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Ejercicio 1. Usando la definición, determine en los siguientes apartados, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa c:
a) f : f (x) = 3x + 4 en c = 0 ; − 1
b) f : f (x) =
x en c = 1 ; 9
c) f : f (x) = x^2 − 1 en c = 3 ; −^12
d) f : f (x) =
6 x + 2, x ≤ 1 3 x^2 + 5, x > 1
en c = −4 ; 1
Ejercicio 2. Usando la definición, en caso de existir, calcule las derivadas indicadas en los siguientes apartados:
f (^) +′(0), f (^) −′(0), f (^) +′(−1) y f (^) −′(
- si f (u) =
u^3 + 1 , − 1 ≤ u < 0 1 , u > 0
a)
g′ +(3), g′−(3), g +′(0) y g′−(12) si g(t) =
t^2 − 2 , 0 ≤ t ≤ 3 4 t − 5 , 3 < t ≤ 12
b)
Ejercicio 3. Use la gráfica dada para estimar el valor de la derivada. A continuación trace la gráfica de f ′.
Ejercicio 4. Si f : f (x) = 2 +^ x
2 x − 1 , calcular (^) h l´ım→ 0 f^ (2 +^ h)^ −^ f^ (2) h e interpretar geométrica- mente el resultado.
Ejercicio 5. Se da la gráfica de f. Exprese y justifique, los valores de x en los que f no es derivable.
Ejercicio 6. Graficar las siguientes funciones y explicar si presentan puntos en los que no existe la derivada. En tal caso, clasificarlos según lo visto en teoría. ¿Alguna de las funciones tiene tangentes verticales? En tal caso, escribe su ecuación.
a) f (x) =
2 x, si x ≤ 0 x^2 + 2x + 1, si x > 0
b) g(x) =
2 x + 1, si x ≤ 0 x^2 + 2x + 1, si x > 0
c) h(x) = e| x −^1 |^2
d) f (x) = 3
√ (x + 1)^2 + 5
e) g(x) = − 3
√ |x − 3 | + 3
Ejercicio 7. Sean f (5) = − 1 , f ′(5) = 2, g(5) = 2 y g′(5) = 3. Calcular:
a) (2g + f )′(5)
( f g
)′ b) (5)
g · f
)′ c) (5)
Ejercicio 8. Encuentra la función derivada para cada una de las siguientes funciones, utilizando las reglas de derivación. Simplifica la expresión resultante en lo posible.
a) f (x) = x^4 − 3 x^2 + 2x − 1 b) g(x) = (2x^3 − 1)(x^2 + x)
c) q(x) = x
(^2) + 13x − 24 x^2 − 2 x + 13
d) h(t) = e
t (^) − 1 e t^ + 1
e) f (x) = x^6 + 1 −
√ (^3) x
f) g(x) =^3 x
(^5) + √x x^4 + 1 g) v(u) = u^2 /^3 (u − 1)^2
h) r(z) =
z^2 (z^5 − 3 z)
Ejercicio 14. La figura adjunta muestra la gráfica de la función f definida por
f (x) = 3x − x^3
− 2 − 1 1 2
− 2
2
f
x
y
Halle las constantes a y b de modo que la recta de ecuación y = ax + b sea la recta tangente a la gráfica de f en el punto P (2, −2).
a)
Una segunda recta, que también pasa por el punto P (2, −2), es tangente a la gráfica de f en un nuevo punto P 0 (x 0 , y 0 ). Determine las coordenadas de P 0.
b)
Ejercicio 15. Sea f una función definida por f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ̸= 0. Hallar los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f satisface las siguientes condiciones:
en (0, 0) la recta tangente a la gráfica, forma un ángulo de π 3 con el semieje positivo x.
la gráfica de f admite recta tangente en los puntos de abscisas x = ± 1.
