funciones complejas, Ejercicios de Elasticidad y Resistencia de materiales

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| 15.3 Conjuntos en el plano complejo MM Introducción Entas secciones anteriores se plantean algunas herramientas rudimentarias de álgebra y geometría de números complejos. Sin embargo, con esto sólo se araña la super ficie del tema conocido como análisis complejo; el corpus principal de dicho estudio se encuentra más adelante. El objetivo de las secciones y capítulos siguientes es estudiar fun- ciones de una sola variable compleja z = x + iy y el cálculo de dichas funciones. Antes de introducir el concepto de función de una variable compleja se necesita establecer cierta terminología y definiciones esenciales respecto a los conjuntos del plano complejo. MM Terminología Previamente a la discusión del concepto de funciones de una variable compleja es conveniente introducir cierta terminología esencial respecto a conjuntos del “plano complejo. Supóngase que zo = xp + iyo.Comolz— zo ]=Wíx — 2 + (y — JoY es la distancia entre los puntos z =x + y y 2 =xp + ¿Yo los puntos z = x + ¿y que cumplen con la ecuación lz— 2] =p, P > 0, se encuentra en un círeulo de radio p centrado en el punto zp; véase-la FIGURA 15.3.1. ERE Círculos a) l2] = 1 es la ecuación de un círculo unitario centrado en el origen. b) | 1—2i] = 5 es la ecuación de un círculo de radio $ centrado en 1 + 24. Los puntos z que cumplen con la desigualdad |z — zp] < p, p > 0, se localizan dentro, pero no sobre, el círculo de radio p centrado en el punto zp. A este conjunto se le denomina vecindad de zy o disco abierto. Se dice que un punto 2, es un punto interior de un conjunto $ del plano complejo si existe alguna vecindad de zo que se encuentra completamente dentro de S. Si todos los puntos z de un conjunto $ son puntos interiores, entonces se dice que $ es un conjunto abierto; véase la FIGURA 15.3.2. Por ejemplo, la desigualdad Ré(z) > 1 define un semiplano derecho, que es un conjunto abierto, Todos los números complejos z = x + iy para los que x > 1 se encuentran en este conjunto, Si se elige, por ejemplo, z = 1.1 + 2;, entonces una vecindad de zp que se localiza completamente en el conjunto viene definida por |z — (1.1 + 28)| < 0.05; véase la FIGURA 15.33. Por otro lado, el conjunto $ de puntos del plano complejo definido por Re(z) > 1 no es abierto, puesto que cualquier vecindad de un punto sobre la línea x = 1 debe contener puntos en 5 y puntos que no están en 5; véase la FIGURA 153.4. [2-(1.1 + 28] < 0.05 , dentro -. Jus de S: FIGURA 15.33 Ampliación de un punto! cercano ax = 1 de un conjunto abierto * ] : lz-al=p FIGURA 1531 Círculo de rad FIGURA 153.2 Conjunto abie Escaneado con CamScanner