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3.1. Introducción
Muchas veces, para analizar diversos fenómenos del mundo que nos rodea, se recurre a la construcción de modelos. Estos son representaciones (gráficas, esquemáticas o analíticas) de una realidad que toman de ella lo que se considera esencial, desechando otras características que pueden ser prescindibles; así logramos centrarnos en los elementos más relevantes para explicar el fenómeno analizado. Estos modelos estudian cuestiones tan variadas como problemas de física, economía, geografía, medicina, psicología, biología y representan estos fenómenos mediante mapas, planos, esquemas de circuitos, maquetas y réplicas de vehículos y edificios, símbolos.
Dentro de los modelos, encontramos los matemáticos , que podemos definir como una representación simplificada de la realidad a partir del uso de elementos matemáticos que establecen la relación entre los componentes del fenómeno analizado. Así, en un fenómeno, existen valores variables que se relacionan entre sí, ya que al modificarse uno de ellos, puede incidir directa o indirectamente en variaciones de otros valores. Por ejemplo, la temperatura depende del lugar del planeta donde sea registrada (latitud y longitud), de la altura con respecto al nivel del mar, de la humedad, de la presión atmosférica, de la época del año, de la nubosidad y de la hora del día. Dependiendo del tipo de modelo que se quiera construir y de la necesidad de precisión, se considerarán qué características son definitorias para su elaboración. Una vez analizadas estas cuestiones, el modelo puede
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sobre la potencia de las variaciones
Funciones
y modelos:
Fernando Bifano – Leonardo Lupinacci
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ser representado mediante tablas, gráficos o ecuaciones. De este modo, se puede profundizar el estudio, la búsqueda de resultados y hallar las soluciones al o los problemas planteados.
En este sentido, acordamos conautores como Chevallard, Bosch y Gascón (1997) cuando afirman
Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un modelo (matemático) de la realidad que queremos estudiar, trabajar con dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en este trabajo para contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad matemática puede identificarse, por lo tanto, con una actividad de modelización matemática (p. 51).
En este capítulo proponemos adentrarnos en esta modelización matemática mediada por el concepto de función que acabamos de describir. Lo haremos a partir de la construcción y del análisis de modelos ya elaborados..
3.2. La complejidad del concepto de función: variaciones,
ecuaciones, representaciones
¿Existirá alguna relación entre la modelización y la noción de función? Tratemos de elaborar juntos la respuesta a este interrogante. Así como el concepto de modelización permite abarcar gran parte de la actividad matemática, el concepto de función es quizás uno de los más potentes que ha recorrido un largo proceso que abarcó varios siglos hasta lograr su definición. No nos proponemos en este texto dar cuenta acabada de dicho proceso de desarrollo, sin embargo, hemos considerado oportuno marcar algunos elementos clave que permitan entender las distintas formas de poder concebir la función y así comprender el vínculo con la modelización que estamos presentando.
Retrotraigámonos en el tiempo para ir hacia la búsqueda de las culturas babilónica y griega (entre los siglos VIII y V a.C.), esas que
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Esto sentará las bases para el desarrollo de una de las ramas fundamentales de la matemática para el estudio del movimiento: el análisis matemático. A lo largo del siglo XVII, Newton, Leibniz, y posteriormente en el siglo XVIII, Euler, matematizaron el estudio de los fenómenos físicos y fueron los primeros en utilizar el término “función” para caracterizar una expresión analítica y la correspondiente notación f(x). Basta para ello con mirar la definición dada por este último para ver cuánto ya nos hemos alejado de las ideas intuitivas de movimiento y el énfasis que poco a poco recae en el potencial de la expresión: “Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta, como quiera que lo sea, de dicha cantidad y de números o cantidades constantes (…) y las cantidades sobre las que opera (…)” (Euler, 1748:2).
En tiempos de Cauchy, Lobachevsky, Riemann, Dirichlet, pleno siglo XIX, la formalización de la matemática gana terreno y se pierden cada vez más las huellas del movimiento y las curvas que le dieron origen al concepto. Los aportes matemáticos muestran toda su potencia aplicable a las diferentes ramas de la matemática, a punto tal que con el posterior desarrollo de la teoría de conjuntos durante el siglo XX se llegará a la máxima abstracción y formalización en su definición:
Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función f definida en un conjunto X y con valores en Y es una ley mediante la cual se hace corresponder a cada elemento de X un elemento de Y. Se dice también que X es una aplicación de X en Y (Hanfling, 2000:6).