Ejercicio 16. Determine las constantes a y b para que las siguientes funciones sean deri- vables en R :
f : f (x) =
2 a − cos(3x) + x , x ≤ 0 a sen(5x) + 2 +^ b^ , x >^0
a) g : g(t) =
t (7 − t)^4 /^3 − 6 b , t < 7
a
2 t − 5 + 3t , t ≥ 7
b)
Ejercicio 17. Sabiendo que f (1) = 3 y f ′(1) = − 2 , en cada uno de los siguientes apartados calcule g′(1):
a) g(x) = [8 − 2 f (x)]^5 g(x) = 5
√ b) [6f (x) − 19]^7
c) g(x) = cos[f (x) − 3]^6 d)g(x) = sec^5 [3 − f (x)]
Ejercicio 18. Evaluación de derivadas a partir de gráficos o tablas Dadas dos funciones diferenciables f y g, supongamos que conocemos los siguientes valores:
x f (x) g(x) f ′(x) g′(x)
1 3 2 4 6 2 1 8 5 7
Calcula el valor de la derivada en x = 1 para las siguientes funciones construidas:
a) h(x) = f (x) · g(x) (^) b) p(x) = f^ (x) g(x)
c) c(x) = f (g(x))
Ejercicio 19. Sean las funciones f (x) = x^6 + 7x^3 y g(x) = x^1 /^3. Calcule, en caso de existir, las siguientes derivadas: (g ◦ f )′(0) y (f ◦ g)′(0). ¿Es posible usar la regla de la cadena? Justifique su respuesta.
Ejercicio 20. La figura adjunta muestra las gráficas de las funciones f y g:
− 1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
f
g
x
y
Si u(x) = f (g(x)) y h(x) = g(g(x)), ¿puede asegurar que u′(1) y h′(1) existen? En caso afirmativo, hállelos.
Ejercicio 21. Indique si las siguientes afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F). Jus- tifique detalladamente su respuesta en cada caso
a) La función f (x) = |x − 3 | es continua y derivable en el conjunto de los reales.
b) Si la gráfica de una función presenta un punto anguloso en x = c, significa que sus derivadas laterales en ese punto existen pero son distintas, por lo tanto la función no es derivable en x = c.
Ejercicio 24. Esboce la gráfica de una función f que satisfaga las condiciones dadas en cada caso.
a) f no es derivable en x = c b) f es continua pero no derivable en x = c
c) f no es continua en x = c y f ′(c) = 2
Ejercicio 25. Esboce la gráfica de una función g que satisfaga las condiciones dadas en cada caso.
a) g es continua y derivable en (a, b)
b) g es continua en [a, b] y derivable en (a, b)
c) g(a) = g(b), g es continua en [a, b] y derivable en (a, b)
Ejercicio 26. Halla la derivada y′^ respecto de x utilizando derivación implícita en las siguientes ecuaciones.
a) Folium de Descartes: x^3 + y^3 − 3 axy = 0.
b) Lemniscata de Bernoulli: (x^2 +y^2 )^2 = 4(x^2 −y^2 ). Determina las pendientes de las rectas tangentes a la curva en el origen (0, 0) y en el punto (2, 0). c) Cisoide de Diocles: y^2 (2a − x) = x^3.
d) Curva del Diablo: y^4 − x^4 − 9 y^2 + 16x^2 = 0. Calcula la pendiente de la recta tangente en el punto (0, 3).
Ejercicio 27. Las siguientes ecuaciones definen a y como función de x. Halle d dxy.
a) x^3 − xy = 9 − y^2
[ sen
( (^) π 2 x
) − cos(πy)
] 2 b) = 3y + x
c)^ √^3 y sen x^2 = √x cosec y^3
( x − (^2) y + 6
) 4 = |y| + y
5 d) x
Ejercicio 28. Si la ecuación u v^5 − v^7 /^3 = arccotg(v + 4u) define a v como función de u, determine la razón de cambio de v respecto de u.
Ejercicio 29. La ecuación π−arc cos(7x−y^3 ) = x^ − y 1 define a y en función de x. Determine
la pendiente de la recta normal y de la recta tangente a la curva en el punto R(1, 2).
