funciones calculo I S, Apuntes de Cálculo

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Funci´on par, funci´on impar y funciones con

gr´aficas contenidas en c´onicas

Funci´on par

Sea f una funci´on real de variable real. Decimos que f es una funci´on par si cumple las siguientes condiciones:

i) El dominio de f es sim´etrico con respecto a 0. Es decir, se cumple que: “Si x ∈ Df entonces −x ∈ Df ”.

ii) f (−x) = f (x) para todo x ∈ Df.

Observaci´on. f es una funci´on par si y solamente si la gr´afica de f es sim´etrica con respecto al eje Y. Es decir, si se cumple la siguiente condici´on:

“Si (x, y ) es un punto de la gr´afica de f entonces (−x, y ) tambi´en es un punto de la gr´afica de f.

Soluci´on.

a) Df = [− 2 , 2[. El dominio de f no es sim´etrico con respecto a 0 ya que − 2 ∈ Df , pero −(−2) ∈/ Df. Por tanto f no es una funci´on par.

b) Df = R − {− 1 , 1 }. El dominio de f es sim´etrico con respecto a 0. Adem´as, si x ∈ Df ,

f (−x) = (−x)^2 − 2(−x)^4 1 − | − x|

x^2 − 2 x^4 1 − |x|

= f (x).

Por tanto f es una funci´on par.

c) Df = ] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[. El dominio de f es sim´etrico con respecto a 0. Pero 2 ∈ Df y f (−2) = 2 6 = 1 = f (2). Por tanto f no es funci´on par.

Funci´on impar

Sea f una funci´on real de variable real. Decimos que f es una funci´on impar si cumple las siguientes condiciones:

i) El dominio de f es sim´etrico con respecto a 0.

ii) f (−x) = −f (x) para todo x ∈ Df.

Observaciones. f es una funci´on impar si y solamente si la gr´afica de f es sim´etrica con respecto al origen de coordenadas. Es decir, si se cumple la siguiente condici´on: “Si (x, y ) es un punto de la gr´afica de f entonces (−x, −y ) tambi´en es un punto de la gr´afica de f.

Soluci´on.

a) Df = R − {− 2 , 2 }. El dominio de f es sim´etrico con respecto a 0. Adem´as, si x ∈ Df entonces

f (−x) = (−x)| − x| (−x)^2 − 4

−x|x| x^2 − 4 = −f (x).

Por tanto f es una funci´on impar.

b) Df = R − {− 1 , 1 }. El dominio de f es sim´etrico con respecto a 0. Pero 2 ∈ Df y

f (−2) = − 4 6 = −

= −f (2).

Por tanto f no es una funci´on impar.

Ejemplo. Justifique la veracidad de las siguientes proposiciones.

a) Si la funci´on f es par entonces las funciones f (−x), −f (x) y |f (x)| son pares.

b) Si g es una funci´on par y f : R → R es una funci´on entonces la funci´on f ◦ g es par. c) Si f : R → R y g son funciones impares entonces la funci´on f ◦g es impar. d) Si f : R → R y g son funciones impares entonces la funci´on f + g es impar y la funci´on f .g es par.

Soluci´on.

a) Supongamos que f es funci´on par. Sean g (x) = f (−x), h(x) = −f (x) y r (x) = |f (x)|. Los dominios de las funciones h y r coinciden con Df. Adem´as, como Df es sim´etrico con respecto a 0 entonces el dominio de g tambi´en coincide con Df. Por tanto los dominios de g , h y r son sim´etricos con respecto a 0.

c) Supongamos que f : R → R y g son funciones impares. Como Df = R entonces Df ◦g = Dg. Entonces el dominio de f ◦g es sim´etrico con respecto a 0. Adem´as, si x ∈ Df ◦g entonces

f ◦g (−x) = f (g (−x)) = f (−g (x)) = −f (g (x)) = −f ◦g (x).

Por tanto la funci´on f ◦g es impar.

d) Supongamos que f : R → R y g son funciones impares. Como Df = R entonces Df +g = Df. g = Dg. Entonces los dominios de f + g y de f. g son sim´etricos con respecto a 0. Adem´as, si x ∈ Dg entonces

(f + g )(−x) = f (−x) + g (−x) = −f (x) − g (x) = −(f + g )(x) (f. g )(−x) = f (−x).g (−x) = (−f (x))(−g (x)) = f (x).g (x) = (f. g )(x)

Por tanto la funci´on f + g es impar y la funci´on f. g es par.