Como puede verse en el desarrollo de los párrafos anteriores, la evolución de la noción de función ha seguido un camino tal que, progresivamente, las ideas de variación han ido desapareciendo para cobrar vigor las relacionadas con la aplicación. La preocupación por interpretar y responder a fenómenos naturales con modelos matemáticos que expliquen sus comportamientos, paulatinamente ha sido reemplazada por la necesidad de acuñar una definición lo suficientemente amplia, rigurosa y general, que permita aplicarse a diferentes situaciones, incluso
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más allá de la necesidad de existencia de fenómenos reales a los que pueda dar respuesta o representar. De lo anterior podemos recuperar dos aportes importantes:
- Un concepto matemático no se da espontáneamente. Sigue nece- sariamente un camino de idas y vueltas que hacen a su maduración como noción. La forma en que se cristaliza y formaliza puede ocultar las ideas mismas que le dieron origen.
- Una definición matemática pone de relieve uno u otro aspecto del concepto, pero puede ocultar otros. Definir no es otra cosa que poner lí- mites. Al definir un concepto, uno recorta de determinada manera. Es im- portante considerar las ventajas de una u otra definición, para considerar la más pertinente para modelizar un problema.
Usando estos aportes adoptaremos de aquí en más la siguiente defi- nición de función:
Una función es un modelo matemático que permite interpretar una situación a partir de una ley que explica el comportamiento de una variable en términos de otra, tal que a cada valor de una de ellas considerada independiente, le asigna un solo valor de la otra, que será la dependiente. Su expresión analítica, su gráfico cartesiano o cualquier expresión –simbólica o no– son diferentes formas que permiten representarla.
Como se desprende de la definición anterior, los diferentes aspectos que hacen a una función: su aspecto modelizador, la ley que regula el comportamiento entre las variables, su expresión gráfica o simbólica serán componentes que iremos profundizando a medida que desarrollemos el capítulo.
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d) ¿De qué otra manera podría representarse la información brinda- da por el gráfico? ¿En cuál de esas formas (el gráfico y la propuesta por vos) considerás que la información se visualiza mejor? ¿Por qué?
P2. El siguiente gráfico muestra la relación entre la hora del día y la distancia a la que cada uno de los dos vehículos se encuentra de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Estos vehículos, una camioneta (línea continua) y un auto (línea punteada), viajan desde la Ciudad Autónoma de Buenos Aires a la ciudad de Lima en la provincia de Buenos Aires, para volver posteriormente a su punto de partida.
Respondé:
a) ¿A qué hora salió el auto de la ciudad de Buenos Aires?
b) ¿Cuánto tiempo estuvo detenida la camioneta antes de llegar a la ciudad de Lima? ¿Cómo se evidencia esto en el gráfico?
c) ¿Cuál de los dos vehículos estuvo un lapso de tiempo mayor en la ciudad de Lima?
d) ¿Cuánto tiempo, luego de su partida, tardó el auto en sobrepasar a la camioneta?
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e) ¿En qué tramo el coche se desplazó a mayor velocidad?
¿Qué diferencia existe entre estos gráficos y el del problema anterior? ¿Cómo se explica eso matemáticamente?
¿Qué conclusiones podemos sacar de estos dos primeros problemas? En primer lugar, el análisis de un gráfico nos permite darnos una idea global del comportamiento de las variables involucradas en la situación representada. Las variables involucradas en un modelo pueden ser seleccionadas con una intención particular: en el primer problema se estudia la variación de la presión a lo largo del tiempo, pero no necesariamente porque una dependa de la otra. Esa elección es intencional porque permite obtener conclusiones sobre la salud del paciente, y no porque la presión dependa del tiempo. La elección de la variable independiente y dependiente no está condicionada de antemano para cada magnitud en particular, sino que la determinación de cada una de ellas responde en muchas ocasiones al modelo que se quiera construir. Muchos modelos utilizan al tiempo como variable independiente, porque al no poder manipularlo se “impone” de tal manera en términos matemáticos, lo que permite estudiar las variaciones de otra variable a medida que va cambiando. Algunas convenciones: Habitualmente la forma de representar los gráficos como los propuestos en estos problemas es en un par de ejes denominados cartesianos. Como parte de esta forma el eje horizontal se denomina “eje de abscisas” donde se representa la variable independiente y el eje vertical denominado “eje de ordenadas”, donde se representa la variable dependiente. El conjunto^21 de todos los valores que toma la variable
- En la introducción histórica se mencionó la fuerte influencia de la teoría de conjuntos en la formalización de la noción de función durante el siglo XX. Esta influencia se evidencia en muchas nociones relacionadas con la idea de función, tanto en su nombre como en su definición.
