

d) La gráfica pasa por los puntos: origen (0,0) y (-5; -20).

m = Y2 – Y1 / X2 – X m = 1 - 1/ / ½ - (-2/3) m = 5/ / 7/ m = 5/

m = Y2 – Y1 / X2 – X m = 5 – 3 /  – 2 m = 2 / 4 m = 1 / 2

F(x) = mx + b $ = mx + b 1/6 = 5/7 * -2/3 + b 1/6 = -10/21 + b 1/6 + 10/21 = b 7+20/42 = b 27/42 = 9/14 = b F(x) = 5/7x + 9/

m = Y2 – Y1 /X2 – X m= 3 – 5 / 3 – 1 m= -2 / 2 m = - 1

F(x) = mx + b $ = mx + b 1 = 5/7 * 1/2 + b 1 = 5/14 + b 1 - 5/14 = b 9/14 = b F(x) = 5/7x + 9/

F(x) = mx + b $ = mx + b 3 = ½*(2) + b 3 = 1 + b 3 - 1 = b 2 = b F(X) = 1/2x + 2

F(x) = mx + b $ = mx + b 5 = ½*(6) + b 5 = 3 + b 5 - 3 = b 2 = b F(X) = 1/2x + 2

F(x) = mx + b $ = mx + b 5 = -1(1) + b 5 = - 1 + b 5 + 1 = b 6 = b F(X) = - X + 

F(x) = mx + b $ = mx + b 3 = -1(3) + b 3 = -3 + b 3 + 3 = b 6 = b F(X) = - X + 

m = Y2 – Y1 / X2 – X m = -20 -0 / -5 - 0 m = -20 / - m = 4

F(x) = mx + b $ = mx + b 0 = 4 * 0 + b 0 = 0 + b 0 = b F(x) = 4x + 0

F(x) = mx + b $ = mx + b -20 = 4* -5 + b -20 = -20 + b -20 + 20 = b 0 = b F(x) = 4x + 0