Ejemplo. La funci´on f : [− 7 , 7] → R es impar. Una parte de la gr´afica de f (un segmento y parte de una par´abola) se muestra en la figura siguiente.

Halle la regla de correspondencia de f.

Como la funci´on f es impar:

Si x ∈ ]5, 7] entonces −x ∈ [− 7 , −5[ y

f (x) = −f (−x) = −

[

− 2(−x) − 9

]

= − 2 x + 9

Si x ∈ ]0, 5] entonces −x ∈ [− 5 , 0[ y

f (x) = −f (−x) = −

[

(−x)^2 + (−x) + 2

]

x^2 + x − 2

Como 0 ∈ Df = [− 7 , 7] y f es funci´on impar entonces f (0) = 0.

Finalmente,

f (x) =

− 2 x − 9 , − 7 ≤ x < − 5 , x^2 4 +^ x^ + 2,^ −^5 ≤^ x^ <^0 , 0 , x = 0 , − x 2 4 +^ x^ −^2 ,^0 <^ x^ ≤^5 , − 2 x + 9, 5 < x ≤ 7.

Funciones con gr´aficas contenidas en c´onicas

Sea f una funci´on real de variable real. Los puntos (x, y ) de la gr´afica de f son aquellos cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci´on y = f (x), con x ∈ Df. Si a partir de esta ecuaci´on podemos deducir que dichas coordenadas satisfacen una ecuaci´on cuadr´atica que corresponde a una c´onica entonces la gr´afica de f estar´a contenida en dicha c´onica.

Ejemplo. En cada uno de los siguientes casos, esboce la gr´afica de f y halle su rango.

a) f (x) = 1 −

1 − x, − 8 ≤ x < 0. b) f (x) = 2 +

4 x − x^2. c) f (x) =

− 4 x^2 − 8 x, − 2 < x ≤ −1. d) f (x) = 1 −

x^2 − 1, x < −2. e) f (x) =

3 + 2x − x^2 , si − 1 ≤ x < 1 ; 2 +

−3 + 2x + x^2 , si x > 1.

El rango de f es Rf = [− 2 , 0[. Observaci´on. La gr´afica de f tambi´en se puede obtener a partir de la gr´afica de la funci´on g (x) =

x y con las siguientes transformaciones: I) x → x + 1 (o x → −x). II) x → −x (o x → x − 1). III)

√ 1 − x → −

√ 1 − x. IV) −

√ 1 − x → 1 −

√ 1 − x.

b) Tenemos que

x ∈ Df ⇔ 4 x − x^2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [0, 4] Por tanto el dominio de f es Df = [0, 4]. Los puntos (x, y ) de la gr´afica de f cumplen:

y = 2 +

4 x − x^2 ⇒ (x − 2)^2 + (y − 2)^2 = 4. y = 2 +

4 x − x^2 ≥ 2

Entonces la gr´afica de f est´a contenida en la circunferencia de ecuaci´on (x − 2)^2 + (y − 2)^2 = 4 y se ubica encima de la recta de ecuaci´on y = 2.

El rango de f es Rf = [2, 4].

d) Los puntos (x, y ) de la gr´afica de f cumplen:

y = 1 −

x^2 − 1 ⇒ x^2 − (y − 1)^2 = 1. y = 1 −

x^2 − 1 ≤ 1 Entonces la gr´afica de f est´a contenida en la hip´erbola de ecuaci´on x^2 − (y − 1)^2 = 1 y se ubica debajo de la recta de ecuaci´on y = 1.

El rango de f es Rf =

]

[

e) Los puntos (x, y ) del primer tramo de la gr´afica de f cumplen:

y = 2 −

3 + 2x − x^2 ⇒ (x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 4. y = 2 −

3 + 2x − x^2 ≤ 2

Entonces el primer tramo de la gr´afica de f est´a contenida en la circunferencia de ecuaci´on (x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 4 y se ubica debajo de la recta de ecuaci´on y = 2.