Ejercicio 30. Utilice el método de derivación logarítmica para encontrar la función derivada y′^ de las siguientes funciones potenciales-exponenciales. Especifique el dominio de definición donde sea necesario.
a) y = xsen^ x
b) y = (ln x) x
c) y = (cos x)
√ x
d) y =
( 1 +
x
) x
Ejercicio 31. Aproveche las propiedades de los logaritmos para derivar de forma más sencilla las siguientes funciones (no es necesario simplificar al máximo el resultado final):
f (x) = (x
(^2) + 1) (^3) · √^4 x − 3 a) e 2 x (^) · tg(x)
g(x) =
3 x^2 + 5 · (x − 1)^4 b) cos (^3) (x) · (2x + 7) 2
h(x) = x
(^5) · √^3 x (^2) − 4 · esen x c) (x (^3) + 1) 2
Ejercicio 32. Encuentre la segunda derivada, y′′, para cada una de las siguientes funciones, simplificando la expresión resultante:
a) y = x^2 ln(x)
b) y = e− x^2
c) y = arctg(2x)
d) y = (^) x − x 1
Ejercicio 33. Determine una fórmula general para la derivada de orden n, denotada como y( n ), para las siguientes funciones. Justifique su respuesta mostrando las primeras derivadas sucesivas.
a) y = e^3 x
b) y = (^) x +2^1
c) y = sen(x)
d) y = ln(x)
Ejercicio 34. Determine la función derivada para cada una de las siguientes funciones, aplicando la Regla de la Cadena cuando sea necesario. Simplifique su mínima expresión:
a) y = arcsen(3x)
b) y = arctg(e x )
c) y = x^2 arccos(x)
d) y = ln(arctg(x))
Problemas
Ejercicio 38. La posición de un mecanismo móvil que se desplaza a lo largo de un riel rectilíneo está dada por la función s(t) = t^3 − 9 t^2 + 24t + 5, donde s se mide en centímetros y t en segundos (t ≥ 0 ).
a) Encuentre las funciones de velocidad v(t) y aceleración a(t) del mecanismo. b) ¿En qué instantes de tiempo el mecanismo se detiene momentáneamente (se encuentra en reposo)? c) Determine los intervalos de tiempo en los que el mecanismo se mueve hacia adelante (velocidad positiva) y hacia atrás (velocidad negativa). d) Calcule la aceleración del mecanismo en los instantes en que su velocidad es nula.
Ejercicio 39. El desplazamiento de un bloque conectado a un resorte que experimenta un movimiento armónico amortiguado está modelado por la ecuación de posición x(t) = 10 e−^0 ,^5 t^ cos(3t), donde x está en milímetros y t en segundos (t ≥ 0 ).
a) Aplique las reglas del producto y de la cadena para encontrar la ecuación de la velocidad instantánea v(t) = x′(t) del bloque. b) Determine la expresión analítica para la aceleración a(t) = v′(t) del sistema. c) Evalúe la posición, la velocidad y la aceleración iniciales del bloque (es decir, en el instante de tiempo t = 0).
Ejercicio 40. Dos partículas se mueven a lo largo de un eje coordenado. A los t segundos, sus posiciones con respecto al origen (en decímetros), están dadas por s 1 (t) = 4t − 3 t^2 y s 2 (t) = t^2 − 2 t, respectivamente.
a) ¿A los cuántos segundos tienen la misma velocidad? b)¿En qué instante tienen igual rapidez? c) Realice las gráficas de s 1 (t) y s 2 (t) en un mismo sistema de ejes coordenados.
Ejercicio 41. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ecuación de movimiento s(t) =
2 t
(^2) + 4 t t + 1 donde s metros es la distancia dirigida de la partícula desde el origen a los t segundos. Si v metros por segundo es la velocidad instantánea y a metros por segundo por segundo es la aceleración instantánea de la partícula a los t segundos, determine t, s y v cuando a = 0.
Ejercicio 42. Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con velocidad inicial conocida. Su altura como función del tiempo t (en segundos) está dada por
h(t) = 40t − 5 t^2
t ∈ [0, 8] y h es la distancia (en metros) a la que se halla el objeto con respecto al punto de lanzamiento.
a) Determine la velocidad y la aceleración del objeto en función del tiempo.
b)Calcule la velocidad y la aceleración a los 2 segundos y a los 6 segundos.