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3.4. De lo cualitativo a lo cuantitativo
P4. Indicá cuál de los gráficos que se muestran se ajusta mejor a cada una de las siguientes afirmaciones.
a) Las ventas de la industria automotriz continúan creciendo, aunque en los últimos meses el incremento ha sido menor.
b) El índice de natalidad de la región correspondiente al centro de Europa estaba disminuyendo, pero en los últimos años se ha mantenido constante.
c) El precio del barril de petróleo crudo alcanzó su máximo hace dos meses. A partir de ese punto ha comenzado a disminuir.
P5. Las precipitaciones se miden en mm de agua caída. El gráfico registra el nivel de agua caída a lo largo de un año en la ciudad de Buenos Aires.
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Respondé:
a) ¿En qué mes se registró la máxima cantidad de lluvia caída a lo largo del primer semestre del año? ¿Y del segundo? ¿Y a lo largo del año?
b) ¿Cuál fue el mes menos lluvioso del año? ¿Cuánto fue la mínima cantidad que llovió?
c) ¿Es cierto que el nivel de lluvias crece entre julio y octubre? ¿Por qué?
d) ¿Cómo describirías el comportamiento de la lluvia caída a lo largo de todo el año?
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Respondé:
a) ¿Cuáles fueron la mayor y la menor temperatura registrada durante ese día? ¿A qué hora se registró cada una de ellas?
b) ¿Entre qué horarios la temperatura subió? ¿Entre qué hora- rios disminuyó?
c) ¿En algún momento la temperatura fue de 0°C? ¿Cómo se evidencia eso en el gráfico?
d) ¿Qué diferencias observás entre este gráfico y el que cons- truiste en el problema anterior?
Analicemos con detenimiento los problemas 4 y 5. El problema 4 nos brinda información, a grandes rasgos, de las situaciones que representa. Es decir, no tiene información cuantitativa; describe en forma cualitativa el comportamiento de los modelos a los que hacen referencia: por ejemplo, el aumento del precio del barril de petróleo y su posterior disminución a lo largo del año, sin llegar a poder saber valores siquiera estimados de esa situación.
En el problema 5 hay informaciones en los ejes y a partir de un análisis de estos se puede obtener en forma cuantitativa datos concretos del comportamiento de la función estudiada. Por ejemplo, se pueden determinar cuáles fueron los meses con mayores mm de agua caídos y cuáles con menos; incluso describir todo el comportamiento de las lluvias a lo largo del año.
Consideremos el problema 7. Además de la diferencia entre las variables discretas y continuas, en este caso hay valores que por el contexto del problema son negativos –temperaturas a lo largo de un día– o incluso se corresponden con cero. En este último caso, a esos valores se los denomina “ceros o raíces de la función”.
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Hay otros puntos que permiten interpretar el comportamiento de la función: aquellos que evidencian ciertos cambios. Por ejemplo, hasta las 12 la temperatura estaba subiendo, luego de las 12 comenzó a descender; hasta las 20 la temperatura descendía y luego de las 20 subió. Convencionalmente en matemática, en el punto del gráfico donde se visualiza el cambio en el comportamiento del crecimiento de la función recibe el nombre de “máximos y mínimos”.^2 Y puede darse el caso, como el mismo ejemplo del problema 7 lo propone, de que haya más de un máximo o de un mínimo. En estas situaciones se distinguen en términos “absolutos y relativos”: los primeros, para el mayor de los máximos o el menor de los mínimos; los segundos, para los restantes.
Tomando los máximos y los mínimos como referentes, se puede describir^3 la forma en que se comporta la función según cambia la variable independiente: en este caso, la temperatura desciende entre las 0 y las 3:30, luego asciende hasta las 12; desde allí desciende hasta las 20, volviendo a subir hasta las 22:30, para, desde esa hora, volver a descender hasta el final del día.
Así como los máximos y mínimos se utilizan como referencia para explicar el comportamiento de la función en términos de crecimiento y decrecimiento , los ceros se utilizan como referentes para establecer los conjuntos de positividad y negatividad de una función: las temperaturas por debajo de cero,se dieronentre la 1 y las 6 de la mañana; de 0 a 1 y entre las 6 de la mañana a lo largo del día las temperaturas estuvieron por encima de 0.
- Por convención también para los puntos se utiliza la notación de par ordenado. En este caso, un máximo se indicaría (12; 7,5). Donde la primera coordenada corresponde a la variable independiente, la hora del día; y la segunda, al valor numérico de la variable dependiente, en este ejemplo, la temperatura.
- En algunos casos, y también por influencia de la teoría conjuntistas, si la situación lo amerita se describen estos comportamientos de crecimiento y decrecimiento en términos de intervalos unidos: por ejemplo, crecimiento (3,5;12) U (20; 22,5). Tenga en cuenta el lector que en este caso las cifras se expresan en forma decimal.
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3.5. Funciones y la potencia de la expresión analítica
P9. Un tanque utilizado para almacenar aceite tiene una capacidad total de 250 litros. Su peso vacío es de 30 kilogramos, mientras que cada litro de aceite pesa 0,75 kilogramos.
Resolvé: a) ¿Cuánto pesaría el barril si tuviera 30 litros de aceite? ¿Y si tuviera 48 litros? ¿Y 100? ¿Y si estuviera lleno?
b) Escribí una expresión que permita calcular el peso del barril más su contenido en función de los litros de aceite que posee.
c) ¿Cuál de los siguientes gráficos podría representar adecuadamente
la situación? ¿Por qué?
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Una vez seleccionado el gráfico que te parece el adecuado, contestá:
a) ¿Cómo aumenta el peso del barril a medida que se va llenando? ¿Cómo se evidencia ese cambio de peso en el gráfico seleccionado? ¿Qué relación existe entre la expresión que modeliza la situación y el cambio de peso del barril?
b) ¿Qué representa para la situación el punto del gráfico en donde la función intersecta al eje de ordenadas?, ¿existe alguna relación entre ese punto y la expresión propuesta? Fundamentá tus respuestas.
P10. Un tanque de agua que posee el día de hoy un contenido de 306 litros tiene una fisura que le origina una pérdida constante de 32 litros de agua por día. Si la fisura no se repara:
a) ¿Cuántos días deben pasar para que el tanque posea solo 180 litros de agua?
b) ¿Cuántos días tardará en vaciarse? ¿Qué representa ese valor matemáticamente?
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c) Escribí algunos ejemplos de funciones lineales con la característica mencionada en el ítem b. ¿Qué situaciones reales podrían representar ese tipo de funciones?
P12. Una empresa consultora de inversión en la bolsa de valores informa a sus clientes acerca de las variaciones estimadas de los precios de las acciones A y B en los próximos 6 meses, siendo que el valor actual de ambas es el mis- mo. Dichas estimaciones responden a A(t) = 0,8t + 10 y B(t)= 1,7t + 10, sien- do A(t) y B(t) el valor estimado de las acciones en pesos y t , el tiempo en meses. Junto a las fórmulas de estimación se adjunta el siguiente gráfico:¿- Qué recta corresponde a la variación del valor de cada una de las acciones? ¿Por qué? ¿En cuál de las dos acciones convendría invertir? ¿Por qué?
a) ¿Qué recta corresponde a la variación del valor de cada una de las acciones? ¿Por qué? ¿En cuál de las dos acciones convendría invertir? ¿Por qué?
b) ¿Qué valor alcanzará cada una de las acciones al cabo de los seis meses de cumplirse la estimación?
c) ¿Qué relación existe entre las pendientes de ambas fórmulas y los gráficos que representan a cada función?
d) La misma empresa informa luego a sus clientes sobre la evolución del precio de otras dos acciones C y D. En este caso solo entrega los sigui- entes gráficos, pero no las fórmulas correspondientes. ¿Es correcto decir,
entonces, que entre las dos, conviene invertir en las acciones C? ¿Por qué?
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P13. Cotidianamente utilizamos, para medir temperatura, la escala denominada Celsius (C). Esta escala fue definida en 1742 a partir de los puntos de congelación y ebullición del agua (establecidos respectivamente como el 0° y 100° de la escala). El grado Celsius fue adoptado como unidad accesoria de temperatura por el Sistema Internacional de Unidades, aunque no es la única escala de temperatura, ya que existen, entre otras, la escala Kelvin (unidad básica de temperatura del Sistema Internacional) y la escala Fahrenheit. Esta última se ha utilizado a través del tiempo principalmente en países de habla inglesa. Algunos de esos países la han ido dejando de usar y han adoptado la escala Celsius, mientras que, otros como los Estados Unidos, la siguen utilizando cotidianamente. Existe una relación entre los valores de estas dos escalas. Puede calcularse la equivalencia entre grados Celsius (C) y grados Fahrenheit (F) a partir de la expresión: F = 1,8 C + 32.
a) ¿A cuántos °F equivalen 20°C? ¿Y 15ºC? b) La temperatura normal de una persona es de 37°C, ¿a cuántos °F equivale ese valor?
c) Si en un informe meteorológico del extranjero se indica que la temperatura máxima del día será de 40°F, ¿se trata de un día caluroso?, ¿por qué?
d) ¿ Para qué temperatura marcará el mismo valor un termómetro calibrado en la escala Celsius que otro calibrado en la escala Fahrenheit?