¿Para qué valores de t está el objeto a 60 m del punto de partida? Interprete los resultados.
c)
d)¿En qué instante deja de subir el objeto? ¿Qué distancia recorrió hasta ese momento?
e) ¿Cuánto tarda en caer hasta el punto de partida? ¿Con qué velocidad llega al mismo?
f) Represente gráficamente respecto del tiempo, las funciones h, v = h′^ y a = h′′.
Ejercicio 43. Una placa de metal de forma circular se somete a un proceso de calentamiento y se expande. Si el radio de la placa crece a una razón constante de 0 , 02 cm/s, ¿a qué razón está aumentando el área de la placa en el instante exacto en que el radio es de 10 cm?
Ejercicio 44. Una escalera de 5 m de longitud está apoyada contra una pared vertical de un edificio. Si la base de la escalera resbala y se aleja horizontalmente de la pared a una velocidad de 0 , 5 m/s, ¿a qué velocidad se desliza la parte superior de la escalera por la pared cuando la base se encuentra a 3 m de la misma?
Ejercicio 45. El agua entra en un tanque con forma de cono circular recto invertido a una razón de 2 m^3 /min. El tanque tiene una altura total de 6 m y el radio de su parte superior es de 2 m. ¿A qué razón sube el nivel del agua en el instante en que la profundidad del agua es de 3 m?
Ejercicio 46. Dos automóviles, A y B, parten al mismo tiempo desde una intersección de dos rutas ortogonales. El automóvil A viaja hacia el norte a 80 km/h y el automóvil B viaja hacia el este a 60 km/h. ¿A qué razón aumenta la distancia en línea recta entre los dos automóviles exactamente 2 horas después de haber partido?
Ejercicio 47. Un globo esférico de uso meteorológico se infla con gas de tal manera que su volumen aumenta a una razón constante de 100 cm^3 /s. Determine a qué velocidad está aumentando el radio del globo en el instante en que su diámetro alcanza los 50 cm.
En Energía Eléctrica
Ejercicio 57. Potencia instantánea: En un circuito de corriente alterna, la potencia instantánea es el producto de v(t) = V m sen(ωt) y la corriente i(t) = I m sen(ωt − ϕ). Utilice la regla del producto para encontrar la tasa de variación de la potencia dpdt.
Ejercicio 58. Flujo de carga: La carga eléctrica (en Coulombs) que fluye por la sección transversal de un conductor es q(t) = 3t^4 − 5 t^2 +2t. Determine la expresión para la intensidad de corriente i(t) = q′(t) y evalúela en t = 1 s.
Ejercicio 59. Rendimiento de un motor: La eficiencia η de cierto motor en función de la corriente I está dada por η(I) = (^120) I +400+2^120 I I 2. Derive esta función respecto a I para poder, posteriormente, encontrar el valor de corriente donde el rendimiento es máximo.
Sistemas de Información
Ejercicio 60. Tasa de transferencia de datos: La cantidad de Megabytes transferidos por un servidor a un cliente está dada por D(t) = (^500) t +2 t^2 , donde t es el tiempo en segundos. Encuentre la velocidad de transferencia de la red (tasa de cambio de los datos transferidos) en cualquier instante t.
Ejercicio 61. Complejidad algorítmica: El tiempo de ejecución de un algoritmo de ordenamiento recursivo se aproxima por la función continua T (n) = n · log 2 (n), donde n es el tamaño de los datos. Calcule T ′(n) para determinar el ritmo de crecimiento computacional.
Ejercicio 62. Descenso del Gradiente (Machine Learning): En el entrenamiento de una red neuronal simple, la función de pérdida (error) respecto a un peso sináptico w es L(w) = (w^3 − 4 w + 10)^2. Calcule el gradiente L′(w), valor que el algoritmo utilizará para ajustar los pesos en la siguiente iteración.
